（鄭州大學(xué)西亞斯國(guó)際學(xué)院河南鄭州451150）

資金時(shí)間價(jià)值是財(cái)務(wù)管理的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，由于涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，不易把握知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯性、連貫性和系統(tǒng)性。在資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，資金的終值、現(xiàn)值和各類年金相互之間的計(jì)算依賴于各類系數(shù)。因此，用簡(jiǎn)單易懂的公式來分析和推導(dǎo)資金時(shí)間價(jià)值中各類系數(shù)的涵義及其關(guān)系，不僅有利于把握各類系數(shù)之間的邏輯性、連貫性和系統(tǒng)性，也有利于對(duì)各類系數(shù)的理解、掌握和運(yùn)用。

資金時(shí)間價(jià)值是指資金在沒有風(fēng)險(xiǎn)和沒有通貨膨脹的條件下，經(jīng)過一定時(shí)期的投資和再投資所增加的價(jià)值。從本質(zhì)上看，不是所有的資金都有時(shí)間價(jià)值，資金最終要依靠投入經(jīng)營(yíng)過程才能帶來價(jià)值的增值。但是，資金經(jīng)過投資和再投資所增加的價(jià)值并不全是資金時(shí)間價(jià)值，在投資過程中，由于投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)而要求獲得風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，由于投資者要彌補(bǔ)通貨膨脹所引起的貨幣購(gòu)買力下降而要求獲得通貨膨脹補(bǔ)償。因此可以看出，資金時(shí)間價(jià)值是考慮資金由于時(shí)間因素經(jīng)過投資和再投資所帶來的價(jià)值增值，而不考慮資金由于風(fēng)險(xiǎn)和通貨膨脹因素經(jīng)過投資和再投資所帶來的價(jià)值增值。而資金時(shí)間價(jià)值率是沒有風(fēng)險(xiǎn)和沒有通貨膨脹條件下的社會(huì)平均資金利潤(rùn)率，通常用無(wú)通貨膨脹條件下的國(guó)庫(kù)券利息率來表示。

一、資金時(shí)間價(jià)值中系數(shù)的涵義

由于資金是有時(shí)間價(jià)值的，等額的資金在不同時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值是不等額的，因此一定要區(qū)分資金所對(duì)應(yīng)的時(shí)點(diǎn)。由于復(fù)利體現(xiàn)了資金的投資和再投資，符合資金時(shí)間價(jià)值的內(nèi)涵，因此在資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，通常采用復(fù)利計(jì)算。

（一）復(fù)利終值系數(shù)與復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)的涵義。終值（future value）是指當(dāng)前的資金在若干期后所具有的價(jià)值；現(xiàn)值（present value）是指未來年份的資金在當(dāng)前的價(jià)值。復(fù)利終值系數(shù)是由資金的現(xiàn)值計(jì)算出其終值所需乘的數(shù)，復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)是由資金的終值計(jì)算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F表示終值，P表示現(xiàn)值，i表示利息率，n表示期數(shù)，則資金的終值與其現(xiàn)值的關(guān)系是：F=P（1+i）n，資金的現(xiàn)值與其終值的關(guān)系是：P=F/（1+i）n。復(fù)利終值系數(shù)可用（F/P，i，n）表示，復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)可用（P/F，i，n）表示，則有公式 1-1 和 1-2。

（二）普通年金終值系數(shù)與普通年金現(xiàn)值系數(shù)的涵義。普通年金（ordinary annuity）是指在一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額的系列收付款項(xiàng)。普通年金的終值是指普通年金在若干期后所具有的價(jià)值，普通年金終值系數(shù)是由普通年金計(jì)算出其終值所需乘的數(shù)；普通年金的現(xiàn)值是指普通年金在當(dāng)前的價(jià)值，普通年金現(xiàn)值系數(shù)是由普通年金計(jì)算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F和P分別表示普通年金的終值和現(xiàn)值，A表示普通年金，i表示利息率，n表示期數(shù)，普通年金與其終值的關(guān)系是：F=A[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]，普通年金與其現(xiàn)值的關(guān)系是：P=A[1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n]，普通年金終值系數(shù)可用（F/A，i，n）表示，普通年金現(xiàn)值系數(shù)可用（P/A，i，n）表示，則有公式 2-1 和 2-2。

