彭新東，楊 勇，宋娟萍，蔣 蕓

（西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，蘭州730070）

·人工智能及識別技術(shù)·

畢達(dá)哥拉斯模糊軟集及其應(yīng)用

彭新東，楊 勇，宋娟萍，蔣 蕓

（西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，蘭州730070）

直覺模糊軟集不能處理參數(shù)的隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況，使決策過程受限，影響其應(yīng)用范圍。針對該問題，結(jié)合畢達(dá)哥拉斯模糊集的特性與軟集的參數(shù)化，構(gòu)造畢達(dá)哥拉斯模糊軟集。介紹畢達(dá)哥拉斯模糊軟集的補(bǔ)、并、交、且、或、加、乘、必須、可能等運(yùn)算，給出運(yùn)算結(jié)果，并討論其德摩根定律。設(shè)計(jì)基于畢達(dá)哥拉斯模糊整合算子的決策算法，分析該算法的計(jì)算復(fù)雜度，并將其應(yīng)用到股票投資，應(yīng)用結(jié)果證明了該算法的有效性。

畢達(dá)哥拉斯模糊軟集；整合算子；德摩根定律；計(jì)算復(fù)雜度；股票投資

中文引用格式：彭新東，楊 勇，宋娟萍，等.畢達(dá)哥拉斯模糊軟集及其應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)工程，2015，41（7）：224?229.

英文引用格式：Peng Xindong，Yang Yong，Song Juanping，et al.Pythagorean Fuzzy Soft Set and Its Application［J］.Computer Engineering，2015，41（7）：224?229.

1 概述

Molodstov于1999年從參數(shù)化的角度提出了一種新的處理不確定性問題的數(shù)學(xué)工具，即軟集［1］，并成功地將其應(yīng)用到函數(shù)的平滑化、黎曼積分、測度論等數(shù)學(xué)分支中。

近年來，許多學(xué)者將軟集理論與其他數(shù)學(xué)模型相結(jié)合。Maji等在2001年將模糊集與軟集結(jié)合，提出了模糊軟集［2］，討論了相應(yīng)的一些性質(zhì)，隨后其提出了直覺模糊軟集［3］。2010年，文獻(xiàn)［4］將模糊軟集應(yīng)用到文本分類；2013年，Yang等提出了多模糊軟集［5］，并將其應(yīng)用到?jīng)Q策；結(jié)合雙極模糊集［6］的概念，Yang等又提出了一個(gè)應(yīng)用更廣的模型，即雙極多模糊軟集［7］。為了解決模糊軟集信息隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的情形，文獻(xiàn)［8］提出時(shí)序模糊軟集。文獻(xiàn)［9］基于時(shí)序模糊軟集給出一個(gè)新的多屬性群決策算法。

由于直覺模糊軟集不能描述參數(shù)的隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況，使得決策過程受到很大限制，影響了其應(yīng)用范圍。因此，本文結(jié)合畢達(dá)哥拉斯模糊集［10?11］與軟集，提出畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，允許參數(shù)中的隸屬度與非隸屬度之和大于1，但其平方和小于1，是直覺模糊軟集的一種推廣，并將其應(yīng)用于股票投資中。

2 預(yù)備知識

定義1 設(shè)U為初始論域，E為參數(shù)集，P（U）為U的冪集，A?E，F(xiàn)：A→P（U），稱（F，A）為U上的一個(gè)軟集［1］。

定義2 設(shè)U為一個(gè)論域，U上形如I＝｛＜x， μI（x），的三元組稱為U上的一個(gè)直覺模糊集。 其中，μI∈［0，1］，νI∈［0，1］，且 μI+ νI≤1。 為了方便，記（μI，νI）為一個(gè)直覺模糊數(shù)（Intuitionistic Fuzzy Number，IFN）［12］。

定義3 設(shè)U為初始論域，E為非空參數(shù)集，為I（U）的所有直覺模糊集的全體，A?E，F(xiàn)：A→H（U），稱（F，A）為U上的一個(gè)直覺模糊軟集［3］。

