李俊

摘 要：有理數(shù)與字母溝通在初一學(xué)生遇到困難的原因在于，字母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)之時(shí)需要對(duì)字母進(jìn)行分類討論。初中生之所以不具備分類討論的思維方式，關(guān)鍵在于初中生難以將字母與有理數(shù)之間的差別區(qū)分清楚，他們根據(jù)習(xí)慣性的直觀思維方式與數(shù)字運(yùn)算的習(xí)慣，單純地將字母與數(shù)字等同起來，從而忽略了字母數(shù)字的抽象性，而將其等同于有理數(shù)的直觀性。因此，培養(yǎng)初中生的分類討論思維的關(guān)鍵在于，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解字母本身的抽象性及其在與直觀式的有理數(shù)溝通之時(shí)的多種可能性，以幫助學(xué)生真正地掌握分類討論的思維方法。

關(guān)鍵詞：有理數(shù);字母;代數(shù);分類討論

分類討論是近幾年中考中的一個(gè)熱點(diǎn)。分類討論是初中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤诸?，可將一個(gè)復(fù)雜的問題大大地簡(jiǎn)化，達(dá)到化繁就簡(jiǎn)、化難為易，分而治之的目的。數(shù)學(xué)分類思想的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，從而將其分成幾個(gè)不同種類的數(shù)學(xué)模型，以期達(dá)到將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題清晰化的效果。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。

分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過幾節(jié)課就可以讓學(xué)生掌握，而需要教師將其貫穿于整個(gè)中學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中。教師在教學(xué)過程中，需要把握住學(xué)生之所以沒能掌握分類討論這一思路的要害，在充分理解分類討論這一數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，正確看待學(xué)生所遇

到的問題，由此幫助學(xué)生解決問題。

一、分類討論問題得以確立的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——代數(shù)式自身的“不確定性”

在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，開始出現(xiàn)與小學(xué)時(shí)期不同的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，即代數(shù)與數(shù)字之間的差別。在數(shù)字運(yùn)算中，單純運(yùn)用加減乘除的運(yùn)算法就可以解決相關(guān)的問題，因?yàn)樵跀?shù)字計(jì)算中，被給予的數(shù)字總是確定的。5這個(gè)數(shù)字就象征著5本身，它不包含其他的含義。而代數(shù)運(yùn)算則不再是直觀式的數(shù)字計(jì)算問題，代數(shù)內(nèi)部所包含的問題同時(shí)也可以包含著其他抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如，字母a在代數(shù)式中，可以用來指代一個(gè)具體的數(shù)字，整數(shù)5、10、25，負(fù)數(shù)-7、-34，但同時(shí)它也可以指代一個(gè)數(shù)學(xué)式子，例如3x+2y等等，而類似的抽象結(jié)構(gòu)之間又可以相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)式子最終可

以演變?yōu)橐粋€(gè)單純的數(shù)字，而單純的式子本身同樣可以轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)字，而轉(zhuǎn)變的依據(jù)無外乎等式兩邊相等的原則。諸如此類的例子是無法用舉例的方法進(jìn)行說明，而我們所要說明的問題是代

數(shù)本身它并不只是一個(gè)單純的數(shù)字，代數(shù)本身它的真正內(nèi)在含義究竟是什么，對(duì)代數(shù)式本身的研究和剖析是需要根據(jù)題目中所給定的條件進(jìn)行分析和討論的，由此對(duì)代數(shù)進(jìn)行的分類討論才進(jìn)入了學(xué)生所要解答的數(shù)學(xué)問題中。

二、初中生難以掌握分類討論法的原因——將代數(shù)與數(shù)字混

為一談

初中生難以掌握分類討論的原因就在于初中生將小學(xué)之時(shí)對(duì)于數(shù)字運(yùn)算的直接性直接套在了抽象的代數(shù)式上，由此就忽略了代數(shù)本身的多種可能性。例如，在初一階段接觸到的絕對(duì)值問題，就容易暴露出初中生直觀思維的特點(diǎn)與抽象的代數(shù)之間的矛盾。當(dāng)在接觸計(jì)算a等于多少這一極為根本的數(shù)學(xué)模型時(shí)，將它看成