（三）先付年金終值系數(shù)與先付年金現(xiàn)值系數(shù)的涵義。先付年金（annuity due）是指在一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額的系列收付款項(xiàng)。先付年金的終值是指先付年金在若干期后所具有的價(jià)值，先付年金終值系數(shù)是由先付年金計(jì)算出其終值所需乘的數(shù)；先付年金的現(xiàn)值是指先付年金在當(dāng)前的價(jià)值，先付年金現(xiàn)值系數(shù)是由先付年金計(jì)算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F和P分別表示先付年金的終值和現(xiàn)值，AD表示先付年金，i表示利息率，n表示期數(shù)，先付年金與其終值的關(guān)系是：F=AD[（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n]，先付年金與其現(xiàn)值的關(guān)系是：P=AD[1+1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n-1]，先付年金終值系數(shù)可用（F/AD，i，n）表示，先付年金現(xiàn)值系數(shù)可用（P/AD，i，n）表示，則有公式 3-1 和 3-2。

（四）延期年金終值系數(shù)與延期年金現(xiàn)值系數(shù)的涵義。延期年金（deferred annuity）是指在一定時(shí)期內(nèi)，最初若干期沒有收付款項(xiàng)的情況下，后面若干期等額的系列收付款項(xiàng)，一般把延期年金看成是普通年金的特殊形式。延期年金的終值是指延期年金在若干期后所具有的價(jià)值，延期年金終值系數(shù)是由延期年金計(jì)算出其終值所需乘的數(shù)；延期年金的現(xiàn)值是指延期年金在當(dāng)前的價(jià)值，延期年金現(xiàn)值系數(shù)是由延期年金計(jì)算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F和P分別表示延期年金的終值和現(xiàn)值，DA表示延期年金，i表示利息率，m表示沒有收付款項(xiàng)的期數(shù)，n表示有收付款項(xiàng)的期數(shù)。延期年金與其終值的關(guān)系是：F=DA[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]， 延期年金與其現(xiàn)值的關(guān)系是：P=DA[1/（1+i）m+1+1/（1+i）m+2+…+1/（1+i）m+n]，延期年金終值系數(shù)可用（F/DA，i，n）表示，延期年金現(xiàn)值系數(shù)可用（P/DA，i，n）表示。則有公式4-1和 4-2。

二、資金時(shí)間價(jià)值中系數(shù)之間的關(guān)系

（一）不同系數(shù)之間的關(guān)系。

1.同類終值系數(shù)和現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。

（1）復(fù)利終值系數(shù)和復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和1-2可得：當(dāng)i、n相同時(shí)，復(fù)利終值系數(shù)和復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)，（F/P，i，n）（P/F，i，n）=1。

（2）普通年金終值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1和2-2可得：當(dāng)i、n相同時(shí)，普通年金終值系數(shù)等于普通年金現(xiàn)值系數(shù)乘以n期的復(fù)利終值系數(shù)，（F/A，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）n=（P/A，i，n）（F/P，i，n）。

（3）先付年金終值系數(shù)和先付年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式3-1和3-2可得：當(dāng)i、n相同時(shí)，先付年金終值系數(shù)等于先付年金現(xiàn)值系數(shù)乘以n期的復(fù)利終值系數(shù)，（F/AD，i，n）=（P/AD，i，n）（1+i）n=（P/AD，i，n）（F/P，i，n）。

（4）延期年金終值系數(shù)和延期年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式4-1和4-2可得：當(dāng)i、m、n相同時(shí)，延期年金終值系數(shù)等于延期年金現(xiàn)值系數(shù)乘以m+n期的復(fù)利終值系數(shù)，（F/DA，i，n）=（P/DA，i，n）（1+i）m+n=（P/DA，i，n）（F/P，i，m+n）。

2.不同的終值系數(shù)之間的關(guān)系。

（1）普通年金終值系數(shù)與復(fù)利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和2-1可得：當(dāng)i相同時(shí)，普通年金終值系數(shù)等于從 1 期到 n-1 期的復(fù)利終值系數(shù)之和加 1，（F/A，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（2）先付年金終值系數(shù)與復(fù)利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和3-1可得：當(dāng)i相同時(shí)，先付年金終值系數(shù)等于從 1 期到 n 期的復(fù)利終值系數(shù)之和，（F/AD，i，n）=（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n）。

（3）延期年金終值系數(shù)與復(fù)利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和4-1可得：當(dāng)i相同時(shí)，延期年金終值系數(shù)等于從 1 期到 n-1 期的復(fù)利終值系數(shù)之和加 1，（F/DA，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（4）先付年金終值系數(shù)與普通年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1和3-1可得：當(dāng)i、n相同時(shí)，先付年金終值系數(shù)等于普通年金終值系數(shù)乘以（1+i），（F/AD，i，n）=（F/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金終值系數(shù)還等于 n+1 期的普通年金終值系數(shù)減 1，（F/AD，i，n）=（F/A，i，n+1）-1。

