朱碧

摘 要： 微分中值定理作為微分學(xué)的核心概念之一，在高等數(shù)學(xué)中具有相當重要的地位和作用，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，對積分學(xué)的發(fā)展，具有承前啟后的重要作用.

關(guān)鍵詞： 微分中值定理 教材分析 教學(xué)策略 教學(xué)體會

引言

之前，我們引進了導(dǎo)數(shù)的概念，詳細討論了計算導(dǎo)數(shù)的方法.這樣一來，類似于求已知曲線上點的切線問題已獲完美解決.但如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具分析、解決復(fù)雜一些的問題，那么，只知道怎樣計算導(dǎo)數(shù)是遠遠不夠的，還要以此為基礎(chǔ)，發(fā)展更多的工具.另外，我們注意到：函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的函數(shù)；導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征；我們往往要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，搭起一座橋，這座“橋”就是微分中值定理.

1.教材分析

我講解的這門課程所使用的教材是由科學(xué)出版社出版的河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系所編寫的《高等數(shù)學(xué)》（輕工類）（第二版）的上冊，這本教材的內(nèi)容符合教學(xué)大綱的要求，體系結(jié)構(gòu)清晰，例題豐富，語言通俗易懂，講解透徹，難度適中.《微分中值定理》這一小節(jié)分“羅爾定理”，“拉格朗日中值定理”，“柯西中值定理”三個部分展開，詳細講解第一、第二中值定理，需要一個課時的時間.

1.1教學(xué)重、難點

教學(xué)重點：微分中值定理的證明；微分中值定理的應(yīng)用.

難點：輔助函數(shù)的構(gòu)造；定理條件的驗證.

1.2學(xué)情分析

學(xué)生已較好地掌握了函數(shù)極限和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識，正迫切地想知道導(dǎo)數(shù)到底有什么用，這種求知欲正好是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的前提.另外，本班學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好（分層教學(xué)A班），思維比較活躍，對數(shù)學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當大的興趣和積極性，這為本課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).但是本節(jié)內(nèi)容理論性強，抽象度高，內(nèi)容思維量大，對類比歸納，抽象概括，聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力有較高的要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度.

1.3教學(xué)目標

根據(jù)上述教材分析，考慮到學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)和心理特征，制定如下教學(xué)目標：對羅爾微分中值定理的第三個條件去掉得到拉格朗日中值定理進行推廣，啟發(fā)學(xué)生得出拉格朗日中值定理的結(jié)論，歸納構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，發(fā)展學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

2.教學(xué)策略

2.1教法、學(xué)法

教學(xué)中遵循“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，知識為主線，發(fā)展思維為主旨”的“四主”原則.以恰當?shù)膯栴}為紐帶，給學(xué)生創(chuàng)造自主探究、合作交流的空間，啟發(fā)學(xué)生證明中值定理的思路.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生歸納總結(jié)得出微分中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.教學(xué)以板書為主，優(yōu)點在于，學(xué)生注意力集中，能有效進行師生互動.

2.2教學(xué)流程及時間安排

2.2.1教學(xué)流程回顧羅爾中值定理→推廣到f（a）和f（b）沒有限制相等的一般情形→啟發(fā)拉格朗日中值定理的結(jié)論→構(gòu)造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化利用羅爾中值定理證明→歸納構(gòu)造輔助函數(shù)的方法→體會拉格朗日中值定理的應(yīng)用.

2.2.2時間安排及具體授課步驟

1.回顧和導(dǎo)入新課（3分鐘）；2.羅爾定理及其證明（10分鐘）；3.拉格朗日中值定理及其證明（10分鐘）；4.輔助函數(shù)的構(gòu)造及其中值定理的應(yīng)用（10分鐘）；5.典型例題分析和解答（10分鐘）；6.總結(jié)和作業(yè)（2分鐘）.

我們先講羅爾定理，然后根據(jù)它推出拉格朗日中值定理.

羅爾定理：設(shè)函數(shù)f（x）滿足：（1）在[a，b]上連續(xù)；（2）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ（a<ξ

證明：∵f（x）在[a，b]上連續(xù)，∴f（x）在[a，b]上必定取得最大值M和最小值m.

（1）M=m，說明f（x）=M為常值函數(shù)，∴f′（x）=0，（？坌x∈（a，b）），此時任取ξ∈（a，b），就有f′（ξ）=0.

（2）M≠m，∵f（a）=f（b），∴M和m至少有一個在（a，b）內(nèi)取得，不妨假設(shè)M=f（ξ）（ξ∈（a，b）），由函數(shù)可導(dǎo)的條件和極限的保號性知：

注：①羅爾定理的條件是充分的，結(jié)論是定性的.②推廣：羅爾定理的第三個條件f（a）=f（b）一般很難保證，我們嘗試去掉這個條件，會有什么樣的結(jié)論產(chǎn)生呢？由此引出拉格朗日中值定理.

關(guān)于拉格朗日中值定理，我們采用的證明方法是找原函數(shù)：

3.教學(xué)體會

通過中值定理的教學(xué)，我深有體會.首先，微分中值定理學(xué)生掌握有三個難點：（1）定理的選擇；（2）輔助函數(shù)的構(gòu)造；（3）條件的驗證.其次，上課時應(yīng)該多采用歸納方法及讓學(xué)生理解解決問題所用的思考方法，以后學(xué)生才能做到舉一反三.最后，課堂上教師應(yīng)該適當穿插人物的介紹，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.課后要求學(xué)生復(fù)習(xí)并布置適當?shù)淖鳂I(yè)，目的是加深對基本概念的理解，提高計算能力，進行邏輯推理的訓(xùn)練.

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]慕運動，焦萬堂.高等數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，2014.6.