張奠宙

小學(xué)數(shù)學(xué)里的“小數(shù)的意義”的教學(xué)內(nèi)容，所承載的數(shù)學(xué)思想方法在于擴(kuò)充自然數(shù)，使得可以用“數(shù)”來(lái)表示小于“單位1”的量。因此，我們不能滿足于會(huì)認(rèn)、會(huì)讀、會(huì)寫(xiě)小數(shù)，而要回答一些更為本源的問(wèn)題，例如：為什么要學(xué)習(xí)小數(shù)？小數(shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別在哪里？小數(shù)和自然數(shù)是什么關(guān)系？盡量把構(gòu)建“小數(shù)”背后的數(shù)學(xué)思想方法用孩子們易懂的方式表示出來(lái)。

一、不能滿足于直接指認(rèn)式

北師大版用直接指認(rèn)的方式認(rèn)識(shí)小數(shù)。 “小數(shù)的意義（一）”首先用人民幣的元、角、分來(lái)引進(jìn)小數(shù)（見(jiàn)圖1）。開(kāi)宗明義的三句話就是直接指認(rèn)：

“ 1.11元是1元1角1分?！?/p>

“1角是1元的，也可以寫(xiě)成0.1元?！?/p>

“1分是1元的，也可以寫(xiě)成0.01元?！?/p>

這一段教材反復(fù)地讓學(xué)生知道，“以10 或100、1000為分母的分?jǐn)?shù)表示的量，也可以改寫(xiě)成用“ 0.1，0.01，0.23，0.059”那樣形式的數(shù)來(lái)表示它。 隨后，又將抽象的數(shù)1作10等分，再次說(shuō)，“也可以”寫(xiě)成0.1;“也可以”寫(xiě)成0.01。 接著的練習(xí)，要求學(xué)生模仿，“也可以”寫(xiě)成0.064。用圖形表示的分?jǐn)?shù)，“也可以”寫(xiě)成2.13和1.04。教材的內(nèi)容全在分?jǐn)?shù)的改寫(xiě)上。 至于為什么要學(xué)習(xí)小數(shù)，憑什么將分?jǐn)?shù)“也可以寫(xiě)成”小數(shù)，沒(méi)有任何解說(shuō)。無(wú)目的地寫(xiě)來(lái)寫(xiě)去，灌輸?shù)奈兜牢疵馓亓恕?/p>

到了“小數(shù)的意義（二）”（見(jiàn)圖2），通過(guò)量黑板、稱鴕鳥(niǎo)蛋，將測(cè)量得來(lái)的量，按照度量衡的制度將換算時(shí)的分?jǐn)?shù)寫(xiě)成小數(shù)。例如，用米尺量黑板時(shí)，1米之外多出的36厘米，寫(xiě)成0.36米;12克重鵪鶉蛋寫(xiě)成0.012千克?？傊€是將換算得到的分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成小數(shù)。

到了“小數(shù)的意義（三）”（見(jiàn)圖3），忽然在計(jì)數(shù)器上打出22.222，直接問(wèn)每個(gè)2分別表示多少，據(jù)此認(rèn)識(shí)小數(shù)點(diǎn)、十分位、百分位，、千分位等等。認(rèn)知跨度相當(dāng)大。然而，小數(shù)在計(jì)數(shù)器上位于何處？本身是一個(gè)需要探究思考的問(wèn)題，現(xiàn)在直接在計(jì)數(shù)器上撥出22.222，一一指認(rèn)各個(gè)數(shù)位上的2是什么意思，又是一通灌輸。

總之，整段教材，從指認(rèn)開(kāi)始，強(qiáng)調(diào)“也可以”把分?jǐn)?shù)寫(xiě)成小數(shù)，在練習(xí)中依樣模仿，重在能認(rèn)得小數(shù)，會(huì)進(jìn)行單位換算，會(huì)改寫(xiě)成小數(shù)，然后直接給出數(shù)位表。至于這些內(nèi)容背后所承載的數(shù)學(xué)思想方法，特別是小數(shù)乃是自然數(shù)位置計(jì)數(shù)的擴(kuò)展與延伸，幾乎沒(méi)有觸及。這與“四基”教學(xué)的要求相去甚遠(yuǎn)。

圖3

二、做好鋪墊工作，揭示小數(shù)意義的本質(zhì)

人教版教材四下中的“小數(shù)的意義”的教學(xué)內(nèi)容（見(jiàn)圖4），從度量講臺(tái)桌的高及課桌面的長(zhǎng)入手，發(fā)現(xiàn)量出1米之后，還分別多出1分米和2分米。于是，提出問(wèn)題：如果“用米作單位，不夠1米怎么辦？” 問(wèn)題是提出來(lái)了，但是沒(méi)有展開(kāi)。教材接著也是把米、米、米改寫(xiě)為0.1米、0.01米、0.001米。

