●江蘇省南通中學 李維堅

質(zhì)疑思辨，探究新知

●江蘇省南通中學 李維堅

古人云：“學起于思，思源于疑”“為學患無疑，疑則有進”，教師應(yīng)鼓勵學生的批判性思維，讓學生懷揣質(zhì)疑的態(tài)度，去完善自己的新知舊識.學生質(zhì)疑問題正是學生主動求知、主動學習的生動表現(xiàn)的一種方式，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新品質(zhì)的重要途徑，教師不妨靜心傾聽，深入思考，尋找價值，意料之外的精彩有時就會不請自來.學生的疑問不但會生成亮點，而且還可以升華數(shù)學課堂.愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要.”在教學中，應(yīng)該鼓勵學生勇于提出問題，盡信書則不如無書，盡信師則不如無師，敢于問老師，問同學，考老師，考同學，這有利于發(fā)展學生思維的嚴謹性和批判性.

一、重視數(shù)學知識的合理生成

數(shù)學是理性的.存在即合理，數(shù)學更是如此.一切數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展，都是自然的和合理的.數(shù)學符號、概念、法則、定理是數(shù)學家心血的結(jié)晶，是數(shù)學界長期合理進化得來的.

二、利用質(zhì)疑放大有效的生成資源

有些有效的生成資源，轉(zhuǎn)瞬即逝，如果不加以強化利用，可能一下課就成了過眼云煙.因而在高中數(shù)學動態(tài)生成課堂中，教師應(yīng)扣住這些生成資源不放，引導(dǎo)學生在師生、生生的互動中找到思維的亮點，在質(zhì)疑思辨的過程中鞏固舊知，探究新知，避免一而再再而三地犯重復(fù)性的錯誤.

講授求曲線的切線時，筆者出示了這樣一道例題：已知曲線f（x）=x3+3x-8，求在點（2，6）處的切線方程.

這個題目學生做的很快，筆者請一個學生回答.

生1：f′（x）=3x2+3，所以曲線在點（2，6）處的切線的斜率就是f′（2）=15，所以所求切線方程為y-6=15（x-2），即15x-y-24=0.

師：很好.那么如果題目為“求過點（2，6）的切線方程”呢？

生1：老師你改動了，那么答案肯定不一樣了.（眾生笑）不過我沒看出有什么不一樣.

師：那么其他同學的意見呢？

生2：我知道了，第一個問題是“求在點（2，6）處的切線方程”，那么點（2，6）就是切點.而第二個問題是“求過點（2，6）的切線方程”，這個點（2，6）就不一定是切點了.

筆者心中暗自高興，生2正道出了筆者的命題意圖，但意料之外的是又有同學舉手.

生3：既然點（2，6）在曲線f（x）=x3+3x-8上，那么點（2，6）肯定是曲線的切點啊，否則這條直線和曲線就不止一個交點了，怎么還能叫切線呢？初中時，圓的切線就是與圓只有一個公共點的直線.

生3的回答是出乎筆者的意料的，而很多學生也表示贊同.筆者清楚，這是由于在前面學習切線時筆者沒有做好辨別的工作，導(dǎo)致現(xiàn)在出現(xiàn)這樣的問題.而教材上也沒有明確地給出切線的定義.此時，這個意外的生成，筆者想應(yīng)該合理地利用.但是由于自己也缺乏嚴謹?shù)亩x，于是只能在課上依據(jù)筆者以前的一些知識，對這個切線的概念做一些簡單的剖析.但心里面也不是很有底氣，心里想，如果不行的話，下了課再仔細研究一下.現(xiàn)在先硬著頭皮上吧.

于是筆者說，對切線這個概念的理解有點錯綜復(fù)雜.從初中開始，我們經(jīng)歷了三個過程.第一個是初中時圓的切線的理解，第二個是高中圓錐曲線的切線，第三個是我們剛剛學習的通過曲線的切線引入了導(dǎo)數(shù)的定義.

筆者記得切線的英文名稱是tangent line，“tangent”在拉丁語中就是“to touch”的意思，也就是“剛好觸碰到”的意思.幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線.（眾生瞪大了眼睛，覺得挺神奇的）筆者也稍微有了點兒信心.繼續(xù)道：那么第一、二種曲線和我們現(xiàn)在研究的函數(shù)的曲線有什么區(qū)別呢？

生4：圓和圓錐曲線不是函數(shù)的曲線，除了焦點在y軸上的拋物線.

師：很好.從平均變化率回憶起，切線是從何而來的呢？

眾生：是由割線逼近的.

