●浙江省杭州高級中學錢江校區(qū) 俞 昕

例談高中數(shù)學必修課程選修化

●浙江省杭州高級中學錢江校區(qū) 俞 昕

如今選修課正如火如荼地開展著，在風光華麗的外表下面，實際的情況還著實有些令人擔憂.作為一線教師，筆者覺得我們應該面對現(xiàn)實，在實踐中不斷反思、勇于直面問題，并且敢于嘗試解決問題，讓我們的數(shù)學選修課程在整個選修課程開發(fā)過程中留下精彩的一筆.

一、數(shù)學選修課程實施現(xiàn)狀

浙江省新課改之后，有一種聲音：數(shù)學的地位只升不降，因為取消了文理分科，在高考中數(shù)學顯得越發(fā)重要.這樣的現(xiàn)狀使得數(shù)學選修課程處于非常尷尬的境界.

1.學生對數(shù)學選修課程的認識不到位

在學生心目中，從小學到高中數(shù)學一直是主科，學習數(shù)學的主要目的可能大都是為了考試，利用數(shù)學這門能夠體現(xiàn)區(qū)分度的學科讓自己在考試中取得優(yōu)勢地位，從而在競爭中脫穎而出.因此，即使開設數(shù)學選修課程，但在學生心目中仍然難以改變數(shù)學必修課程的位置.很多學生有一種認識誤區(qū)：數(shù)學選修課程其實就是數(shù)學必修課程的一種“偽裝”，或是扶差，或是培優(yōu).在筆者所在學校就出現(xiàn)了意想不到的現(xiàn)象：很多學生整個下午四節(jié)課全部選報了數(shù)學選修課程，他們認為自己的數(shù)學比較薄弱，想通過多聽聽數(shù)學課提高自己的數(shù)學成績.而大部分學生至少選報了一門數(shù)學選修課程，因為他們認為多上上數(shù)學課，多多少少對自己的數(shù)學成績會有所幫助.顯然，學生對數(shù)學選修課程的認識是不到位的.

2.教師對數(shù)學選修課程的觀念認識不深刻

筆者所在學校要求每一位數(shù)學教師都要開設選修課程，由于平時的必修課教學任務已經(jīng)比較繁重，所以很多數(shù)學教師將數(shù)學選修課程演變成數(shù)學習題課，選修課的備課就成為準備幾道數(shù)學題目，這倒也恰好與學生對數(shù)學選修課程的態(tài)度不謀而合，師生都將數(shù)學選修課程看成是數(shù)學扶差課或培優(yōu)課了.其實這也反映出教師不善于開發(fā)選修課程，對數(shù)學選修課程的認識不深刻、不到位.

3.學校對數(shù)學選修課程的把握不明確

選修課程的開設勢必對必修課程造成一定的沖擊，數(shù)學必修課程課時減少，原本的進度加快，原本的教學內(nèi)容要壓縮，確實造成了數(shù)學教學課時的緊張.因此，校方與教師都認為將數(shù)學選修課程演變成數(shù)學扶差課或培優(yōu)課是無可厚非的，校方一般也就默認了一線教師的這種處理方法.

但以上現(xiàn)象是否表明學生真的喜歡數(shù)學選修課，數(shù)學選修課是否真正發(fā)揮了它應有的價值與功能呢？這是值得我們數(shù)學教師反思的.數(shù)學選修課與必修課之間的矛盾如何解決？筆者結(jié)合自身的選修課程教學實踐，從“必修課程選修化”的角度來探討數(shù)學選修課程教學.

二、數(shù)學必修課程選修化

數(shù)學選修課程的開設應該試圖讓學生認識數(shù)學的本質(zhì)，改變對傳統(tǒng)“考試數(shù)學”的認識，體驗數(shù)學中蘊含的豐富的思想方法，變“被動學數(shù)學”為“主動學數(shù)學”，通過提升探究數(shù)學的興趣從而提高數(shù)學成績，而不是靠單純的題海戰(zhàn)術提高成績，因為靠題海戰(zhàn)術是“治標不治本”的做法.如何兼顧數(shù)學選修課程與必修課程呢？筆者認為必修課程的選修化是可行之策.

1.對必修課程中數(shù)學公式來龍去脈的深入開發(fā)

高中數(shù)學中有很多新的公式，在必修課程的教學中，教師最多就是把公式推導出來，然后就著重進行公式應用的探究了，這也是常態(tài)課的一般表現(xiàn).由于必修課課時的限制，教師可能無法向?qū)W生充分展示數(shù)學公式的來龍去脈，深入挖掘數(shù)學公式，開發(fā)蘊含于數(shù)學公式中的豐富資源.而數(shù)學選修課就可以為我們提供這樣的機會，進行必修課程的二次開發(fā)，將必修課程選修化.下面以“兩角差的余弦公式”為例進行探討，教師可以從多角度、全方位向?qū)W生展現(xiàn)公式的全貌.（人教A版教材中用向量數(shù)量積推導在此省略）

視角1：兩銳角差的余弦公式.