最為簡(jiǎn)單的代數(shù)式運(yùn)算，學(xué)生就容易遇到思維轉(zhuǎn)換上的困難。由于學(xué)生在小學(xué)時(shí)期的數(shù)字運(yùn)算習(xí)慣，單純地把a(bǔ)這個(gè)數(shù)字看成正數(shù)，而把-a這個(gè)代數(shù)看成負(fù)數(shù)，從而簡(jiǎn)單地得出a=a和-a=a這兩個(gè)片面的答案，教師在指責(zé)學(xué)生無法對(duì)a這個(gè)代數(shù)進(jìn)行分類討論之時(shí)，更需要認(rèn)識(shí)到的問題是，學(xué)生在面對(duì)絕對(duì)值無法分類討論的首要原因不是學(xué)生沒有理解絕對(duì)值這個(gè)數(shù)學(xué)思想，而主要在于學(xué)生沒有理解a這個(gè)單純的代數(shù)。所謂沒有理解a這個(gè)代數(shù)，實(shí)則就是沒有理解a這個(gè)代數(shù)本身的不確定性。它背后所包含的無限可能性，甚至可以說代數(shù)a本身就是一個(gè)無所不包的數(shù)學(xué)模型，包含了運(yùn)算中的全部可能性。而學(xué)生卻是本著一貫直觀的思維運(yùn)算方法，看到的卻是a前面沒有負(fù)號(hào)，從而得出a為正數(shù)這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。在指責(zé)學(xué)生的時(shí)候，首先應(yīng)該思考的是，教師自身是否就有看到問題的關(guān)鍵？

依然以絕對(duì)值這個(gè)數(shù)學(xué)概念為例，在初中的有理數(shù)運(yùn)算中，代數(shù)式通常只需要和數(shù)字進(jìn)行溝通，在這個(gè)過程中就需要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題來進(jìn)行分析并得出結(jié)論，看清給定的代數(shù)前提條件，從而對(duì)代數(shù)進(jìn)行符號(hào)上的界定。而在沒有給出前提條件之時(shí)，真正體現(xiàn)出代數(shù)式思維性的就在于a這個(gè)代數(shù)自身。a既是一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)，更是一個(gè)豐富的數(shù)學(xué)模型，而對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型能否進(jìn)行全面的分析，就看出學(xué)生是否理解了a本身。因此，在對(duì)分類討論法進(jìn)行教授的時(shí)候，最關(guān)鍵的基礎(chǔ)性工作依然是幫助學(xué)生理解這個(gè)代數(shù)a，從而建立起a與諸如具體的有理數(shù)、其他運(yùn)算公式之間的聯(lián)系，a自身所包含的變量思想也就體現(xiàn)在其中。

三、問題的解決

分類討論是一種整體式的數(shù)學(xué)思維方法，整體就在于充分考慮到代數(shù)字母作為變量的各種可能性。而學(xué)生未能理解這一點(diǎn)，而簡(jiǎn)單地把字母看成一個(gè)數(shù)字，甚至是正數(shù)，而沒抓住作為變量的a的含義。因此教師在講解分類討論問題時(shí)，就需要抓住問題的要害即字母a本身。

1.語言講解：引導(dǎo)學(xué)生建立起代數(shù)與數(shù)字之間的聯(lián)系

教師在對(duì)基本的代數(shù)進(jìn)行講解時(shí)，需要著重強(qiáng)調(diào)代數(shù)字母本身的特點(diǎn)和性質(zhì)，告訴學(xué)生a不是一個(gè)自己想當(dāng)然的數(shù)字，至少a的符號(hào)到底代表什么，我們無法確切地知道，因此對(duì)于a必須進(jìn)行分類討論。