定義4 設(shè)U為一個(gè)論域，U上形如P＝｛＜x，μP（x），νP（x）＞｜x∈U｝的三元組稱為U上的一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊集。其中，μP∈［0，1］，νP∈［0，1］，且。為了方便，記（μP，νP）為一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)（Pythagorean Fuzzy Number，PFN）［13］。

易知畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的隸屬空間比直覺模糊數(shù)大，如圖1所示［10］。

圖1 PFN與IFN的隸屬空間大小比較

定義5 給定畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)p，p1，p2，相應(yīng)的運(yùn)算式為［10?11，13］：

定理1 設(shè)p，p1，p2為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，λ＞0，λ1＞0， λ2＞0，則［10?11，13］：λ2

定義6 設(shè)p＝（μp，νp）是一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，其得分函數(shù)為［13］：

其中，s（p）∈［-1，1］。對任意的2個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)p1，p2，如果 s（p1） ＞s（p2），則 p1?p2；如果s（p1）＝s（p2），則 p1～p2，且?，～表示優(yōu)于、相等運(yùn)算。

3 畢達(dá)哥拉斯模糊軟集及其運(yùn)算

3.1 畢達(dá)哥拉斯模糊軟集

定義7 設(shè) U是一個(gè)集合，E是一個(gè)參數(shù)集，PFU表示U上所有畢達(dá)哥拉斯模糊集的全體，A?E，F(xiàn)：A→PFU是一個(gè)映射，則稱（F，A）是U上的一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊軟集。

一個(gè)U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集就是U上的一些畢達(dá)哥拉斯模糊子集構(gòu)成的參數(shù)族。對于任意參數(shù)e∈A，F(xiàn)（e）是一個(gè)與e相關(guān)的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，可記為F（e）＝｛＜x，μp（x），νp（x）＞｜x∈U｝。

在實(shí)際決策過程中，相對于直覺模糊軟集，畢達(dá)哥拉斯模糊軟集描述的隸屬空間更大?？朔酥庇X模糊軟集參數(shù)的隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況不能有效描述的缺陷，因此，其有更強(qiáng)的應(yīng)用能力。

例1 設(shè)U＝｛x1，x2，x3｝代表3幅國畫的集合，A是參數(shù)集合，且A＝｛e1，e2，e3｝＝｛個(gè)人風(fēng)格，審美心理，技巧難度｝。畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（F，A）如下：

定義8 設(shè)U是一個(gè)集合，E是一個(gè)參數(shù)集，A，B?E，（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，若（F，A）和（G，B）滿足下列2個(gè)條件：

（1）A?B；

（2）?e∈B，x∈U，μA（x）≥μB（x），νA（x）≤νB（x）。

例2 設(shè)U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（G，B）如例1中定義，B＝｛e1｝，則畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（G，B）定義如下：

定義9 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，若且，則稱（F，A）和（G，B）是畢達(dá)哥拉斯模糊軟相等，記為

定義10 設(shè)（F，A）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，若?e∈A，F(xiàn)（e）＝｛（1，0）｝，則稱（F，A）是滿畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，記為UA；若?e∈A，F(xiàn)（e）＝｛（0，1）｝，則稱（F，A）是空畢達(dá)哥拉斯軟集，記為ΦA(chǔ)。

3.2 畢達(dá)哥拉斯模糊軟集運(yùn)算

定義11 設(shè)（F，A）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，映射F：A→PFU；Fc（e）＝（F（e））c（?e∈A），則稱（Fc，A）為畢達(dá)哥拉斯模糊軟集的補(bǔ)，記為（F，A）c。

值得注意的是（F，A）c的參數(shù)集仍然為A，而不是?A。

例3 設(shè)U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（G，B）如例2中定義，則 Gc（e1）＝｛（0.8，0.6）／x1，（0.7，0.5）／x2，（0.6，0.7）／x3｝。

定義12 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）上的“且”記為（F，A）∧（G，B）＝（H，A×B），對?（α，β）∈A×B，x∈U，H（α，β）＝（min（μa，μβ），max（να，νβ））。

