吳加火
(福建省大田縣第一中學(xué))
函數(shù)簡(jiǎn)單的理解就是一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化,函數(shù)的性質(zhì)可以簡(jiǎn)單地分為函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性三個(gè)基本性質(zhì)。
函數(shù)的單調(diào)性,反應(yīng)的就是函數(shù)圖象的走勢(shì),是學(xué)習(xí)函數(shù)最基本的函數(shù)基礎(chǔ),而在學(xué)習(xí)與考試中則是比較函數(shù)的大小,解不等式與求最值。這是函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用最多的幾種題型,例如:已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈R均滿足:f(x+y)=f(x)+f(y);f(1)=2;當(dāng)且僅當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,求:當(dāng)-3≤x≤3時(shí),求f(x)的最大值與最小值。
解:在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0,可得f0=0,取y=-x,可得f(x)=-f(-x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù),在f(x)的定義域R內(nèi)任取x1,x2,使x1<x2,即x1-x2<0則f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在定義域R內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),因?yàn)閒(1)=2,所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,f(-3)=-f(3)=-6,故當(dāng)-3≤x≤3求f(x)的最大值為6,最小值-6。這就是一道經(jīng)典的對(duì)函數(shù)單調(diào)性理解的利用而對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的判斷一般通過函數(shù)的四則運(yùn)算最終實(shí)現(xiàn)。
函數(shù)的對(duì)稱性可以理解為函數(shù)圖象的對(duì)稱性以及奇偶函數(shù)的對(duì)稱性。函數(shù)圖象的對(duì)稱性一般我們定義為若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩條垂直對(duì)稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數(shù),2|a-b|是它的一個(gè)周期。若函數(shù)y=f(x)的圖象有一個(gè)對(duì)稱中心M(m,n)和一條垂直對(duì)稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù),且4|a-m|為它的一個(gè)周期。若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。奇偶函數(shù)的性質(zhì)則可以簡(jiǎn)單地說奇加減奇為偶,偶加減偶為偶,奇乘奇乘為偶,偶乘偶為偶。
函數(shù)的周期性反映的是函數(shù)的重復(fù)性,如果函數(shù)存在一個(gè)非零數(shù)使得當(dāng)定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)都成立,那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。在了解函數(shù)的性質(zhì)后,從而應(yīng)用到函數(shù)有關(guān)的題目中,在解決負(fù)數(shù)求證時(shí)都將用到函數(shù)的周期性的基本性質(zhì)。
孫宜新.函數(shù)的基本性質(zhì)的解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)愛好者,2006(02).