鐘文娟

（河南教育學院 工商管理學院，鄭州 450000）

資金時間價值基礎運算解讀

鐘文娟

（河南教育學院 工商管理學院，鄭州 450000）

資金時間價值是財務管理中的重要概念，是財務管理的基礎，直接影響企業(yè)的財務管理活動，如籌資、營運等，尤其是長期投資決策。只有正確掌握資金時間價值的計算，才能準確處理長期財務管理行為。本文通過對資金時間價值概念的介紹，準確解讀如何計算資金時間價值。

資金時間價值；復利終值；復利現(xiàn)值；年金終值；年金現(xiàn)值

1　資金時間價值概念

資金時間價值是指在不考慮風險和通貨膨脹的情況下，資金經(jīng)過一定時間的投資和再投資所增加的價值。貨幣在使用過程中隨時間推移而發(fā)生的增值現(xiàn)象，稱為貨幣具有時間價值的屬性。但資金不會隨著時間變化而自動發(fā)生增值，只有在投資中循環(huán)才會有收益，才會有增值的可能。

資金時間價值主要點明這一點，闡述資金在投資中隨著時間的推移而產(chǎn)生的增值。資金時間價值在財務管理中的計算主要包括兩部分，即終值和現(xiàn)值。終值是指將來值，指的是本金和利息之和，用F表示；現(xiàn)值是指本金、現(xiàn)在的價值，用P表示。資金時間價值的計算有單利和復利兩種形式。在企業(yè)貸款業(yè)務中，銀行利息都是按復利計算的，單利計算比較簡單。

2　復利終值和現(xiàn)值的計算

復利的計息方式是指本金能產(chǎn)生利息，利息在下期也轉(zhuǎn)作本金并與原來的本金一起計算利息。計算過程中，用i表示利率，n表示期數(shù)，本金*利率=利息。

2.1復利終值

復利終值的計算實質(zhì)上是“知道現(xiàn)值求終值”。

第1期時點上的復利終值根據(jù)定義可得F1=P+P*i=P（1+i）。

第2期時點上的復利終值根據(jù)定義可得F2= P （1+i）+ P （1+i）*（1+i）=P （1+i）2。

以此類推，第n期的復利終值表示為：Fn=P （1+i）n。

復利終值計算公式是F關于P的函數(shù)。其中，（1+i）n為復利終值系數(shù)，用符號（F/P，i，n）表示，可以通過查詢復利終值系數(shù)表獲得。

2.2復利現(xiàn)值

復利現(xiàn)值是未來某一特定時間的一筆未收付款項，按折現(xiàn)率計算的現(xiàn)在時點的價值。相當于原始本金，是指若干期后一定量貨幣的現(xiàn)在價值。

復利現(xiàn)值的計算實質(zhì)上是“知道終值求現(xiàn)值”，是復利終值的逆運算。

根據(jù)1期復利終值的逆運算計算的復利現(xiàn)值P1=F（1+i）-1；根據(jù)2期復利終值的逆運算計算的復利現(xiàn)值P2=F（1+i）-2；以此類推，期數(shù)為n的復利現(xiàn)值表示為：Pn=F（1+i）-n。

復利現(xiàn)值計算公式是P關于F的函數(shù)。其中，（1+i）-n為復利現(xiàn)值系數(shù)，用符號（P/F，i，n）表示，可以通過查詢復利現(xiàn)值系數(shù)表獲得。

3　年金終值和現(xiàn)值的計算

年金是指一定時期內(nèi)，系列等額收付的款項，通常記作A。理解年金需要掌握年金的兩個特點，即時間間隔相同、金額相同。年金有普通年金、即付年金、遞延年金和永續(xù)年金4種表現(xiàn)形式，其中，普通年金計算是所有年金計算的基礎，其他年金計算以普通年金計算為起點進行修正。

3.1普通年金

普通年金又稱后付年金，于每期期末發(fā)生收付款。即資金發(fā)生時點在期末，如圖1所示。

圖1　普通年金的時間軸表示

從時間軸可以看出普通年金的特點，最初時點沒有年金，在最后的期末有年金。

3.1.1普通年金終值的計算

普通年金終值是“和”的概念，是每一個A復利到最后一期時點上的和，實質(zhì)上是n個復利終值之和。需要注意的是終值的“終”是終到n點，計算每期資金在第n期期末即時間軸中n的位置時點上的資金價值總和。

根據(jù)復利終值的計算可知，從第n期到第1期，每一個A的復利終值為A（1+i）0，A（1+i）1，A（1+i）2，…，A（1+i）n-1。該數(shù)列是公比為（1+i）、期數(shù)為n的等比數(shù)列，年金終值即該數(shù)列之和，根據(jù)等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q），年金終值F=［A（1+i）］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得F=A* ［（1+i）n-1］/i。