定義13 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）上的“或”記為（F，A）∨（G，B）＝（O，A×B），對?（α，β）∈A×B，x∈U，O（α，β）＝（max（μa，μβ），min（να，νβ））。

例4 設(shè)U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（G，B）定義為B＝｛e1，e2｝，則畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（G，B）定義如下：

例5 結(jié)合例1與例4，則（F，A）和（G，B）上的“且”，“或”運(yùn)算的結(jié)果如表1、表2所示。

表1 （F，A）和（G，B）上“且”運(yùn)算后的結(jié)果

表2 （F，A）和（G，B）上“或”運(yùn)算后的結(jié)果

定理2 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則：

另一個(gè)公式的證明與其類似。

定義14 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，若C＝A∪B，且對?e∈C，有以下公式：

定義15 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，若C＝A∩B，且對?e∈C，H（e）＝F（e）∩G（e），則稱（H，C）是（F，A）和（G，B）的“交”，記為

例6 結(jié)合例1與例4，則（F，A）和（G，B）上的“并”，“交”運(yùn)算的結(jié)果如表3、表4所示。

表3 （F，A）和（G，B）上“并”運(yùn)算后的結(jié)果

表4 （F，A）和（G，B）上“交”運(yùn)算后的結(jié)果

定理3 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則：

由此可知，Hc（e）?～O（e），故原式得證。

另一個(gè)公式的證明與其類似。

定義16 設(shè)（F，A）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（F，A）λ（λ＞0）定義如下：

定義17 設(shè)（F，A）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，畢達(dá)哥拉斯模糊軟集λ（F，A）（λ＞0）定義如下：

λ（F，A）＝｛λF（e）｜e∈A｝

其中，λF（e）＝｛λpF（e）（x）｜x∈U｝。

定理4 設(shè)（F，A）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，λ＞0，則：

?e∈A，根據(jù)命題，可得（Fc（e））λ＝（λF（e））c。進(jìn)而（（F，A）c）λ＝（λ（F，A））c。

另一個(gè)公式的證明與其類似。

定理5 設(shè)（F，A），（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，λ＞0，λ1＞0，λ2＞0，則：?e∈A，根據(jù)命題，可得 Fλ1（e）?Fλ2（e）＝Fλ1+λ2（e）。 進(jìn)而（F，A）λ1?（F，A）λ2＝（F，A）λ1+λ2。

其余公式的證明與其類似。

定義18 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）的“加”運(yùn)算定義如下：

其中，對?（α，β）∈A×B，H（α，β）＝F（α）⊕G（β）。

定義19 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）的“乘”運(yùn)算定義如下：

其中，對?（α，β）∈A×B，O（α，β）＝F（α）?G（β）。

例7 結(jié)合例1與例4，則（F，A）和（G，B）上的“加”，“乘”運(yùn)算結(jié)果如表5、表6所示。

表5 （F，A）和（G，B）上“加”運(yùn)算后的結(jié)果

表6 （F，A）和（G，B）上“乘”運(yùn)算后的結(jié)果

定理6 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則：

設(shè)（F，A）⊕（G，B） ＝（H，A ×B），因此，（（F，A）⊕（G，B））c＝（H，A×B）c＝（Hc，A×B），（F，A）c?（G，B）c＝ （Fc，A）?（Gc，B）＝（O，A× B），對?（α，β）∈A×B，根據(jù)命題可知，Hc（α，β）＝（F（α）⊕G（β））c＝Fc（α）?Gc（β），又 O（α，β） ＝Fc（α）?Gc（β），因此，Hc（α，β）＝O（α，β）。 故原式得證。

另一個(gè)公式的證明與其類似。

定義20 設(shè)（F，A）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則（F，A）的“必須”運(yùn)算定義如下：

定義21 設(shè)（F，A）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則（F，A）的“可能”運(yùn)算定義如下：

定理7 設(shè)（F，A）和（G，B）是U上的畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，則：

