易清明，曾杰麟，石 敏

（暨南大學信息科學技術學院，廣州510632）

·開發(fā)研究與工程應用·

一種基于矢量加速的變步長頻域最小均方算法

易清明，曾杰麟，石 敏

（暨南大學信息科學技術學院，廣州510632）

針對現(xiàn)有變步長頻域批處理最小均方（VSFBLMS）算法收斂速度慢的問題，提出一種基于矢量加速的VSFBLMS算法。利用VSFBLMS計算得到的基本步長參數對當前收斂階段進行判斷，并根據收斂階段分別在前期和后期選擇較大和較小迭代次數的權值更新公式進行系數更新，從而加快算法前期的收斂速度并保證后期失調量較小。采用基于自適應濾波器噪聲抵消模型進行算法性能測試，結果表明，相比VSFBLMS算法，該算法的收斂速度有較大提高，且在后期具有與VSFBLMS算法趨于一致的失調量。

自適應濾波；矢量加速；變步長；頻域批處理最小均方算法；重疊保留法

中文引用格式：易清明，曾杰麟，石 敏.一種基于矢量加速的變步長頻域最小均方算法［J］.計算機工程，2015，41（7）：285?288，293.

英文引用格式：Yi Qingm ing，Zeng Jielin，Shi M in.A Variable Step?size Frequency?domain Least Mean Square A lgorithm Based on Vector Acceleration［J］.Computer Engineering，2015，41（7）：285?288，293.

1 概述

自適應濾波最早在20世紀60年代出現(xiàn)，自提出經典最小均方（Least Mean Square，LMS）算法［1］以來，基于該準則的自適應算法一直都是該領域的研究熱點。其中最經典的一種改進算法是1981年提出的批處理最小均方（Block Least Mean Square，BLMS）算法［2］，與LMS算法相比，BLMS算法收斂到最佳的迭代次數明顯減少，且收斂的穩(wěn)定性好，但計算量會隨濾波器階數增長而快速變大。

以上2種算法均是基于時域的處理算法。隨著頻域處理方法的快速發(fā)展，頻域批處理最小均方（Frequency?domain Block Least Mean Square，F(xiàn)BLMS）算法因其容易與FFT算法結合，在信號處理中得到廣泛應用［3?4］。傳統(tǒng)的FBLMS算法其步長值是固定的，為了協(xié)調收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，當前FBLMS改進算法一般集中在對步長自動更新的改動上［5?7］。

本文通過研究傳統(tǒng)的FSFBLMS以及已有的變步長頻域批處理最小均方［8?10］（Variable Step?size Frequency?domain Block Least Mean Square，VS?FBLMS）算法，提出一種新的基于矢量加速的變步長頻域批處理最小均方（Accelerating Vector based VSFBLMS，AV?VSFBLMS）算法。

2 傳統(tǒng)FBLMS算法

FBLMS算法的基本原理是先利用串并轉換把輸入數據進行分塊，在采集到數據后利用經過N點快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）的輸入數據及同樣經過N點FFT變換的期望信號用重疊保留法計算其卷積，并與當前的濾波器系數作點乘，最終得出輸出信號數據。因為FBLMS算法中應用了FFT技術，可以把原來在時域算法中的卷積計算量大大減少，當前在工程上有著大量的應用［11?12］。

FBLMS算法主要性能指標為收斂時間和失調量。對于確定步長的FSBLMS算法，其步長μB的值在整個算法過程不會改變，只能在收斂時間與失調量之間進行折中選擇，不能同時兼顧2個指標［13］。

為了協(xié)調這個矛盾，變步長頻域批處理最小均方（VS?FBLMS）算法被提出，其步長μB會隨著濾波過程的進行而變化。以文獻［14］中采用的步長表達式為例：

其中，α為衰減因子；μopt為使相應的VS?FBLMS算法收斂最快的步長；f（k） ＝ μopt（1-exp（-α ×?？梢钥闯觯S著濾波過程進行，誤差信號的均方差減少，步長μB將逐漸減小。

