吳愛娟　賈魯軍

摘要：本文作者結(jié)合自己在一線教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，討論了啟發(fā)式教學(xué)在條件概率、事件的獨(dú)立性概念講解上的體現(xiàn)，給出了具體的實(shí)施方案。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)；條件概率；隨機(jī)事件間的獨(dú)立性

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）33-0161-02

一、引言

我國(guó)古代大教育家孔子曾論述：“不憤不啟，不悱不發(fā)”，意指對(duì)教師來講，應(yīng)該通過自己的外因作用，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的內(nèi)因的積極性。啟發(fā)式教學(xué)，就是根據(jù)教學(xué)目的、內(nèi)容、學(xué)生的知識(shí)水平和知識(shí)規(guī)律，運(yùn)用各種教學(xué)手段，采用啟發(fā)誘導(dǎo)辦法傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力，使學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，以促進(jìn)身心發(fā)展。

對(duì)于我們?nèi)窘?jīng)管類院校的學(xué)生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，如何在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)提高他們的學(xué)習(xí)積極性是至關(guān)重要的。而學(xué)習(xí)積極性在很大程度上和教師的主導(dǎo)作用有直接關(guān)系，因此在全課教學(xué)中進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，從而全方位地提高學(xué)生的能力。啟發(fā)式教學(xué)對(duì)于教師的要求就是引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，把知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的具體知識(shí)，再進(jìn)一步把學(xué)生的具體知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。教師的主導(dǎo)作用就表現(xiàn)在這兩個(gè)轉(zhuǎn)化上，引導(dǎo)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。下面我以《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的條件概率、隨機(jī)事件相互獨(dú)立的概念的講解為例，為大家介紹一下我平時(shí)在課堂中是如何運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)法的。

二、教學(xué)目標(biāo)

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生們通過自己的演繹推理出條件概率的定義式，進(jìn)而看透其本質(zhì)，會(huì)應(yīng)用它解決實(shí)際問題。隨機(jī)事件間的獨(dú)立，這里的“獨(dú)立”和我們平時(shí)說的“獨(dú)立”有何區(qū)別？通過教師的引導(dǎo)讓學(xué)生把隨機(jī)事件A、B間的獨(dú)立性與概率等式P（AB）=P（A）P（B）等價(jià)起來，進(jìn)而得出引入獨(dú)立性數(shù)學(xué)定義的必要性。

三、授課模式

在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，是“授之以魚”還是“授之以漁”，每一位有遠(yuǎn)見的教師都會(huì)選擇后一種答案。教師在授課過程中應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握解決問題的方式方法，讓學(xué)生直接參與探索教學(xué)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中有成就感，這樣有利于培養(yǎng)他們確立科學(xué)的態(tài)度和掌握科學(xué)的方法。就像我最喜歡的一句英文格言所說“I hear，I forget.I see，I remember.I do，I understand.”

我的做法是，在課堂上著重問題的創(chuàng)設(shè)，提供氛圍，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問題，著手解決問題，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，教師則成為學(xué)生的“協(xié)作者”。

1.條件概率。

描述性定義：在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作P（BA）.

問題：條件概率P（BA）如何定義、計(jì)算？

引例1 請(qǐng)同學(xué)們思考如下問題：

拋擲一枚均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的情況。設(shè)事件A為“偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B為“4點(diǎn)出現(xiàn)”。現(xiàn)在來求已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。

求解：引導(dǎo)學(xué)生分析出已知和所求。

已知：樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={4}.

所求：條件概率P（BA）.

再引導(dǎo)學(xué)生畫出如下文氏圖：

其中1是事件AB中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，3是事件A中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，而樣本空間共包含6個(gè)樣本點(diǎn)。到此處，同學(xué)們就很容易想到了古典概率的計(jì)算公式，可得出

由學(xué)生自己總結(jié)歸納出，只要在P（A）>0的條件下，上述式子中的頭尾部分具有一般性，就可得到條件概率的數(shù)學(xué)定義：

定義1 設(shè)A，B是樣本空間Ω中的兩個(gè)事件，如果P（A）>0，那么在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率P（BA）定義為

思考：你是否能寫出在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P（AB）公式？

顯然學(xué)生會(huì)得到如下定義：

設(shè)A，B是樣本空間Ω中的兩個(gè)事件，如果P（B）>0，那么在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P（AB）定義為P（AB）=.

2.兩個(gè)事件間的獨(dú)立性。

描述性定義：兩個(gè)事件A和B相互獨(dú)立，直觀含義是指事件A和B在發(fā)生可能性（概率）上相互沒有影響。

問題：如何定量描述事件A和B在概率上相互沒有影響？

此處提醒學(xué)生注意“相互”二字，所以考慮兩個(gè)方面：

①“在概率上，事件A不影響事件B”，等價(jià)于說，P（BA）=P（B）.

結(jié)合上面學(xué)習(xí)的條件概率定義得P（BA）=P（B）？圳P（AB）=P（A）P（B）.

②“在概率上，事件B不影響事件A”，等價(jià)于說，P（AB）=P（A）.

結(jié)合上面學(xué)習(xí)的條件概率定義得P（AB）=P（A）？圳P（AB）=P（A）P（B）.

思考：由上述兩個(gè)方面我們得到什么結(jié)論呢？

事件相互獨(dú)立的數(shù)學(xué)定義：設(shè)A和B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A和B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。

此處舉個(gè)例子，來熟悉應(yīng)用一下該定義：

例 考察拋擲兩枚均勻骰子的試驗(yàn)，記事件A為“第一枚點(diǎn)數(shù)為4”，事件B為“第二枚點(diǎn)數(shù)為3”，請(qǐng)判斷 A和B是否獨(dú)立？

本題利用古典概率和獨(dú)立性定義很容易得出結(jié)論，A和B是相互獨(dú)立的。但是有同學(xué)會(huì)發(fā)出這樣的疑問：老師，我們從自己的經(jīng)驗(yàn)也能知道A和B是相互獨(dú)立的，為什么還用這樣的概率等式去驗(yàn)證呢？為消除學(xué)生的疑問，我又在本題的基礎(chǔ)上加上一問：記事件 C為“兩枚點(diǎn)數(shù)之和為7”，判斷A和C是否獨(dú)立？通過這一問的解決，學(xué)生自己會(huì)意識(shí)到直觀經(jīng)驗(yàn)有時(shí)會(huì)誤導(dǎo)我們，從而理解了隨機(jī)事件的獨(dú)立性及引入其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義的必要性。

對(duì)一些學(xué)習(xí)能力、基礎(chǔ)比較弱的學(xué)生，以引導(dǎo)為主，通過引導(dǎo)，來掌握一些上課時(shí)不容易掌握的內(nèi)容，不讓他們失去學(xué)習(xí)的興趣，并通過一些啟發(fā)激發(fā)他們更好地學(xué)習(xí)這門課程，變被動(dòng)的“灌輸”式為主動(dòng)的“汲取”式。

現(xiàn)代教育思想明確指出：“最有效的學(xué)習(xí)方法就是讓學(xué)生在體驗(yàn)和創(chuàng)造的過程中學(xué)習(xí)”。教學(xué)，是要通過教師的工作使學(xué)生愛學(xué)、會(huì)學(xué)。學(xué)生的學(xué)習(xí)是否有學(xué)習(xí)積極性非常重要，啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵就是調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩松，周紀(jì)薌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2008.