萬里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系

萬里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

我們學(xué)習(xí)方程、函數(shù)、不等式已經(jīng)有很長時(shí)間了，我們知道函數(shù)關(guān)系是指某個(gè)變化過程中兩個(gè)變量具有某種對應(yīng)關(guān)系，方程是有已知量和未知量構(gòu)成，不等式……。他們之間存在區(qū)別又有聯(lián)系。方程表述實(shí)際問題中數(shù)量相等關(guān)系，不等式表述數(shù)量不等關(guān)系，函數(shù)表述數(shù)量之間相等的關(guān)系。本文主要說明了一元一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系

函數(shù) 方程 不等式 綜合運(yùn)用

1.一次函數(shù)與一次方程之間的關(guān)系

函數(shù)、方程、不等式的學(xué)習(xí)是貫穿我們整個(gè)初中和高中的教學(xué)的，地位尤為重要，這三個(gè)知識點(diǎn)也同樣是中考、高考中的重頭戲。在很多同學(xué)學(xué)習(xí)這三個(gè)知識點(diǎn)的時(shí)候，把這三者當(dāng)成相互獨(dú)立的知識點(diǎn)來學(xué)習(xí)，這是不對的。其實(shí)三者之間的關(guān)系特別密切，三者之間也是可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換的，若能熟練的掌握三者之間的關(guān)系，對我們提高做題的效率是大有裨益的。下面我們首先來看函數(shù)與方程的關(guān)系。

我們知道一次函數(shù)的一般形式為：y=ax+b（a≠0），函數(shù)的圖像是一條直線。根據(jù)我們以前學(xué)過的知識，我們知道，x是自變量，所表示的是橫坐標(biāo)；y叫做因變量，也可以叫做函數(shù)值，對應(yīng)的是圖像上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)。如果令y=0，上面的解析式也就變成了ax+b=0，也就是一個(gè)一元一次方程了。我們可以從兩個(gè)方面來理解這個(gè)問題：

1.從函數(shù)值的角度出發(fā)：求ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的解就相當(dāng)于求x為何值時(shí)，y=ax+b的值為0。

2.從函數(shù)圖像上來看：求ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的解就相當(dāng)于函數(shù)y=ax+b與x軸的交點(diǎn)。

舉例說明如下：

我們先來看一個(gè)簡單的一元一次函數(shù)：y=x+1

我們舉的例子是一個(gè)典型的一次函數(shù)，圖像會是一條直線，在x軸上的截距為-1，在y軸上的截距為1，與x軸的交點(diǎn)為（-1，0）。則y=x+1與x軸的交點(diǎn)（-1，0）就是方程x+1=0的解。下面我們再來看一個(gè)實(shí)際應(yīng)用的例子：

例1一個(gè)物體現(xiàn)在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再過幾秒它的速度為17m/s？（要求用兩種方法解題）

解法一：從方程的觀點(diǎn)來解題

設(shè)再過x秒物體的速度為17m/s。列方程

解得x=6

解法二：速度y（單位：m/s）是時(shí)間x（單位：s）的函數(shù)

由 2x+5=17

得2x-12=

由圖像看出直線y=2x？12與x軸的交點(diǎn)為（6，0），得x=6.

2.一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

我們知道，所有的一次不等式全部可以變形為ax+b＞0或者ax+b＜0的形式，我們換一種想法，我們可以把解這個(gè)不等式看作是函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于0或者小于0的形式，進(jìn)而我們就可以從函數(shù)的圖像上，直接看出不等式的解，可能大家會覺得這樣做的意義不大。確實(shí)，在一次函數(shù)與不等式中，利用函數(shù)圖像解不等式的優(yōu)勢并不是很明顯，但是到二次不等式乃至高次不等式，這種思想就變得尤為關(guān)鍵。

舉一個(gè)簡單的例子：我們想解不等式-2x+3＞0，利用函數(shù)的思想，要先設(shè)出一個(gè)函數(shù)y=-2x+3

如果我們畫出函數(shù)圖像，可以直接觀察到，在x＞3/2函數(shù)值大于0，所以不等式-2x+3＞0的解為｛x│x＞3/2｝。

例2、某公司經(jīng)營甲、乙兩種商品，每件甲種商品進(jìn)價(jià)12萬元，售價(jià)14.5萬元；每件乙種商品進(jìn)價(jià)8萬元，售價(jià)lO萬元，且它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)始終不變.現(xiàn)準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬元，不高于200萬元.

