趙 暢

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130103)

在數(shù)學(xué)分析中，微分中值定理主要包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒公理等.它們是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)判斷原函數(shù)性質(zhì)的有效工具，還可以借助這些公理和公式求待定式的極限，研究函數(shù)的特性，討論函數(shù)作圖及求解極限與最值問題等.

微分中值定理中的拉格朗日中值定理更是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具研究函數(shù)的依據(jù)，也是微分學(xué)的許多重要應(yīng)用的橋梁，在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛.

1 拉格朗日中值定理

定理1(羅爾中值定理) 若函數(shù)f(x)滿足以下條件，

(i)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(ii)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(iii)f(a)=f(b)，

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

f'(ξ)=0

定理2(拉格朗日中值定理) 若函數(shù)f(x)滿足以下條件，

(i)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(ii)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

2 定理的應(yīng)用

拉格朗日中值定理作為微分學(xué)的重要內(nèi)容，它的應(yīng)用十分廣泛，下面介紹拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)分析中的幾點(diǎn)應(yīng)用，對(duì)其能夠解決的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類和舉例說明.

2.1 定理的直接應(yīng)用

直接應(yīng)用拉格朗日中值定理的的條件與結(jié)論，能解決許多數(shù)學(xué)問題，并且過程簡(jiǎn)便清晰.下面分類討論.

(1)判斷根的性質(zhì).綜合羅爾中值定理、介值定理等定理的內(nèi)容，可以判斷可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在性和根的個(gè)數(shù).

例1 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上可導(dǎo)，且有0

證明 一方面，證明實(shí)根的存在性.

設(shè)有函數(shù)g(x)=f(x)+x-1，則此函數(shù)在閉區(qū)間[0,1]上可導(dǎo).根據(jù)已知有g(shù)(0)=f(0)-1<0，g(1)=f(1)>0，由介值定理可知，函數(shù)g(x)在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程f(x)+x-1=0存在實(shí)根.

另一方面，證明實(shí)根的唯一性.

利用反證法，假設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)根x1,x2，且0

綜上所述，問題得證.

(2)證明等式、不等式.拉格朗日中值定理經(jīng)過巧妙變形，可以用來證明許多不等式問題.

證明 設(shè)函數(shù)f(t)=ln(1+t)，則函數(shù)f(t)在閉區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在點(diǎn)ξ∈(0,x)，使得

(3)推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì).利用拉格朗日中值定理可以推出可導(dǎo)函數(shù)的某些整體性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性，一致連續(xù)性及某些導(dǎo)數(shù)極限的性質(zhì).

例3 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)有有界的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)一致連續(xù).

證明 根據(jù)拉格朗日中值定理，存在?x1,x2∈(-∞,+∞)，有

f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2)，其中
ξ∈(x1,x2).

所以函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)一致連續(xù).

(4)推導(dǎo)其他定理公式.拉格朗日中值定理有一個(gè)重要的推廣:柯西公式.

例4 設(shè)存在函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)g'(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)處處不為零，則在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得

證明 當(dāng)函數(shù)g(x)=x時(shí)，與拉格朗日中值定理內(nèi)容相同，利用拉格朗日中值定理的證明方法即可.

當(dāng)函數(shù)g(x)≠x時(shí)，作輔助函數(shù)φ(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]，由已知可得φ(a)=φ(b).因此函數(shù)φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上為常數(shù)或者在此區(qū)間內(nèi)取得最大值、最小值.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一點(diǎn)ξ(a<ξ

2.2 定理幾何意義的應(yīng)用

拉格朗日中值定理的幾何意義有較為廣泛的應(yīng)用.

例5 設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f'(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增，若f(a)=f(b)(a

證明 如圖1所示，在圖中作弦AC，BC，任取一點(diǎn)x∈(a,b)，故存在ξ∈(a,x)，η∈(x,b)，使其導(dǎo)數(shù)f'(ξ)，f'(η)分別等于弦AC，BC的斜率，且由于導(dǎo)函數(shù)f'(x)嚴(yán)格遞增，所以f'(ξ)

又由于f(a)=f(b)，代入上述不等式，有

f(x)

圖1 拉格朗日中值定理幾何意義的應(yīng)用圖

2.3 有限增量公式的應(yīng)用

借助拉格朗日中值定理的證明思路構(gòu)造不同的輔助公式，再由有限增量公式

f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)

可以導(dǎo)出新的中值公式.下面舉例說明.

例6 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，證明存在一個(gè)點(diǎn)c∈(a,b)，使

(1)

證明 式(1)左端

2.4 函數(shù)變形的應(yīng)用

拉格朗日中值定理的變形公式指出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，特別地，這個(gè)公式相當(dāng)于f(x)的泰勒公式展開式中至0次項(xiàng)，因此，可以利用這種關(guān)系研究函數(shù)的性質(zhì).

例7 函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上可導(dǎo)，且f(0)=0，設(shè)有實(shí)數(shù)A>0，使得|f'(x)|≤A|f(x)|在x∈[0,+∞)上成立，證明對(duì)?x∈[0,+∞)有f(x)≡0.

證明 由已知可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上可導(dǎo)，且f(0)=0，根據(jù)拉格朗日中值定理，有

|f(x)|=|f(0)+f'(ξ1)(x-0)|=
|f'(ξ1)x|≤A|f(ξ1)|x

3 小結(jié)

拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)定理之一.不僅定理本身具有很高的研究?jī)r(jià)值，它的應(yīng)用也十分廣泛.本文重點(diǎn)介紹了運(yùn)用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的性質(zhì)、求解極限及最值問題等.這可為學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供便利，其實(shí)拉格朗日中值定理的研究空間還很大，有待學(xué)者去繼續(xù)探索.