文獻［15］為了進行資源優(yōu)化，提出一種快速算法（FS?FBLMS），對步長采用兩段式的處理方式，其步長表達式如下：

其中，μ為初始步長；μ′為穩(wěn)定步長；并定義 Δ＝‖W（k+1）-W（k）‖1為前后2次迭代抽頭系數向量差的1?范數；T為閾值；N為抽頭數；當其滿足Δ＜Δ′＝1／NT時說明算法開始收斂；μB的值從較大的初始步長切換為較小的穩(wěn)定步長。

通常在變步長FS?FBLMS算法中，步長值μB在算法初始階段會比較大，保證較快的收斂速度，在后期階段會變小，保證較小的失調量，以此達到兼顧收斂時間及失調量的目的。

3 基于矢量加速的變步長FBLMS算法

為了進一步改善變步長FBLMS算法的性能，提出一種基于矢量加速的變步長 FBLMS（Accelerating Vector based Variable Step?size FBLMS，AV?VSFBLMS）算法。該算法的步長系數可由傳統(tǒng)BLMS算法推導得出，先寫出時域BLMS的算法過程如下：

其中，μ＝μB（1／L）；μB為步長系數。

把式（5）中的 w（k+L）看成 w（0）（k），重寫式（5）得到：

再用w（0）（k）替換式（3）、式（4）中的w（k）得到y(tǒng)（1）（k+m）及e（1）（k+m）：

聯(lián)立式（7）、式（8）、式（5），得到經1次矢量迭代的權值更新公式：

其中，K1＝2μ（1-μ×tr［X］）定義為一次迭代的步長系數。

同理可以推導出多次迭代的權值更新公式并有第n次迭代步長系數的通項公式如下：

由以上討論可得，對于某一特定的輸入塊，選取n次矢量迭代更新，其權系數更新表達式如下：

上文提出的權系數更新表達式雖然是在時域BLMS算法基礎上進行推導，但因該表達式只涉及了權值系數的變化，F(xiàn)BLMS算法中的數據流向并沒有發(fā)生改變，因此可直接把該結論應用在FBLMS算法中。綜上所述，該算法實質上是利用了權系數更新的n次迭代，提高算法的搜索速度。

為了研究迭代次數n及基本步長μ對步長系數Kn的影響，對輸入信號自相關矩陣的跡tr［R］確定時（tr［R］＝4），基本步長μ與第n次迭代步長系數Kn的關系進行仿真，仿真結果如圖1所示。

圖1 tr［R］確定時Kn與μ的關系

圖1中不同的線型代表在權系數更新采用不同迭代次數時Kn與μ的關系。由圖可得，Kn近似隨著μ線性變化，且迭代次數越多，其斜率越大。則對于確定的tr［R］及μ，隨著矢量迭代次數的增加，算法的收斂速度越快，但失調量將越大。

把該結論應用于AV?VSFBLMS算法中，并把VSFBLMS的步長系數看作式（10）中的μ作為基本步長系數由此計算出Kn?？梢灶A見：如果在算法前期適當地選擇較高的迭代次數，可以更快地讓算法得到收斂；在算法后期適當地選擇較小的迭代次數直至選取0次迭代，可以使AV?VSFBLMS算法與VSFBLMS算法的失調量最終趨于一致。通過對AV?VSFBLMS的關鍵特性進行分析，確定算法的總體流程如下：

（1）定義時域信號矢量及頻域信號矢量。定義如下矢量，在第k塊的數據處理中，x（k）為輸入信號矢量，d（k）為期望輸出信號矢量，y（k）為實際輸出信號矢量，e（k）為誤差信號矢量，w（k）為濾波器權值矢量。則頻域信號矢量表示如下：

（2）根據式（3）得到基本步長參數μbase。

（3）對于某一次特定的權值更新，若 μbase＞ μup_range，說明當前濾波器正處于前期快速跟蹤階段，需要較大的步長值，此時將 μbase代入式（10），計算2次矢量迭代的步長系數，濾波器采用步長系數μB（k） ＝ K2（μbase）；若 μdown_range＜ μbase＜ μup_range，說明當前濾波器正處于中期穩(wěn)定跟蹤階段，此時將μbase代入式（10），得到1次矢量迭代的步長系數，濾波器采用步長系數 μB（k）＝K1（μbase）；若 μbase＜μdown_range，說明當前濾波器正處于后期緩慢調整階段，濾波器采用步長系數μB（k）＝μbase。