（5）延期年金終值系數(shù)與普通年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1和4-1可得：當(dāng)i、n相同時(shí)，延期年金終值系數(shù)等于 n 期的普通年金終值系數(shù)，（F/DA，i，n）=（F/A，i，n）。

3.不同的現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。

（1）普通年金現(xiàn)值系數(shù)與復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2和2-2可得：當(dāng)i相同時(shí)，普通年金現(xiàn)值系數(shù)等于從 1 期到 n 期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之和，（P/A，i，n）=（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n）。

（2）先付年金現(xiàn)值系數(shù)與復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2和3-2可得：當(dāng)i相同時(shí)，先付年金現(xiàn)值系數(shù)等于從 1 期到 n-1 期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之和加 1，（P/AD，i，n）=1+（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n-1）。

（3）延期年金現(xiàn)值系數(shù)與復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2和4-2可得：當(dāng)i相同時(shí)，延期年金現(xiàn)值系數(shù)等于從 m+1 期到 m+n 期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之和，（P/DA，i，n）=（P/F，i，m+1）+（P/F，i，m+2）+…+（P/F，i，m+n）。

（4）先付年金現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-2和3-2可得：當(dāng)i、n相同時(shí)，先付年金現(xiàn)值系數(shù)等于普通年金現(xiàn)值系數(shù)乘以（1+i），（P/AD，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金現(xiàn)值系數(shù)還等于 n-1 期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)加 1，（P/AD，i，n）=（P/A，i，n-1）+1。

（5）延期年金現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-2和4-2可得：當(dāng)i、n相同時(shí)，延期年金現(xiàn)值系數(shù)等于m+n期與m期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)之差，（P/DA，i，n）=（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）。 此外，延期年金現(xiàn)值系數(shù)也等于n期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)乘以m期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，（P/DA，i，n）=（P/A，i，n）/（1+i）m=（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（二）不同時(shí)期的同一系數(shù)之間的關(guān)系。

1.不同時(shí)期的復(fù)利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1可得：當(dāng)i相同時(shí)，n期的復(fù)利終值系數(shù)等于n-1期的復(fù)利終值系數(shù)乘以（1+i），（F/P，i，n）=（F/P，i，n-1）（1+i）。

2.不同時(shí)期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2可得：當(dāng)i相同時(shí)，n期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)除以（1+i），（P/F，i，n）=（P/F，i，n-1）/（1+i）。

3.不同時(shí)期的普通年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1可得：當(dāng)i相同時(shí)，n期的普通年金終值系數(shù)等于n-1期的普通年金終值系數(shù)加上n-1期的復(fù)利終值系數(shù)，（F/A，i，n）=（F/A，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/A，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

4.不同時(shí)期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-2可得：當(dāng)i相同時(shí)，n期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)加上n期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，（P/A，i，n）=（P/A，i，n-1）+1/（1+i）n=（P/A，i，n-1）+（P/F，i，n）。

5.不同時(shí)期的先付年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式3-1可得：當(dāng)i相同時(shí)，n期的先付年金終值系數(shù)等于n-1期的先付年金終值系數(shù)加上n期的復(fù)利終值系數(shù)，（F/AD，i，n）=（F/AD，i，n-1）+（1+i）n=（F/AD，i，n-1）+（F/P，i，n）。

6.不同時(shí)期的先付年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式3-2可得：當(dāng)i相同時(shí)，n期的先付年金現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的先付年金現(xiàn)值系數(shù)加上n-1期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，（P/AD，i，n）=（P/AD，i，n-1）+1/（1+i）n-1=（P/AD，i，n-1）+（P/F，i，n-1）。

7.不同時(shí)期的延期年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式4-1可得：當(dāng)i、m相同時(shí)，n期的延期年金終值系數(shù)等于n-1期的延期年金終值系數(shù)加上n-1期的復(fù)利終值系數(shù)，（F/DA，i，n）=（F/DA，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/DA，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

8.不同時(shí)期的延期年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式4-2可得：當(dāng)i、m相同時(shí)，n期的延期年金現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的延期年金現(xiàn)值系數(shù)加上m+n期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，（P/DA，i，n）=（P/DA，i，n-1）+1/（1+i）m+n=（P/DA，i，n-1）+（P/F，i，m+n）。