幾何畫板對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題的應(yīng)用研究

文/祝婧

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，動(dòng)點(diǎn)問題，作為考察學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維發(fā)展水平的中考?jí)狠S題，需要學(xué)生理解圖形在不同位置的情況，在變化中找不變，因此，常常成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。而幾何畫板被譽(yù)為“二十一世紀(jì)的幾何點(diǎn)金石”，它以直觀、簡潔、動(dòng)態(tài)的表現(xiàn)來解決動(dòng)點(diǎn)難題，能幫助學(xué)生深刻理解，收到很好的效果。本文重點(diǎn)研究的是如何利用幾何畫板，更清晰直觀的解決動(dòng)點(diǎn)問題。

關(guān)鍵詞：動(dòng)點(diǎn);幾何畫板;壓軸題;難點(diǎn);變化

中圖分類號(hào):G634.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1.動(dòng)點(diǎn)問題背景

1.1 中考體現(xiàn)

由于新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，初中數(shù)學(xué)教材增加了圖形運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容，其基本理念對(duì)近幾年數(shù)學(xué)命題的改革產(chǎn)生了重大影響。其中的“動(dòng)點(diǎn)問題”成為中考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問題。它通常是中考中的壓軸題，由多個(gè)由易到難的小問題構(gòu)成，綜合的考查了學(xué)生數(shù)學(xué)解題思想的運(yùn)用能力，尤其是數(shù)形結(jié)合能力的考查。

1.2 動(dòng)點(diǎn)問題的難點(diǎn)

在《初三學(xué)生在解平面幾何動(dòng)點(diǎn)問題中的困難分析》一文中可以了解到，學(xué)生在解“動(dòng)點(diǎn)問題”中以下幾個(gè)方面存在困難：

(1)分類討論思想的運(yùn)用。(2)數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用。(3)作輔助線。

1.3 培養(yǎng)學(xué)生綜合能力

“動(dòng)點(diǎn)問題”綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力有很好的鍛煉，學(xué)生往往感覺上課能聽懂但自己做題時(shí)就無法下筆。運(yùn)用幾何畫板將“動(dòng)點(diǎn)問題”展現(xiàn)出來，能使動(dòng)點(diǎn)問題更加具體形象化，加深學(xué)生對(duì)于這一問題的理解，使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力不再停留在簡單的模仿階段。從而對(duì)于學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績有著深遠(yuǎn)、重要的指導(dǎo)意義。

2.幾何畫板功能

2.1繪圖功能

2.2計(jì)算功能

2.3動(dòng)畫功能：在幾何畫板中，可以利用操作類按鈕實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫功能，從而制作相對(duì)應(yīng)的各種動(dòng)畫。

2.4變換功能：幾何畫板的變換功能可以幫助用戶實(shí)現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射、迭代等操作。在變換過程中還可以對(duì)對(duì)象進(jìn)行追蹤，并顯示軌跡。

2.5文字功能

3.幾何畫板對(duì)“動(dòng)點(diǎn)問題”的應(yīng)用案例研究

3.1 案例：幫助學(xué)生理解動(dòng)點(diǎn)問題

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm2。

(1)當(dāng)t=s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；

(2)當(dāng)t=s時(shí)，點(diǎn)D在QF上；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間(不包括Q，B兩點(diǎn))時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。

分析：隨意在AB上構(gòu)造兩點(diǎn)P、Q，利用操作類按鈕使得PQ運(yùn)動(dòng)。

步驟：

1、建立坐標(biāo)系，將A放在坐標(biāo)原點(diǎn)。依題目要求，構(gòu)造出三角形ABC；

2、在線段AB上任找兩點(diǎn)P、Q，利用操作類按鈕，使得P、Q在線段AB上按照題目要求運(yùn)動(dòng)。

引導(dǎo)：鼓勵(lì)學(xué)生畫出草圖，再通過幾何畫板的直觀演示，為學(xué)生演示每個(gè)問題的各種情況，加深學(xué)生對(duì)于圖形變換的理解和把握。

由于P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別均是1cm/s，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。可為學(xué)生做如下演示：

圖6

由幾何畫板演示可明顯看出，當(dāng)P橫坐標(biāo)為1時(shí)，P、Q兩點(diǎn)重合，因此t=1。

同理，可用幾何畫板演示，當(dāng)D在QF上時(shí)的情形，可得如下圖：

圖7

此時(shí)可以看出，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0.8，因此t=0.8。

對(duì)于第三問，利用幾何畫板可以很清晰的演示出可能出現(xiàn)的兩種情況，從而避免學(xué)生出現(xiàn)的考慮不周，漏解的情況。

通過這案例可以看出，使用幾何畫板軟件，能充分為“數(shù)形結(jié)合”提供展示的平臺(tái)，給學(xué)生一種耳目一新的視覺感受，傳統(tǒng)的教學(xué)手段是無法達(dá)到這種效果的。

4.總結(jié)

由于篇幅有限，本文所用例題相對(duì)較少，但幾何畫板的運(yùn)用范圍確實(shí)很廣，它的運(yùn)用深受許多一線教師的熱愛。許多高校學(xué)校已經(jīng)開辦對(duì)農(nóng)村數(shù)學(xué)教師的幾何畫板培訓(xùn)，它在教學(xué)中的作用越來越顯著。通過幾何畫板向?qū)W生展示動(dòng)點(diǎn)問題，可以提高學(xué)生理解問題分析問題的能力，并且加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解。

(作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院)