年金終值計算公式是F關于A的函數(shù)，其中，［（1+i）n-1］/i是年金終值系數(shù)，用符號（F/A，i，n）表示，可以通過查詢年金終值系數(shù)表獲得。償債基金是指為了在約定的未來某一時點收付一定數(shù)額的資金而必須分次等額形成的存款準備金。實際上是“知道終值求年金”，是普通年金終值計算的逆運算。償債基金系數(shù)與年金終值系數(shù)互為倒數(shù)關系，記作（A/F，i，n），可以通過查年金終值系數(shù)表并計算獲得。

3.1.2普通年金現(xiàn)值的計算

普通年金現(xiàn)值也是“和”的概念，是指一定時期內(nèi)每期期末等額收付款項的復利現(xiàn)值之和。即每一個A的復利現(xiàn)值之和。需要注意的是現(xiàn)值的“現(xiàn)”是折現(xiàn)到0點，計算第1期期初即時間軸中0的位置時點上的資金價值。

根據(jù)復利現(xiàn)值的計算可知，從第n期到第1期，每一個A的復利現(xiàn)值為A（1+i）-n，A（1+i）-（n-1），…，A（1+i）-2，A（1+i）-1。該數(shù)列是公比為（1+i）、期數(shù)為n的等比數(shù)列，年金現(xiàn)值即該數(shù)列之和，同理，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，年金現(xiàn)值P=［A（1+i）-n］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得P=A*［1-（1+i）-n］/i。年金終值計算公式是P關于A的函數(shù)，其中，［1-（1+i）-n］/i是年金現(xiàn)值系數(shù)，用符號（P/A，i，n）表示，可以通過查詢年金現(xiàn)值系數(shù)表獲得。

資本回收額是指初始投入資本在未來給定年限內(nèi)每年年末的等額回收值。實際上是“知道現(xiàn)值求年金”，是普通年金現(xiàn)值計算的逆運算。資本回收系數(shù)與年金現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)關系，記作（A/P，i，n），可以通過查年金現(xiàn)值系數(shù)表并計算獲得。

3.2即付年金

即付年金又稱預付年金、先付年金，是指在每期期初收付款。即資金發(fā)生時點在每期期初，如圖2所示。

圖2　即付年金的時間軸表示

從時間軸可以看出即付年金的特點，最初時點（0點）有年金，在最后的期末（n點）沒有年金。即付年金終值和現(xiàn)值的計算以普通年金終值和現(xiàn)值計算為基礎，計算可以根據(jù)時間軸的特點湊出普通年金在進行時間價值換算。

3.2.1即付年金終值的計算

從時間軸中來看，任何年金終值的計算是“終”到n點?？梢杂脙煞N方法計算。

（1）分步法

圖3　即付年金終值的分步法計算

如圖3所示，第一步，先算出在n-1時間點上的年金終值F＇，在0的時間點上有年金A，可以看成是第0期期末，則構(gòu)成了從第0期到n-1期，期數(shù)共n期的普通年金，根據(jù)普通年金終值的計算，F(xiàn)＇=A（F/A，i，n）；第二步，算出最終的終點n時間點的終值。由F＇到F，是間隔1期的復利終值計算。根據(jù)復利終值計算公式，則F= F＇（1+i），即：F=A（F/A，i，n）（1+i）。

（2）湊整法

圖4 即付年金終值的湊整法計算

從圖4的時間軸來看，第n期期末沒有年金，為了湊成普通年金，在第n期期末加上年金A，構(gòu)成從第0期到第n期、期數(shù)是n+1期的普通年金。終值要算到n點，這個A在n點的價值仍然是A，在整個年金終值總和中再將A減去，相當于沒有增加也沒有減少，即利用n點A的作用加一次減一次還是原來的總和。根據(jù)普通年金終值系數(shù)的概念，期數(shù)為n+1期的普通年金終值系數(shù)應該記為（F/A，i，n+1），則該終值計算公式為F＇=A（F/A，i，n+1），該終值多了一個A，將A減去即為即付年金終值。則F=F＇-A，即：

F=A（F/A，i，n+1）-A=A［（F/A，i，n+1）-1］。

3.2.2即付年金現(xiàn)值的計算

從圖5的時間軸中來看，任何年金現(xiàn)值的計算是“折現(xiàn)”到0點。可以用兩種方法計算。（1）分步法

圖5　即付年金現(xiàn)值的分步法計算

第一步，為了湊出普通年金的形式，可以使時間軸向前延伸1期至0期期初即-1點的位置，先算出在該時間點上的年金現(xiàn)值P＇，在-1的時間點上沒有年金A，可以看成是第0期期初，則構(gòu)成了從第0期到n-1期、期數(shù)為n期的普通年金，根據(jù)普通年金現(xiàn)值的計算，P＇=A（P/A，i，n）。