盡管學(xué)生只認(rèn)識(shí)了0.1、0.01、 0.001三個(gè)小數(shù)，教材緊接著就提出小數(shù)的記數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫(xiě)作0.1、0.01、0.001……每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10。最后，給出數(shù)位順序表（見(jiàn)圖5）。這樣做，沒(méi)有任何鋪墊，同樣沒(méi)有說(shuō)明數(shù)學(xué)思想方法。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》 關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)中“小數(shù)的意義”的內(nèi)容，只有一句話：“結(jié)合具體情境，理解分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義?！辈贿^(guò)，理解是要求很高的行為動(dòng)詞。那么，對(duì)于“小數(shù)的意義”而言，要理解哪幾點(diǎn)呢？筆者認(rèn)為可以有以下幾個(gè)方面。

1.引進(jìn)小數(shù)是為了表示小于“單位1”的量。

2.除0之外，自然數(shù)中最小的是1，所以自然數(shù)不能表示小于1的量。

3.一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分是小于1的數(shù)。（在《初等數(shù)論》中可以找到有關(guān)一個(gè)小數(shù)的“整數(shù)部分”和“小數(shù)部分”概念的表述）

4.小數(shù)是分母為10，100，1000……的一類特殊分?jǐn)?shù)。（注：在剛剛接觸小數(shù)的時(shí)候，小數(shù)就是指有限小數(shù)。本文所指的小數(shù)，都是指有限小數(shù)）

5. 一個(gè)小數(shù)可以記為整數(shù)部分和小數(shù)部分，小數(shù)中的小圓點(diǎn)叫小數(shù)點(diǎn)。

6. 小數(shù)使用十進(jìn)制位值原則記數(shù)法，滿十進(jìn)一，但分?jǐn)?shù)不是。

三、一個(gè)具體的設(shè)計(jì)方案

第一段 小數(shù)的意義

（一）開(kāi)首語(yǔ)

華羅庚： 大哉，數(shù)學(xué)之為用，宇宙之大，粒子之微……數(shù)學(xué)無(wú)處不在。

（二）自然數(shù)和小數(shù)

宇宙很大，我們可以用自然數(shù)描寫(xiě)很遠(yuǎn)的地方，一米，十米，百米，萬(wàn)米，億米……萬(wàn)億米……

粒子很小，用自然數(shù)不能描寫(xiě)。因?yàn)樽匀粩?shù)里最小的數(shù)就是1（0 除外）。因此我們需要引進(jìn)比1還要小的數(shù)，才能描寫(xiě)很小的粒子。

（旁白：比1還小的數(shù)有沒(méi)有？有啊，分?jǐn)?shù)！、都比1小）

（現(xiàn)在，讓我們特別注意一類分?jǐn)?shù)：，，，，……，……）（旁白：10億分之一，多么小?。。?/p>

具有這樣分母的一類特殊分?jǐn)?shù)，我們稱之為小數(shù)。

（三）小數(shù)采用新的記法

例如：

= 0.1 ; ? ? ? ? ? ? = 0.3;

= 0.01， ? ? ? ?= 0.06; ? ? ? ? = 0.34;

= 0.001， ? = 0.007; ?= 0.087;

= 0.543;

……

這樣記法，我們注意到：有小數(shù)點(diǎn)。

小數(shù)點(diǎn)后面一位處的1，表示。

小數(shù)點(diǎn)后面兩位處的1，表示。

0.2 就是兩個(gè)0.1。

10個(gè)0.1就是1。

（旁白：這樣記法的好處是和自然數(shù)很相似，都是一串?dāng)?shù)字，不同位置上的數(shù)字意義不同，也是滿十進(jìn)一）

第二段 ?測(cè)量與小數(shù)

（一） 測(cè)量問(wèn)題：書(shū)桌面有多長(zhǎng)

（旁白：以1米為單位。量得準(zhǔn)確些）

甲：1米多。量了1米，還剩下一段。

乙：我量出剩下的一段有2分米還多一點(diǎn)。

丙：我仔細(xì)量，結(jié)果是2分米之外，還多出6厘米。

（二） 書(shū)桌面長(zhǎng)度的三種表述方法

1.書(shū)桌面長(zhǎng)度是1米加2分米，再加6厘米。

2.利用分?jǐn)?shù)和長(zhǎng)度單位可以表示出來(lái)：（1+ + ）米。

3.利用小數(shù)和長(zhǎng)度單位表示出來(lái)：1.26米。

（旁白：好簡(jiǎn)單?。。?/p>

（三）在計(jì)數(shù)器上表示小數(shù)

1.在計(jì)數(shù)器上看1.26，見(jiàn)圖6。

圖6

因?yàn)橐?米為單位，書(shū)桌面長(zhǎng)是1米多，所以個(gè)位數(shù)是1（在計(jì)數(shù)器的個(gè)位上撥1粒珠）。

2.剩下的2分米，可以在計(jì)數(shù)器的哪一位置上表示？大家思考一下，和同伴交流。

（旁白：比1小的數(shù)，這里可以在個(gè)位的右邊一格，撥2粒珠表示（中間用小數(shù)點(diǎn)隔開(kāi)）。

3.還有剩余的6厘米，可在個(gè)位右邊的第二格，撥6粒珠表示。

小數(shù)寫(xiě)法有小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)右邊的2，它的位置在十分位上，2表示。同樣，6 寫(xiě)在百分位的位置上，表示。

