崔路

【摘 要】通過控制習題難度，可以向不同學生提供不同水平的習題，符合因材施教與循序漸進的原則。使用習題難度模型和點數(shù)法對全等三角形的證明一節(jié)的習題進行分析，發(fā)現(xiàn)習題難度模型適用性不強，可以與點數(shù)法結(jié)合來控制習題難度。

【關(guān)鍵詞】全等三角形的證明；習題難度

因材施教、循序漸進，是中國傳統(tǒng)教學的重要思想。在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學作業(yè)在數(shù)量、形式與難易程度上難以照顧所有學生的需求。已有研究建議教師之間可以加強合作，每個教師設計一個層次的作業(yè)，建立作業(yè)題庫，可供教師在題庫中選擇適合本班學生的作業(yè)。但沒有解決習題難度上的問題。

1.習題難度模型

鮑建生在對中英兩國的課程難度進行比較時，提出了“數(shù)學習題課程綜合難度模型”。該模型含有五個難度的因素，分別為知識含量、運算水平、背景水平、探究水平和推理水平五個因素，其中因素又分為不同的層次。吳立寶、王建波、曹一鳴認為：習題難度=0.38 知識水平+0.36 知識點個數(shù)+0.26背景。

2.點數(shù)法

點數(shù)法主要應用于幾何題，把推理的每一個條件或結(jié)果算作一點，一個條件推出多個結(jié)論或多個條件推出一個結(jié)論時，每個條件再加一點。對于圖形復雜的情況再增加點數(shù)，如：必須做輔助線加兩點，由圖可知得出條件加一點。使用最終結(jié)論處點數(shù)和作為證明難度的指標。

3.難度分析

全等三角形的證明是初中幾何的重要組成部分，是軸對稱圖形、四邊形的重要基礎。對人民教育出版社2013版八年級上第12章第二節(jié)全等三角形中例題（L）、練習（按順序分為練習1到4）和習題（X）的題號（TH）、探究水平（S）、背景（B）、運算（Y）、推理（T）、知識點數(shù)量（Z）進行分析，得出每道題的點數(shù)（D）和難度（N）。部分題目分析如下：

全等三角形的證明部分的習題各維度中的各個水平比重明顯不均，作業(yè)分層可能存在問題，在一個維度上水平明顯聚集的習題，難度計算可能存在較大誤差。

使用SPSS對點數(shù)和探究水平、背景、推理、知識點做回歸分析，發(fā)現(xiàn)探究水平、背景的系數(shù)均為負數(shù)，也就是探究水平、背景越高習題的點數(shù)越低，這明顯違背常識，推理與知識點數(shù)量系數(shù)為正。使用SPSS對點數(shù)和難度進行相關(guān)分析，發(fā)現(xiàn)存在相關(guān)性，但相關(guān)度為0.384，屬于低相關(guān)。對點數(shù)和其他各項做相關(guān)分析，點數(shù)與推理水平相關(guān)系數(shù)為0.645，與知識點個數(shù)相關(guān)系數(shù)為0.773，與探究水平相關(guān)系數(shù)為0.526，與背景相關(guān)系數(shù)為0.26，另外知識點與推理水平相關(guān)系數(shù)為0.748。點數(shù)法的計數(shù)方法主要受推理水平和知識點數(shù)量影響，全等三角形部分的背景對點數(shù)影響不足，而探究水平與推理水平的分析方法接近。吳立寶等人的習題難度模型考慮題目的探究水平、知識點數(shù)量、背景，鮑建生將證明分為3個層次并不適用于幾何證明題。習題3僅比例3，練習1.1多1步，難度卻是2.62和1.36，例4的點數(shù)是練習1.1的兩倍，比練習1.1多了知識點“三角形內(nèi)角和為180°”，推理步驟“三角形內(nèi)兩對角相等則第三個角也相等”。點數(shù)法中應該減少同理可得的點數(shù)，習題難度模型在幾何部分也要增加推理的層次。

4.習題難度控制

三角形部分的習題，從習題難度模型考慮，難度主要是通過知識點數(shù)量、背景的有無來控制，探究水平可能控制不夠精細，從點數(shù)法考慮，難度主要由推理的長度、知識點數(shù)量控制。幾何部分復雜的背景較少，在學習勾股定理之后的四邊形部分時，計算維度就會明顯影響習題的難度，探究水平要在高難度的綜合題出現(xiàn)時才會有較大的區(qū)分度。全等三角形部分，難度主要由知識點數(shù)量、推理長度、背景的有無來控制。

如例3與例4都是考察ASA，例4比例3增加了知識點“三角形內(nèi)角和”和推理步驟“三角形內(nèi)兩對角相等則第三個角也相等”；習題11比例3增加了知識點“兩直線平行內(nèi)錯角相等”及相應的證明步驟；練習3.2比例3增加了情境。

5.小結(jié)與建議

對教材全等三角形證明部分的習題整理發(fā)現(xiàn)，習題難度模型并不適用于全等證明這樣的維度偏向明顯的章節(jié)，可以結(jié)合點數(shù)法來考慮幾何部分的習題難度，增加同一難度的習題數(shù)量或調(diào)整習題難度。

該研究不足在于：選擇全等三角形證明一節(jié)的教材習題，范圍較小，由于條件限制，沒有對學生進行測試以獲取實踐的正確率，來確定點數(shù)法和難度模型的效果。后續(xù)可以對點數(shù)法進行優(yōu)化，修改現(xiàn)有難度模型以適應不同知識模塊。

【參考文獻】

[1]鮑建生.中英兩國初中數(shù)學課程綜合難度的比較研究[D].上海：華東師范大學博士學位論文，2002

[2]吳立寶，王建波，曹一鳴.初中數(shù)學教科書習題國際比較研究[J].課程教材教法，2014，02.第34卷第2期：112-117

[3]（日）中西知真紀等.幾何證明的難度分析—難度的點數(shù)化表示法[J].數(shù)學教學研究，1983，03：26-28

（作者單位：遼寧師范大學數(shù)學學院）