丁黎明，趙 冬

（淮北職業(yè)技術(shù)學院基礎部，安徽 淮北 235000）

分段函數(shù)在高等數(shù)學理論中是一個非常重要的函數(shù)，在學習函數(shù)的極限、連續(xù)、導數(shù)與積分等問題中，都會涉及到相應的分段函數(shù)，分段函數(shù)的例題與習題占有相當多的比重［1－2］。由于分段函數(shù)在分段點處的特性變化導致其具有獨特的性質(zhì)和特殊的作用，往往被學生難以理解和掌握，尤其在判斷分段函數(shù)的連續(xù)性和可微性方面更有難度，教學過程中如果處理不當很容易使學生混淆概念，甚至會使學生學習積極性和主動性喪失，降低興趣，不利于后續(xù)教學內(nèi)容的學習。

1 從直觀的感覺引入分段函數(shù)

1.1 觀察幾何圖形

1.2 觀察解析表達式

1.3 引導啟發(fā)學生

（1）從函數(shù)圖象可以看到圖1、圖2、圖3有著共同的特點，函數(shù)圖象是一段一段的，有些段之間還有間斷或跳躍。

（2）從函數(shù)解析式可以看到y(tǒng)1、y2、y3有著共同的特點，解析式復雜了，有兩個及

以上表達式，而且還要表明相應的自變量取值，并用大括號表示。

圖1

圖2

圖3

1.4 總結(jié)歸納概念

分段函數(shù)：函數(shù)在其定義域內(nèi)不同的取值范圍內(nèi)，用不同的數(shù)學解析表達式來表示的函數(shù)。

高等數(shù)學關于一元函數(shù)的極限中涉及到左右極限，關于函數(shù)的連續(xù)中涉及到左右連續(xù)，關于導數(shù)的概念中涉及到左右導數(shù)。對于這些概念的學習都出現(xiàn)了分段函數(shù)的討論，分段函數(shù)是含有非常特殊代表性的一類函數(shù)，它能在很多方面非常好的展現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，而且用分段函數(shù)討論能夠更直觀、更形象的理解這些抽象的概念。因此，搞清楚分段函數(shù)在這些問題的處理，對于學好高等數(shù)學尤為重要。

2 用豐富的生活背景激發(fā)學生的學習興趣

分段函數(shù)雖然是個數(shù)學概念，但在日常生活中可以遇見很多關于分段函數(shù)的模型，所以在講這一概念時可采用課內(nèi)課外相結(jié)合的方式，布置學生在課外通過網(wǎng)絡、書籍等方法尋找搜集具有分段函數(shù)的實際問題。學生選擇的問題可能會是各種各樣，但通過學生自己親自參加教學的過程，既有利于考查學生對數(shù)學基本概念、基本知識的掌握，又能體現(xiàn)學生靈活運用數(shù)學知識處理實際問題的能力，提高學生學習數(shù)學的生活化，激發(fā)學生的學習興趣。

比如出租車收費辦法：行駛路程在4千米以內(nèi)（含4千米）按5元收取費用；超過4千米，在10千米（含10千米）以內(nèi)，按1.6元／千米加收；超過10千米，按2.5元／千米元收取費用。

再比如手機話費收取辦法：2分鐘以內(nèi)（含2分鐘）統(tǒng)一收取0.2元，超過2分鐘的部分每超過一分鐘收取0.5元。

類似的還有煤氣收費辦法，銀行利息計算辦法，汽車在啟動、行駛、剎車階段的速度等。當然分段函數(shù)的原型也可以延伸到其他的學科領域，如自然科學、工程技術(shù)領域、經(jīng)濟領域、統(tǒng)計領域、醫(yī)學領域等等。

3 引導學生挖掘蘊含的數(shù)學思想方法

分段函數(shù)既可以用解析法表示，也可以用圖像法表示，因此數(shù)形結(jié)合的思想方法得到了充分的體現(xiàn)。在分析具體數(shù)學問題時，由函數(shù)關系或數(shù)量關系來刻畫相應的圖形，或者由直觀的圖形來闡述數(shù)量之間的函數(shù)關系，數(shù)量與圖形結(jié)合考慮問題是數(shù)形結(jié)合思想方法所主張的一種思維方式。

在人類社會的早期生產(chǎn)實踐中，人們就將數(shù)和形結(jié)合起來應用了，比如丈量長度、測量面積、體積等。17世紀法國的數(shù)學家笛卡爾建立了坐標系，人們開始用代數(shù)知識去研究幾何圖形，創(chuàng)立解析幾何，實現(xiàn)了數(shù)量關系與空間形式的完美結(jié)合。以后，在數(shù)學研究的許多進展中，數(shù)量與圖形經(jīng)常綜合起來考慮，并在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化［3］。