（這時(shí)，可用22.222的各個(gè)不同位置上的2來(lái)加深對(duì)小數(shù)的理解。22是它的整數(shù)部分，0.222是它的小數(shù)部分）

第三段 數(shù)位順序表

有了以上的鋪墊，數(shù)位順序、計(jì)數(shù)單位、進(jìn)率及滿十進(jìn)一就自然地得出來(lái)了。這里只要加一句總結(jié)的話（這是有關(guān)數(shù)學(xué)美的教育）：數(shù)位順序表，顯示了自然數(shù)和小數(shù)的完美統(tǒng)一。

以上的處理建議，著重說(shuō)明了小數(shù)和自然數(shù)的關(guān)系。小數(shù)可以用來(lái)表示微小的量。分?jǐn)?shù)和小數(shù)的發(fā)生，都是由于在測(cè)量過(guò)程中出現(xiàn)了比單位1更小的量。真分?jǐn)?shù)和一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分都是小于1的數(shù)。有限小數(shù)是一些特殊的分?jǐn)?shù)，不是分?jǐn)?shù)的全部。一般地說(shuō)，分?jǐn)?shù)的表示方式，關(guān)注整體和部分的關(guān)系，簡(jiǎn)單明確。但是小數(shù)的表示方式采用“滿十進(jìn)一”的十進(jìn)位制，可以和自然數(shù)的表述方式相匹配。這是小數(shù)的顯著優(yōu)點(diǎn)，也是要將分?jǐn)?shù)改寫(xiě)為小數(shù)的緣由。

這些有關(guān)小數(shù)的本質(zhì)，小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，在《教師教學(xué)用書(shū)》里要深入論述。教材里則要盡量用小學(xué)生能夠理解的淺顯方式呈現(xiàn)出來(lái)。事實(shí)上，對(duì)小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)思想方法并不是可以自己悟出來(lái)的。我們雖然不可大段地說(shuō)教，但在關(guān)鍵地方必須點(diǎn)穿，用適切淺近的語(yǔ)言加以表述?？傊?，落實(shí)“四基”不能只是一句空話。

四、一些具體的建議

讀過(guò)兩份教材，有以下一些具體的建議。

1. 關(guān)于在數(shù)直線上表示小數(shù)。

人教版在練習(xí)中要求把0.4、1.6、2.3、3.85 標(biāo)記在數(shù)直線上。北師大版只要求在刻度尺上標(biāo)記小數(shù)。

在數(shù)直線上標(biāo)記小數(shù)，能夠體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，使小學(xué)生對(duì)“小數(shù)”有一個(gè)總體的、直觀的認(rèn)識(shí)。如前所說(shuō)，數(shù)的小數(shù)部分是小于1的數(shù)，我們把0.1、 0.01、 0.001…在數(shù)直線上標(biāo)出來(lái)，就可以看到它們所處的位置越來(lái)越接近 0點(diǎn)。另一方面，整數(shù)1、10、100…則是越來(lái)越大，位置越來(lái)越向右。進(jìn)一步，學(xué)生會(huì)直觀地留意到有了小數(shù)，數(shù)直線上就不只是一個(gè)個(gè)孤立的整點(diǎn)，而是密密麻麻地布滿了數(shù)。

2. 北師大版教材，強(qiáng)調(diào)“小數(shù)”也是滿十進(jìn)一，非常必要。人教版則采用進(jìn)率的說(shuō)法。然而，滿十進(jìn)一，比“進(jìn)率”這樣的專用名詞要好理解，更貼近小學(xué)生的認(rèn)知水平。

3. 關(guān)于“也可以寫(xiě)成”的說(shuō)法，值得商榷。

小數(shù)，并不是將分?jǐn)?shù)改寫(xiě)而產(chǎn)生的，而是自然數(shù)的十進(jìn)位值制記數(shù)規(guī)則的加以擴(kuò)展的結(jié)果。0.1是對(duì)的一種新的表述方法。我們還要問(wèn)，為什么要將分?jǐn)?shù)寫(xiě)為0.1 呢？實(shí)際上，這是為了與自然數(shù)寫(xiě)法相匹配。我們不妨將0.1與1相比較。如果從1開(kāi)始數(shù)10個(gè)數(shù)進(jìn)位到10，即10個(gè)1就是1個(gè)10。那么，我們從0.1開(kāi)始數(shù)10個(gè)數(shù)：0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1 也是進(jìn)位到1。10個(gè) 0.1 就等于1，這樣，小數(shù)就和自然數(shù)的寫(xiě)法一致起來(lái)了。

（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ? 200241）