（4）求出當前的輸出信號矢量并更新濾波器權值系數。經過以上步驟，當前塊時域輸出信號矢量與頻域濾波器系數矢量可以表示如下：

其中，μB為步長系數；分別為L階的單位矩陣與零矩陣。

歸納得對于某一特定的輸入信號數據塊，AV?VSFBLMS的總體流程如圖2所示。

圖2 某特定輸入塊的AV?VSFBLMS算法流程

4 仿真實驗與分析

為了比較各種算法的性能，利用自適應濾波器噪聲抵消模型進行應用仿真，原理如圖3所示。

圖3 自適應濾波噪聲抵消模型

在信號源中輸入幅值為2，頻率為300 Hz的余弦信號作為有用信號，噪聲源中輸入幅值為0.5，頻率為50 Hz的余弦信號作為噪聲信號。則在輸出端中可得到經過自適應去除噪聲后的有用信號。

采用以上模型，本文比較了傳統(tǒng)BLMS算法、文獻［14］提出的變步長FBLMS算法（VS?FBLMS）、文獻［15］提出的快速變步長算法（FS?FBLMS）及本文提出的基于矢量加速的變步長FBLMS算法（AV?VSBLMS）在此濾波模型中的性能，各算法參數設置如表1所示。

表1 仿真數據參數設置

由此得到的仿真結果如圖4所示。

圖4 不同濾波算法的輸出信號

圖4為原始信號及經不同濾波方法后的輸出信號，圖5為采用不同濾波方法后的輸出信號與輸入信號之間的塊平均絕對誤差比較。由仿真結果可以得出，AV?VSFBLMS算法在自適應濾波器噪聲抵消模型中所表現(xiàn)出的算法性能與傳統(tǒng)BLMS算法、FS?FBLMS算法以及VS?FBLMS算法相比，有較快的收斂速度及較小的穩(wěn)態(tài)失調量。

圖5 不同濾波算法的塊平均絕對誤差比較

5 結束語

本文針對現(xiàn)有VSFBLMS的收斂速度控制問題，提出一種基于矢量加速的變步長頻域批處理最小均方（AV?VSFBLMS）算法。利用基本步長參數對當前收斂階段進行判斷，根據收斂階段選擇迭代次數不同的權值更新公式進行系數更新，加快VSBLMS算法前期的收斂速度并保證后期較小的失調量，通過理論演算與計算機仿真結果表明，該算法有較快的收斂速度與較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

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編輯 顧逸斐

A Variable Step?size Frequency?domain Least M ean Square Algorithm Based on Vector Acceleration

YIQingming，ZENG Jielin，SHIM in
（College of Information Science and Technology，Jinan University，Guangzhou 510632，China）

To enhance the convergence speed of existed Variable Step?size Frequency?domain Block LeastMean Square（VSFBLMS）algorithm，an Accelerating Vector based Variable Step?size Frequency?domain Block Least Mean Square（AV?VSFBLMS）algorithm is proposed.The algorithm judges the current convergence stage of basic step parameters obtained by using the algorithm of VSFBLMS computing，selects a larger iteration number of coefficient updating formulas in early process stage while a smaller iteration number of coefficient updating formulas in later process stage according to the convergence statue.It helps to improve the convergence rate in early stage and also ensures a low m isalignment in later stage.Experimental result based on adaptive noise cancelling model shows that the proposed algorithm outperforms other VSFBLMS algorithms in convergence speed w ith a lowerm isalignment.

adaptive filtering；vector acceleration；variable step?size；Frequency?domain Block Least Mean Square（FBLMS）algorithm；overlap?savemethod

1000?3428（2015）07?0285?04

A

TP301.6

10.3969／j.issn.1000?3428.2015.07.054

廣東省工程技術研究中心基金資助項目（2012gczxA003）。

易清明（1965-），女，教授、博士，主研方向：信號處理，混合信號集成電路設計；曾杰麟，碩士；石 敏，副教授、博士。

2015?01?27

2015?02?23E?mail：1234051006＠stu.jnu.edu.cn