2.數(shù)形結(jié)合實(shí)例講解

以七年級(jí)上冊(cè)第二章為例，作為起始章節(jié)，教師可以將新知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)分類思想和方法滲透到課堂教學(xué)中。比如“正數(shù)、負(fù)數(shù)和零”，這是學(xué)生首次對(duì)數(shù)進(jìn)行真正意義上的分類討論，教師可以借助數(shù)軸的教學(xué)和演示把空洞的數(shù)字投射到數(shù)軸的左邊、右邊和原點(diǎn)上。借助數(shù)形結(jié)合加深分類思想，從而順利地完成新舊知識(shí)的過渡。在結(jié)合數(shù)軸的分析時(shí)，可以對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)地升華，從講解具體數(shù)字在數(shù)軸左右的同時(shí)，將代數(shù)的數(shù)學(xué)思想引入課堂，與數(shù)軸結(jié)合起來進(jìn)行講解，為接下來的代數(shù)運(yùn)算做好鋪墊

工作。

教師要把握好滲透的契機(jī)，重視新概念、公式、定理、法則的提出過程，知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問題。在本章接下來的難點(diǎn)絕對(duì)值和相反數(shù)教學(xué)過程中，要注重新知識(shí)與分類思想的滲透，可以讓學(xué)生自主討論一下字母a，它的相反數(shù)是-a，從中體驗(yàn)分類思想，再提出疑問，如果a代表有理數(shù)，那么a和-a的大小關(guān)系是什么，讓學(xué)生暢所欲言，進(jìn)一步加深對(duì)新知識(shí)的理解和運(yùn)用。

3.講解與練習(xí)雙管齊下

在抓住學(xué)習(xí)重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)及解決具體數(shù)學(xué)問題中，分類的思想方法是處理這些問題的助手，這些問題的解決過程，也是數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過程。在強(qiáng)化學(xué)生溝通有理數(shù)和代數(shù)之間的關(guān)聯(lián)時(shí)，更應(yīng)通過練習(xí)反復(fù)地訓(xùn)練和講解，學(xué)生在遇到具體問題之時(shí)，時(shí)刻會(huì)處在抽象思維運(yùn)用和單純直觀問題的反復(fù)徘徊之中，教師應(yīng)當(dāng)給予耐心，不怕學(xué)生在問題中出錯(cuò)，要堅(jiān)信通過練習(xí)的強(qiáng)化可以達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維的目的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

代數(shù)在初中階段的出現(xiàn)對(duì)于剛?cè)雽W(xué)的初中生而言，是遇到的第一個(gè)數(shù)學(xué)難題，教師在講解的時(shí)候不可只是單純地灌輸具體的解題思路，這樣就喪失了數(shù)學(xué)的思維樂趣，也不能單純地把通行的公理和結(jié)論告知學(xué)生，問題的關(guān)鍵不在于結(jié)論是什么，而在于結(jié)論如何得出。正如黑格爾在談?wù)搸缀螌W(xué)時(shí)所說：“我們更不會(huì)把這樣的人當(dāng)作一位幾何學(xué)家，他能外在地知道（熟記）歐幾里得的定理，而不懂它們的證明，或者如果人們可以對(duì)比起來說的話，而不內(nèi)在地知道（理解）它們?！蓖瑯?，對(duì)于有理數(shù)分類談?wù)撨@一簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想而言，要求學(xué)生熟悉運(yùn)用a這一數(shù)學(xué)模型依然只屬于外在地熟記，而真正的內(nèi)在理解這一數(shù)學(xué)模型則是明白a代表什么，明白a的無窮可能，而這樣內(nèi)在地理解首先需要教師自己的體驗(yàn)，才將其傳遞，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到這一層次。

參考文獻(xiàn)：

[德]黑格爾.精神現(xiàn)象學(xué)[M].賀麟，王玖興，譯.北京：商務(wù)印書館，1979.