設(shè)（F，A）∪～（G，B）＝（H，C），其中，C＝A∪B，對?e∈C，有以下公式：

然后，□（（F，A）∪～（G，B））＝□（H，C），根據(jù)定義20得：

易知□（H，C）與（O，C）是同一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，因此，原式得證。

另一個(gè)公式的證明與其類似。

4 基于畢達(dá)哥拉斯整合算子的決策算法

對于一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊軟信息的決策問題，設(shè)U＝｛x1，x2，…，xm｝是一系列對象，A＝｛e1，e2，…，en｝是一系列參數(shù)。決策者提供了對象 xi（i＝1，2，…，m）在參數(shù)ei（i＝1，2，…，n）下的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的值為pij＝（μij，νij），可以構(gòu)造一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊軟決策矩陣 P＝｛pij｝m×n，其中，pij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）。

基于畢達(dá)哥拉斯整合算子的決策算法如下：

輸入 畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（F，A）與權(quán)重向量w

輸出 最優(yōu)對象xi

Step1 通過文獻(xiàn)［10?11］的畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)平均（Pythagorean Fuzzy Weighted Average，PFWA）算子可以獲得對象xi整合后的畢達(dá)哥拉斯數(shù)pi：

Step2 通過式（1）計(jì)算每個(gè)對象 xi的得分函數(shù)s（pi）。

Step3 選擇最優(yōu)的對象xi，當(dāng)且僅當(dāng)maix s（pi）。

對于該決策算法的計(jì)算復(fù)雜度（C）可以分為計(jì)算對象的畢達(dá)哥拉斯數(shù)（C1）、計(jì)算得分函數(shù)（C2）、計(jì)算相應(yīng)的排序（C3）。

假設(shè)無論經(jīng)過什么運(yùn)算都算一個(gè)計(jì)算量，排序一次也算一個(gè)計(jì)算量，因此：

（1）對于每個(gè)對象xi（i＝1，2，…，m）的計(jì)算量為相應(yīng)隸屬度與非隸屬度整合運(yùn)算的次數(shù)之和，即C1＝2m。

（2）得分函數(shù)的計(jì)算復(fù)雜度為C2＝m。

（3）計(jì)算排序的復(fù)雜度可分為最好與最壞2種情況，采用快速排序算法，對于最好的情況復(fù)雜度為C31＝m lb m，對于最壞的情況復(fù)雜度為C32＝m2。

綜合上述，可知該算法的計(jì)算復(fù)雜度為 C1+ C2+C31＝3m+m lb m≤C≤3m+m2＝C1+C2+C32。

5 應(yīng)用實(shí)例

設(shè)有5只市盈率比較高的互聯(lián)網(wǎng)股票集合U＝｛x1，x2，x3，x4，x5｝，A是 4個(gè)評判標(biāo)準(zhǔn)集合且A＝｛e1，e2，e3，e4｝＝｛大盤趨勢，政策導(dǎo)向，年報(bào)業(yè)績，流通市值｝。畢達(dá)哥拉斯模糊軟集如表7所示。

表7 畢達(dá)哥拉斯模糊軟集（F，A）

設(shè)一位資深股民想選擇一只股票進(jìn)行投資，對每個(gè)影響股票的參數(shù)ei（i＝1，2，3，4）賦予相應(yīng)的權(quán)重w1＝0.2，w2＝0.3，w3＝0.4，w4＝0.1。

根據(jù)式（2），可以計(jì)算出每個(gè)對象xi經(jīng)整合后的畢達(dá)哥拉斯數(shù) pi，p1＝（0.52，0.63），p2＝（0.66，0.48），p3＝（0.82，0.31）。p4＝（0.64，0.61），p5＝（0.57，0.48）再通過式（1）計(jì)算每個(gè)對象xi的得分函數(shù)為，s（p1）＝-0.126 5，s（p2）＝0.205 2，s（p3）＝0.576 3，s（p4）＝0.037 5，s（p5）＝0.094 5。