在分段函數(shù)的教學過程中必須有意識地引導學生理解并掌握數(shù)形結(jié)合方法，增強學生的數(shù)學素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力。挖掘數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，一是“由數(shù)想形”，根據(jù)分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，刻畫出與之相應的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規(guī)律來研究解決分段函數(shù)的具體問題，可以把抽象的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，易于顯露出問題的內(nèi)在聯(lián)系。通過準確把握分段函數(shù)的圖象特征，借助幾何圖形直觀解題，還可以避免一些復雜的計算。二是“見形思數(shù)”，根據(jù)分段函數(shù)的圖象特征、規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的問題，構(gòu)造出與之相應的分段函數(shù)關系，常可化難為易，獲得簡單易行的解題方案。

4 設計拓展問題加深學生對分段函數(shù)的認識

問題思考一：分段函數(shù)是多個函數(shù)嗎？

在課堂教學中必須強調(diào)分段函數(shù)在其整個定義域內(nèi)不是多個函數(shù)，而是一個函數(shù)。因此，分段函數(shù)的圖象只有一個，作圖時不能作在多個坐標系中，只能作在一個坐標系中。分段函數(shù)的定義域是各個子定義域的并集，在其定義域的不同子區(qū)間內(nèi)，用不同的數(shù)學解析式來表示；分段函數(shù)的值域也是各段函數(shù)解析式值域的并集。

問題思考二：分段函數(shù)的基本類型有幾種？

分段函數(shù)有兩種基本類型：（1）分段點兩邊的函數(shù)解析式相同，但分段點處的函數(shù)值單獨定義（如圖3）；（2）分段點兩邊的函數(shù)解析式不相同（如圖1與圖2）。

問題思考三：分段函數(shù)的分段點可以有多少個？

分段函數(shù)的分段點可以是有限個（如圖1、圖2、圖3），也可以是無限個，如電學中的周期函數(shù)矩形波、鋸齒波等。

問題思考四：分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？

按照初等函數(shù)的定義可知，初等函數(shù)能夠用一個解析表達式表示，但據(jù)此定義并不能推出分段函數(shù)就是非初等函數(shù)，對于許多學生來說經(jīng)常混淆這個概念。實際上，分段函數(shù)一般為非初等函數(shù)，但也有些分段函數(shù)是初等函數(shù)，給出一個簡單的判別方法。

引理［4］：設函數(shù)y＝f（x）是定義域D上的分段函數(shù)，若它的每一段解析表達式都是初等函數(shù)，且在所有的分段點處都連續(xù)，則函數(shù)y＝f（x）是定義域D上的初等函數(shù)。

例如：由引理可知函數(shù)y1是初等函數(shù)，事實上y1＝x，x∈R。

又如：判斷分段函數(shù)

是否為初等函數(shù)？

事實上，f（x）＝x∈ （0，3）。

問題思考五：分段函數(shù)在分段點處極限的求法？

（1）若分段點左右兩邊的函數(shù)解析式相同時，只要求該解析式在分段點處的極限即可。

例如：函數(shù)y3在x＝－1處的極限，即－1＝－2。

（2）若分段點左右兩邊的函數(shù)解析式不相同時，要分別求左右兩個極限。

例如：函數(shù)y2在x＝0的極限，

由此可知，分段函數(shù)在分段點處的左右極限不一定相等，從而進一步理解左右極限的概念，以及左右極限與該點極限的關系。討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)及導數(shù)時也要類似討論。

問題思考六：分段函數(shù)在分段點處的極限、連續(xù)及可導的關系？

若分段函數(shù)在分段點處可導，則在分段點處連續(xù)，進而在分段點處存在極限。反之，若分段函數(shù)在分段點處存在極限，則在分段點處不一定連續(xù)；若分段函數(shù)在分段點處連續(xù)，則在分段點處不一定可導，這是個令學生困惑的問題［5］。

例如：（1）函數(shù)y1＝在分段點處連續(xù)，但不可導。

因為在分段點處左右兩邊的導數(shù)不相等（在求左右導數(shù)時，必須用導數(shù)定義分別求）。

（2）函數(shù)y3＝在分段點處極限存在，但不連續(xù)。

因為在分段點處的極限盡管存在，但不等于該點的函數(shù)值，從而在分段點處不連續(xù)。

5 結(jié)語

數(shù)學教學的真正目的不僅僅是簡單地傳授知識，授業(yè)解惑，最重要的是要精心設計教學過程，引導學生主動參與教學，加深學生對數(shù)學的真正認識，培養(yǎng)學生獨立分析問題、解決問題的能力，強化學生科學探究的思想意識，全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

［1］同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（上冊）［M］.第六版.北京：高等教育出版社，2007.

［2］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2010.

［3］顧泠沅，朱成杰.數(shù)學思想方法［M］.北京：中央廣播電視大學出版社，2004.

［4］溫明豪.分段函數(shù)與初等函數(shù)［D］.深圳：深圳大學，2002.

［5］彭娟，郭夕敬.分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)［J］.高等數(shù)學研究，2009，5：19－21.