（1）該公司有哪幾種進(jìn)貨方案？

（2）該公司采用哪種進(jìn)貨方案可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3）若用（2）中所求得的利潤再次進(jìn)貨，請直接寫出獲得最大利潤的進(jìn)貨方案.

【解】：（1）設(shè)購進(jìn)甲種商品茗件，乙種商品（20-x）件.

190≤12x+8（20-x）≤200 解得7.5≤x≤10.

∵x為非負(fù)整數(shù)，∴x取8，9，lO

有三種進(jìn)貨方案：購甲種商品8件，乙種商品12件

購甲種商品9件，乙種商品ll件

購甲種商品lO件，乙種商品10件

（2）購甲種商品10件，乙種商品10件時(shí)，可獲得最大利潤

最大利潤是45萬元

（3）購甲種商品l件，乙種商品4件時(shí)，可獲得最大利潤

【說明】列不等式（組）解決實(shí)際問題與列方程（組）解決實(shí)際問題的步驟、方法基本類似，可類比復(fù)習(xí).在運(yùn)用不等式（組）解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵分析問題中的數(shù)量關(guān)系，特別注意抓住問題中的關(guān)鍵字，如“不超過”、“至少”等.找出不等關(guān)系，從而列出不等式.

3.二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系

在學(xué)習(xí)一元二次不等式的時(shí)候，許多同學(xué)感到比較費(fèi)勁，老師上課講的方法只能死記硬背，不好理解。其實(shí)咱們只要換一種想法，類似一次函數(shù)與一次不等式之間的關(guān)系一樣，把二次不等式和二次函數(shù)聯(lián)系起來，那么所有的問題都會迎刃而解。

假設(shè)我們要解這樣的一個(gè)不等式：-x2+2x+3＞0-x2，我們第一步需要做的還是要設(shè)出一個(gè)函數(shù)y=-x2+2x+3

通過圖像我們可以看出，當(dāng)x＜-1和x＞3時(shí)，函數(shù)值小于0。-1＜x＜3時(shí)函數(shù)值大于0。所以相對應(yīng)不等式的解就應(yīng)該是｛x│-1＜x＜3｝。

我們上面舉的例子只是其中的一種情況，二次函數(shù)與不等式結(jié)合的類型題主要類型題有以下幾種：

一、利用不等式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化我們要求的未知量

例3已知函數(shù)f（x）=ax2bx+c（a，b，c∈R），當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)│f（x）│≤1，求證：

；（1）│b│≤1

（2）若g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R）則當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)，求證：│g（x）│≤2。

思路分析：我們并不能直接的求出a，b，c的值，然而，值得我們注意的是：題目要求我們做的也并不是求b或g（x）的確定值，而是讓我們算出取值范圍，正因?yàn)檫@樣原因，我們可以把用f（-1）、f（0）、f（1）來表示a，b，c。

證明：（1）由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，從而有

由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，a+c=1/2［f（1）+f（-1）］，c=f（0），從而a=1/2［f（1）+f（-1）］-f（0）

將以上三式代入g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R），并整理得

總結(jié)

在當(dāng)前的教學(xué)中，函數(shù)與方程、不等式的結(jié)合越來越多，同樣在高考中所占的比重也越來越大，通過統(tǒng)計(jì)每年的高考試題數(shù)據(jù)，我們不難發(fā)現(xiàn)在每次的考試中，函數(shù)轉(zhuǎn)換方程、不等式的思想遍布各個(gè)題型中。但是現(xiàn)在，大部分師生對這部分的研究較少，即使研究了，也是比較片面的，沒有將三者有機(jī)的結(jié)合起來，形成連貫的知識體系。隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入，教師應(yīng)該在日常的教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想這一方面的能力，以提高學(xué)生的做題效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。