師：割線的極限成為了切線，這也是切線的本質(zhì)理解.切線可以看成是曲線的一個局部的性質(zhì)，說的通俗點兒，就是剛好觸碰到.

筆者在黑板上畫出正弦函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學生體會，過正弦函數(shù)的圖像上一點，可以做出好多條正弦曲線的切線，而這些切線與正弦曲線卻不一定只有一個公共點.

學生豁然開朗了.切線原來是這樣定義的.

師：切線可以和曲線有不止一個公共點，那么和曲線只有一個公共點的一定是曲線的切線嗎？

生5：這個我們以前就有反例.和雙曲線只有一個公共點的直線可以是與雙曲線的漸近線平行的直線，和拋物線只有一個公共點的直線可以是拋物線的對稱軸或者與對稱軸平行的直線.

師：很好.還能舉出一些我們熟悉的函數(shù)圖像的例子嗎？

生6：函數(shù)y=|x|在x=0處就不存在切線，但是過（0，0）卻存在無數(shù)條直線均與y=|x|只有一個交點.

師：從以上的研究中，我們發(fā)現(xiàn)，僅知道直線和曲線的交點的個數(shù)，是無法判斷直線與曲線相切與否的.但是我們可以說，當曲線的切線存在時，在該點處的某個鄰域內(nèi)，曲線的切線與曲線只有一個交點.

眾生：鄰域？

師：呵呵，等進入大學你們學習了高等數(shù)學就能更好地理解切線的概念了.現(xiàn)在你們可以初步感受一下“鄰域”的意思.能體會嗎？

生7：就是這個點附近很小的一個區(qū)域.

師：那么讓我們回到剛才的第二個問題.應(yīng)該怎么解決呢？第一問中，已知切點，我們可以很快地利用切點寫出切線的點斜式，而現(xiàn)在呢？

生8：本質(zhì)上是一樣的.可以設(shè)切點的坐標為（x0，y0），則切線的斜率為3x20+3，所以切線方程為

師：很好，利用方程思想，有兩個未知數(shù)x0、y0，我們需要兩個方程.

師：這個三次方程怎么解呢？

生9：可以試根.

生10：已經(jīng)知道了一個根x0=2.

師：很好.那么接下來我們可以有的放矢地進行因式分解，將三次方程化為二次方程.

生11：還有一個根是-1.所以過點（2，6）的切線方程有兩條，分別是15x-y-24=0和6x-y-6=0.

本節(jié)課中，筆者本來是想讓學生區(qū)別“在這點處”和“過這點”的切線方程的區(qū)別，原本是帶著一些考試的功利色彩，但是在學生的生成之下，督促筆者幫助學生也幫助筆者自己去梳理了一下切線的概念，對學生和對筆者都是有幫助的.但是由于平時研究的不夠，高等數(shù)學的知識也忘得很多，導(dǎo)致還不能高屋建瓴地去分析、解決問題.如果要想成功地開展生成的課堂，那么筆者想教師本身的知識和能力是需要不斷提高的.否則，無論學生生成的精彩還是錯誤，教師都不能很好地利用.

后記：本課后有一位學生來問筆者，有了研究三次函數(shù)的單調(diào)性和值域的方法，而課堂上也出現(xiàn)了一元三次方程，那么一元三次方程有沒有類似一元二次方程的判別式或者求根公式呢？

筆者自己對一元三次方程的求根公式也忘的差不多了，只知道一元n次方程在有有理根的情況下，可利用高等代數(shù)中艾森斯坦因定理有理根的求法.對于一般的一元三次方程的根，只是記得有個盛金公式可以求根，而不久前筆者才看了《數(shù)學恩仇錄》，其中第一章講的就是數(shù)學家塔爾塔利亞和卡爾達諾對于求解一元三次方程的爭斗，當時覺得挺有意思，于是又看了點兒有關(guān)盛金公式的知識，但也僅僅是一知半解.這個問題，可能要留給有興趣的同學自己去探究了.

心理學研究表明，當學生原有的認知結(jié)構(gòu)一時間不能同化接納呈現(xiàn)在眼前的新知，或新的信息與其原認知結(jié)構(gòu)不相符時，或把全部已有的知識經(jīng)驗和方法收集調(diào)動后仍不能解決面臨的困難時，學生就在心理上生成了一種強烈的矛盾沖突，稱之為認知沖突.強烈的認知沖突激發(fā)了學生強烈的思維震蕩，引起了學生學習需要的不平衡，一種強烈的樂于學習、自覺探求、渴求新知的心理傾向便會自然生成，積極的思維不斷碰撞，靈感不斷迸發(fā)，這為拓展學生的思維空間，演繹精彩課堂創(chuàng)設(shè)了良機.A