（1）你能用這兩塊三角板（如圖1）拼出哪些角度呢？（2）你能用它們拼出15°的角嗎？（3）你能否利用所拼出的圖形（如圖2或圖3）求出cos15°的值嗎？

（4）若將上面的45°和30°角分別改成銳角α和β，那么會有怎樣的結(jié)論？cos（α-β）=？

圖1

圖2

圖3

視角2：兩銳角差的余弦公式.

如圖4所示，為一個坡度為30°的斜坡.已知作用在物體上的力F與水平方向之間的夾角為45°，且大小為10N，在力F的作用下，物體沿斜坡運動了2m，求力F作用在物體上的功W.

圖4

圖5

由此做功問題提煉出圖5所示的“兩銳角差的余弦公式”的模型，若將特殊角替換成一般角便可以得到兩銳角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.讓學生從實際問題情境中提煉出兩銳角差的余弦公式的模型，感知數(shù)學知識來源于實際，運用于實際，自然界萬事萬物中都蘊含著豐富的數(shù)學變換.

視角3：兩銳角差的余弦公式.

公元3世紀末，亞歷山大數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》中給出命題：如圖6，設H是以AB為直徑的半圓上的一點，CE是半圓在點H處的切線，CH=HE.CD和EF為AB的垂線，D、F是垂足，則（CD+EF）·CE=AB·DF.認識“弦圖”，從平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩銳角差的余弦公式.

圖6

圖7

（1）如圖7所示，設∠HOF=α，∠COH=β，試用α、β表示∠EOF；

（2）不妨設OC=OE=1，試用線段（比）分別表示sinα、cosα、sinβ、cosβ及cos（α-β）；

（3）試探究cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ的關系.

讓學生尋求數(shù)學進步的歷史軌跡，領會數(shù)學的美學價值，提高學生的數(shù)學文化素養(yǎng).

此外，古埃及天文學家托勒密利用兩角和、差的三角關系繪制了現(xiàn)存最早的三角函數(shù)弦表，在天文學和測量計算中有很重要的應用.制作弦表的原理如圖8所示.此原理與人教A版上的方法（如圖9所示）有異曲同工之妙.

圖8

圖9

視角4：兩銳角差的余弦公式.

數(shù)學的魅力在于它能讓人驚嘆于數(shù)學的各種奇妙的變換，一個普通的圖形當中竟然也能蘊藏著“兩銳角差的余弦公式”，如圖10所示.通過簡單的三角形等積就可以非常簡單地得到“兩銳角差的余弦公式”.

圖10

視角5：兩任意角差的余弦公式.人教A版選修4-2《矩陣與變換》中有介紹旋轉(zhuǎn)變換.如圖11所示，在直角坐標系xOy內(nèi)，作單位圓O，設α、β角的始邊都為Ox，終邊分別交圓于A、B.這時，得到兩點間的坐標分別為A（cosα，sinα）、B（cosβ，sinβ）.由兩點間的距離公式，并整理得AB2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ） ①.再以OB為橫軸，建立新的直角坐標系x′O′y′，使其單位長度與原坐標系相同.在新坐標系中兩點坐標為A（cos（α-β），sin（α-β））、B（1，0）.同樣，由兩點間的距離公式，并整理得AB2=2-2cos（α-β） ②.由①②便可得兩任意角差的余弦公式.

圖11

人教社全日制普通高中教材中也是運用類似的變換來推導“兩任意角差的余弦公式”的,只不過不是旋轉(zhuǎn)坐標軸，而是旋轉(zhuǎn)點（在此不累述，詳見人教社全日制普通高中教材）.

2.對必修課程中數(shù)學知識關聯(lián)性的深入開發(fā)

在日常的必修課教學中，教師往往會忽略數(shù)學知識之間的關聯(lián)性，也容易給學生造成一些誤區(qū).于是我們可以利用必修課程選修化讓學生認識到數(shù)學的關聯(lián)性.

比如在正弦定理與余弦定理的教學中，很多學生包括一些教師都會出現(xiàn)這樣的誤區(qū)：對于（1）已知三角形兩邊及其中一邊的對角，（2）已知三角形兩角及一邊，我們能運用正弦定理解三角形，但對于（3）已知三角形兩邊及夾角，（4）已知三角形三邊，運用正弦定理就無法解決了，只能通過余弦定理解三角形.出現(xiàn)以上誤區(qū)的原因就在于師生對于正弦定理與余弦定理的關聯(lián)性缺乏應有的認識.針對以上問題，我們可以對此進行必修課程選修化的開發(fā)，對學生深刻認識正弦定理與余弦定理必有裨益.下面筆者擷取其中一角以窺一斑.

正弦定理和余弦定理是刻畫三角形6個基本元素中4個元素之間的基本關系.解三角形除了應用這兩個定理，還有一個定理，即射影定理：a=bcosC+ccosB（另兩個略）.更進一步講：正弦定理、余弦定理、射影定理三者之間是等價的.

比如由正弦定理可以推出余弦定理.

