王峰

【摘 要】實變函數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課，其核心內(nèi)容是勒貝格測度及積分理論。實變函數(shù)課程內(nèi)容具有較高的抽象性，這使得很多學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)該門課程很困難、提不起興趣。本文結(jié)合個人的教學(xué)實踐，探索了如何改進實變函數(shù)課程的教學(xué)方法。

【關(guān)鍵詞】實變函數(shù)；數(shù)學(xué)思想；Mathematica；教學(xué)

實變函數(shù)課程是高等院校數(shù)學(xué)本科專業(yè)重要的理論分析基礎(chǔ)課之一，它為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)其它課程如微分方程、泛函分析、概率論、復(fù)分析、算子理論與算子代數(shù)等提供了必不可少的基礎(chǔ)知識。由于其內(nèi)容具有高度的抽象性、概括性、嚴謹性、構(gòu)造性等特點，導(dǎo)致學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)該門課程很困難。這里，作者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，參考其他教師的教學(xué)改革研究成果[1-4]，提出了自己的一些教學(xué)改革想法。

1 讓學(xué)生認識到學(xué)習(xí)實變函數(shù)的意義

在學(xué)習(xí)實變函數(shù)的過程中，如果學(xué)生僅僅是帶著應(yīng)付下考試的心理，那學(xué)習(xí)這門功課的意義就大打折扣了。實際上，實變函數(shù)內(nèi)容的抽象性恰能很好地鍛煉我們分析問題和處理問題的邏輯思維能力，錘煉我們的細心、耐心、恒心和信心。學(xué)習(xí)過程會是一個不斷提升自身數(shù)學(xué)修養(yǎng)的過程。在這一方面，實變函數(shù)課程里每一章都涉及到大量的定理和證明題，要想很好地解決每道題其實還是很困難的。這時，學(xué)生們正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和出色的推理能力將起著重要的作用。在未來的工作崗位上，絕大部分的數(shù)學(xué)院系的學(xué)生將從事和數(shù)學(xué)有關(guān)的工作，探究實變函數(shù)的思想將在他們未來的工作道路上起到潛移默化的作用。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)多挖掘行之有效的教學(xué)方法，讓學(xué)生在實變函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)會到其極富創(chuàng)造力的新方法和新思想。

2 教師精講與學(xué)生自學(xué)相結(jié)合

實變函數(shù)課程里的內(nèi)容非常多，如果教師上課時面面俱到，肯定沒有時間留給學(xué)生去思考，學(xué)生就會在這種不間斷的灌輸中感到疲憊，逐漸產(chǎn)生厭學(xué)情緒，進而出現(xiàn)了逃課現(xiàn)象。教師的作用不能是灌輸，而是精選出在整個課程中承上啟下、多處應(yīng)用到的有關(guān)概念或定理，精講典型例子以及常用方法、技巧和思想。比如，可測函數(shù)列的收斂性問題要精講，但可測函數(shù)的構(gòu)造中的魯津定理可以略講，讓學(xué)生自學(xué)，了解其意義。再如函數(shù)的連續(xù)、收斂概念的教學(xué)，可以指導(dǎo)同學(xué)們對比數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)、收斂進行自學(xué)，找出異同。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)更好地引導(dǎo)學(xué)生思考，讓他們用自己的方式來理解和記憶知識。另外，一些比較復(fù)雜的證明過程可以省掉或者結(jié)合多媒體進行教學(xué)，這樣節(jié)省下來的時間用于學(xué)生自學(xué)。對自學(xué)的內(nèi)容，教師應(yīng)事先編寫自學(xué)大綱，提出問題，讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在自學(xué)的過程中注重實變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系，在比較和分析中完成整個學(xué)習(xí)過程。

3 滲透數(shù)學(xué)史，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

實變函數(shù)中的概念比較抽象，如果一直采用純粹的概念、理論加推導(dǎo)的教學(xué)方式，學(xué)生很容易失去興趣，更難深刻理解相關(guān)概念，上課走神也就不足為奇了?，F(xiàn)在，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)實變函數(shù)時，只追求課后習(xí)題答案，對這門課程的歷史背景一無所知。為了避免這種現(xiàn)象，在教學(xué)過程中應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想史的滲透。這不僅有助于學(xué)生加深對概念的理解，同時也拓廣了學(xué)生的知識面，提高了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。比如勒貝格積分是實變函數(shù)的核心內(nèi)容，是函數(shù)論的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具。在數(shù)學(xué)家哈納克、波萊爾等工作的基礎(chǔ)上，勒貝格于1902年在其博士論文《積分、長度與面積》中，對于測度論和積分理論進行了深入的研究，提出了可測函數(shù)與勒貝格積分理論。這些背景知識的介紹不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以引導(dǎo)學(xué)生樹立對新現(xiàn)象和新事物的正確態(tài)度。

4 結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，鞏固理論知識

在高等院校中，實變函數(shù)課程屬于純理論分析課程，在教學(xué)過程中比較注重概念分析和原理的推導(dǎo)過程，而較少使用計算機軟件（如Matlab、Mathematica）幫助分析問題。實變函數(shù)課程中概念和定理證明較多，單純使用人工推理，會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高。因此，在教學(xué)過程中可以多使用計算機軟件來進行分析問題、解決問題，并指導(dǎo)學(xué)生去嘗試基本應(yīng)用，則會開闊學(xué)生視野，提高學(xué)習(xí)積極性。比如一個無限集可以與它的真子集等價，這對于初學(xué)者難以理解。借助Mathematica，可以給出函數(shù)tanπx-的圖像，它確定了從（-∞，+∞）到（0，1）的一個一一映射，這有助于學(xué)生對這一“反?！笔聦嵉睦斫?。再如闡明勒貝格積分的基本思想是至關(guān)重要的，除了用日常生活中“數(shù)硬幣”的兩種不同方式來通俗地說明黎曼積分與勒貝格積分的思想外，還可借助Mathematica更生動、豐富地展示其聯(lián)系和區(qū)別。因此，計算機軟件的引入，對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)實變函數(shù)的興趣，提高學(xué)生的動手能力和思維能力，拓展學(xué)生的知識面等方面都有很重要的作用。

5 結(jié)語

針對實變函數(shù)課程特點，結(jié)合學(xué)校的具體教學(xué)情況，因地制宜地開展該課程的教學(xué)工作，對任課教師來說的確是一項重要的挑戰(zhàn)性工作。為此，任課教師要不斷地改進其教學(xué)方法，有效地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，讓老師和學(xué)生共同感受到教學(xué)方法革新的樂趣，這樣實變函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量也就提高了，教學(xué)大綱的要求也就順利達到了。

【參考文獻】

[1]程其襄，張奠宙，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]張小紅.Mathematica在實變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2013，43（20）：250-254.

[3]蘇孟龍.《實變函數(shù)》教學(xué)中的幾個難點解析[J].教育教學(xué)論壇，2014，9：247-248.

[4]宋文，胡艷紅.在實變函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想史的體會[J].繼續(xù)教育研究， 2012，5：158-160.

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