第二步，算出最終的折現(xiàn)點0時間點的現(xiàn)值。由P＇到P，是間隔1期的復利終值計算。根據(jù)復利終值計算公式，則P= P＇（1+i），即：P=A（P/A，i，n）（1+i）。

（2）湊整法

圖6　即付年金現(xiàn)值的湊整法計算

如圖6所示，該計算方法宗旨是先不管第1期期初的年金A，則圖6時間軸中帶下劃線的年金A構(gòu)成了從第1期到n-1期、期數(shù)為n-1期的普通年金。根據(jù)普通年金現(xiàn)值系數(shù)的概念，期數(shù)為n-1期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)應記為（P/A，i，n-1），則該現(xiàn)值計算公式為P＇=A（P/A，i，n-1），該現(xiàn)值較之最終要計算的n期的即付年金現(xiàn)值少了0時間點上的年金A，將A加上即為即付年金現(xiàn)值。則P=P＇+A，即：P=A（P/A，i，n-1）+A =A〔（P/A，i，n-1）+1〕。

3.3遞延年金

遞延年金是指間隔若干期（m）以后于每期期末發(fā)生的系列等額收付款項。正確理解遞延年金的相關計算必須準確找出間隔期m，假設等額收付款項期數(shù)為n。在遞延年金計算終值和現(xiàn)值過程中，也要在時間軸中湊出普通年金的形式便于計算，如圖7所示。

圖7　遞延年金

從圖7的時間軸中可以看出遞延年金的特點，前m期每期期末沒有年金A的發(fā)生，從m期以后的n期中每期期末都發(fā)生年金收付。

3.2.1遞延年金終值的計算

遞延年金終值與遞延期數(shù)無關，其計算與間隔期和收付期有關，計算方法與普通年金終值相同。若收付期為n期，則遞延年金計算公式為：F=A（F/A，i，n）。

3.2.2遞延年金現(xiàn)值的計算

遞延年金現(xiàn)值折現(xiàn)點是到0點，可以用兩種方法計算。

（1）分步法

圖8　遞延年金現(xiàn)值的分步法計算

該方法計算原則是先找出普通年金形式，再進行復利折現(xiàn)。

如圖8所示，第一步，算出圖中所有年金在m點的現(xiàn)值和P＇。在圖8的時間軸中找出正確的遞延期，從時間軸可以看出，有年金A發(fā)生的時間點是從第m+1期到m+n期每期的期末，則構(gòu)成了從第m+1期到m+n期、期數(shù)為n期的普通年金，根據(jù)普通年金現(xiàn)值的計算，P＇=A（P/A，i，n）；第二步，算出最終的折現(xiàn)點0時間點的現(xiàn)值P。由P＇到P，是間隔m期的復利現(xiàn)值計算。根據(jù)復利現(xiàn)值計算公式，則P= P＇（P/F，i， m），則遞延年金現(xiàn)值計算公式為：P=A（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（2）湊整法

圖9　遞延年金現(xiàn)值的湊整法計算

如圖9所示，從時間軸前m期每期期末都假設存在A，構(gòu)成從第1期到m+n期、期數(shù)為m+n期的普通年金。根據(jù)普通年金現(xiàn)值系數(shù)的概念，期數(shù)為m+n期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)應記為（P/A，i，m+n），則該現(xiàn)值計算公式為P＇=A（P/A，i，m+n），該現(xiàn)值較之最終要計算的遞延年金現(xiàn)值多了前m期每期期末年金現(xiàn)值之和。從時間軸可以看出，m期（A）構(gòu)成了從第1期到m期、期數(shù)為m的普通年金，其現(xiàn)值計算為A（P/A，i，m），應在P＇扣除。則遞延年金現(xiàn)值計算公式如下：P=A（P/A，i，m+ n ）-A（P/A，i，m）。

3.4永續(xù)年金

永續(xù)年金是指無限期于每期期末收付的年金。永續(xù)年金每期年金A是無窮的，沒有盡頭。永續(xù)年金沒有終止的時間，所以沒有終值。只需要掌握永續(xù)年金現(xiàn)值的計算。

永續(xù)年金現(xiàn)值可從普通年金現(xiàn)值的計算公式中推導出來。

已知普通年金現(xiàn)值的計算公式為P=A* ［1-（1+i）-n］/i，永續(xù)年金現(xiàn)值即對該公式n為無窮大求極限，整理得計算公式為：P=A/i。

10.3969/j.issn.1673 - 0194.2015.14.037

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A

1673-0194（2015）14-0047-02

2015-05-22