由三角形內(nèi)角和定理知cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，兩邊平方得cos2Bcos2C=sin2Bsin2C+cos2A-2sinBsinCcosA.

即 （1-sin2B）（1-sin2C）=sin2Bsin2C+（1-sin2A）-2sinBsinCcosA.

化簡得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA （2）.

將（1）式代入（2）式，并化簡得a2=b2+c2-2bccosA.

由余弦定理也可以推出正弦定理.

a2=b2+c2-2bccosA （1），b2=a2+c2-2accosB （2）.

（1）-（2）得a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

則2（a2-b2）=2c（acosB-bcosA）.

正余弦定理與射影定理的等價性亦可證明，在此省略.由此可以看出，正弦定理與余弦定理的等價性，不存在問題只能用正弦定理或余弦定理解決，我們只能說哪些問題運用正弦定理或余弦定理能一步到位解決.

此外，數(shù)學的關聯(lián)性還體現(xiàn)在數(shù)學思維的相似性上，還是以余弦定理為例，圖12揭示了不同數(shù)學知識之間的關聯(lián)性與相似性.

圖12

3.對必修課程中開放性元素的深入開發(fā)

開放性教學旨在思維開放、題目開放、過程開放.由于對開放性問題的評分存在種種困難，因此，在高考中鮮有開放性問題出現(xiàn).由此引起的連鎖反應是：數(shù)學教師在日常的教學中也鮮有涉及開放性問題.必修課程選修化可以對必修課程中的開放性元素進行深入開發(fā)，進一步開發(fā)學生潛藏的數(shù)學能量.比如下面關于數(shù)列知識的一個開放性教學案例.

（1）題由根生.

摘自高中數(shù)學人教A版必修5第48頁：一尺之棰，日取其半，萬事不竭.（《莊子·天下篇》）

變式：今年，某浙人語：一數(shù)為十，日減其一，竭否？（從古至今）

摘自高中數(shù)學人教A版必修5第28頁：傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖13所示的三角形數(shù).

圖13

從以上的例子中，我們共得到3個數(shù)列，請分別寫出這三個數(shù)列.

（2）固本培元.

對以上這3個數(shù)列，我們可以進行怎樣的研究？

（3）開枝散葉.

對于單個數(shù)列，可進行各種變換（取絕對值、取倒數(shù)、取子列等），得到新的數(shù)列，請選取某幾個角度進行研究.

（4）節(jié)外生枝.

對于兩個數(shù)列，可進行各種運算（加、減、乘、除等），得到新的組合數(shù)列，請選取某幾個角度進行研究.

下面的案例是基于一道高考題的題干部分進行的開放性教學活動.

編題活動1：2014年重慶高考題題干“條件1”：已知直線l：ax+y-2=0.請你根據(jù)以上題干“條件1”，運用“直線方程”知識點編擬一些問題，可適當添加一些條件.

編題活動2：2014年重慶高考題題干“條件2”：圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4.請你根據(jù)以上題干“條件2”，運用“圓的方程”知識點編擬一些問題，可適當添加一些條件.并指明你編擬的題目考查了哪些知識點.

編題活動3：2014年重慶高考題題干“條件1”：已知直線l：ax+y-2=0與“條件2”：圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4.請你綜合以上題干“條件1”和“條件2”，運用直線和圓的方程的知識點編擬一些問題，可適當添加一些條件.

以上兩個開放性教學案例事實上是開放條件或結(jié)論的編題活動.基于選修課的拓展性，我們的開放度還能更大一些，滲透數(shù)學研究性學習與數(shù)學建模的元素.比如可以設計一個開放性的數(shù)學活動：設計制作一個1升的可樂包裝罐，形狀不定，但要節(jié)省材料.各種形狀的設想確定了用料最省時的尺寸（必須通過函數(shù)最值的計算確定），而最終要選出最滿意的設計，還要比較所有的方案才能得到.這種開放性的活動給學生提供了更廣闊的開放性思維的機會，是培養(yǎng)開放性思維能力的好途徑.再比如高中數(shù)學中的經(jīng)典內(nèi)容“楊輝三角”，可以把楊輝三角的數(shù)學內(nèi)涵無限開放，如從“楊輝三角”到“帕斯卡三角”看中西方數(shù)學發(fā)展；用“組合數(shù)學”研究“楊輝三角”的數(shù)學規(guī)律；從數(shù)列的視角研究“楊輝三角”等.

三、結(jié)束語

必修課程選修化不僅是數(shù)學選修課程開發(fā)的一個廣闊途徑，而且有利于提高學生的數(shù)學學習興趣、端正學生對數(shù)學選修課的態(tài)度、糾正教師隊伍中對數(shù)學選修課認識上的一些誤區(qū)、銜接數(shù)學必修課程、提升學生的數(shù)學能力與素養(yǎng).從另一角度來看，深入數(shù)學必修課程，對其內(nèi)涵、廣度、深度不斷挖掘，也是培養(yǎng)教師選修課程開發(fā)能力的一個有力途徑.A