很明顯，s（p3） ＞ s（p2） ＞ s（p5） ＞ s（p4） ＞s（p1），因此，該股民會(huì)選擇股票x3進(jìn)行投資。

6 結(jié)束語

本文結(jié)合畢達(dá)哥拉斯模糊集與軟集，提出畢達(dá)哥拉斯模糊軟集，并給出畢達(dá)哥拉斯模糊軟集的運(yùn)算方法，討論其性質(zhì)，設(shè)計(jì)基于畢達(dá)哥拉斯整合算子的決策算法。實(shí)例結(jié)果證明了該算法的有效性。下一步將探討畢達(dá)哥拉斯模糊軟集的信息測度（距離測度、相似度、包含度、子集度、熵測度）的公理化定義，研究相應(yīng)的信息測度公式，并將其應(yīng)用到專家的聚類分析中。

［1］ Molodtsov D A.Soft Set Theory?first Results［J］.Computers and Mathematics w ith Applications，1999，37（4）：19?31.

［2］ Maji PK，Biswas R，Roy A R.Fuzzy Soft Set［J］.Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：589?602.

［3］ Maji P K，Biswas R，Roy A R.Intuitionistic Fuzzy Soft Set［J］.Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：677?692.

［4］ 洪智勇，秦克云.基于模糊軟集理論的文本分類方法［J］.計(jì)算機(jī)工程，2010，36（13）：90?92.

［5］ Yang Yong，Tan Xia，Meng Congcong.The Multi?fuzzy Soft Set and Its Application in Decision Making［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37（7）：4915?4923.

［6］ Lee K M.Bipolar?valued Fuzzy Sets and Their Basic Operations［C］／／Proceedings of International Conference.Berlin，Germany：Springer?Verlag，2000：307?317.

［7］ Yang Yong，Peng Xindong，Chen Hao，et al.A Decision Making Approach Based on Bipolar Multi?fuzzy Soft Set Theory［J］.Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2014，27（4）：1861?1872.

［8］ 毛軍軍，姚登寶，王翠翠，等.基于時(shí)序模糊軟集的群決策方法［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2014，34（1）：182?189.

［9］ 錢慶慶，吳 濤，宋 雷，等.基于時(shí)序模糊軟集的群決策新方法［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，28（10）：126?130.

［10］ Yager R R.Pythagorean Membership Grades in Multicri?teria Decision Making［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2014，22（4）：958?965.

［11］ Yager R R，Abbasov A M.Pythagorean Membership Grades，Complex Numbers，and Decision Making［J］.International Journal of Intelligent Systems，2013，28（5）：436?452.

［12］ Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87?96.

［13］ Zhang Xiaolu，Xu Zeshui.Extension of TOPSIS to Multiple Criteria Decision Making with Pythagorean Fuzzy Sets［J］.International Journal of Intelligent Systems，2014，29（12）：1061?1078.

編輯 劉 冰

Pythagorean Fuzzy Soft Set and Its Application

PENG Xindong，YANG Yong，SONG Juanping，JIANG Yun
（College of Computer Science and Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

In order to solve the problem that intuitionistic fuzzy soft set can not deal w ith the situation that the sum of membership degree and non?membership degree of the parameter is bigger than 1.Itmakes the decision processs lim ted，and affects the application range.This paper combines the characteristics of Pythagorean fuzzy set w ith the parameterization of soft set，and constructs Pythagorean fuzzy soft set.Some operations such as complement，union，intersection，and，or，addition，multiplication，necessity，and possibility are defined.Some corresponding results are presented，and the De Morgan’s Law of Pythagorean fuzzy soft sets are discussed in detail.A decision making algorithm based Pythagorean fuzzy aggregation operator is proposed.This paper analyses the computational complexity of this algorithm，and applies it to stock investment.Experimental results show that the algorithm is effectiveness.

Pythagorean fuzzy soft set；aggregation operator；De Morgan’s law；computational complexity；stock investment

1000?3428（2015）07?0224?06

A

TP301

10.3969／j.issn.1000?3428.2015.07.043

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61163036）。

彭新東（1990-），男，碩士研究生，主研方向：決策支持系統(tǒng)，專家系統(tǒng)；楊 勇（通訊作者），教授、博士；宋娟萍，碩士研究生；蔣 蕓，教授、博士。

2014?11?28

2014?12?22E?mail：yangzt＠nwnu.edu.cn