宋招春

摘 要：常用的邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，在高考中占有極為核心的分量，因其具有知識(shí)面寬、思維豐富等特點(diǎn)，常令學(xué)生望而生畏，出現(xiàn)欲速則不達(dá)、下手易錯(cuò)等現(xiàn)象。以數(shù)學(xué)思想方法為統(tǒng)領(lǐng)，可突破解題思維防線，從而提升此類試題解題能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；化歸與轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，即用“數(shù)”微觀來(lái)研究“形”的性質(zhì)，用“形”的直觀來(lái)探尋“數(shù)”的關(guān)系，其運(yùn)用要注重“數(shù)”與“形”的有效轉(zhuǎn)化。因圓錐曲線研究本身具有代數(shù)與幾何的雙重角色，故數(shù)形結(jié)合思想顯得特別重要，而導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的變化趨勢(shì)時(shí)若借助于“形”，則易提供解題思路。

例1.已知雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若△F1PF2是直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（ ）個(gè)。

A.0 B.2 C.3 D.4

分析：△F1PF2是直角三角形，可有三種情況：∠P為直角，∠F1為直角，∠F2為直角，當(dāng)∠P為直角時(shí)，可聯(lián)想到以F1F2為直徑的圓，當(dāng)∠F1，∠F2為直角時(shí)，作圖易得結(jié)論。正確答案為D。

小結(jié)：解題時(shí)，抓住△F1PF2有一內(nèi)角為直角這一關(guān)鍵條件，依托線與雙曲線的交點(diǎn)來(lái)確定問(wèn)題的答案，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)效性。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略。化歸與轉(zhuǎn)化思想的原則是將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較容易的問(wèn)題，將未知問(wèn)題化為已知問(wèn)題。

例2.設(shè)p：log1（x-3）>0，q：6x2-5x+1>0，則q是p的（ ）

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分必不必要條件

分析：首先將命題p，q對(duì)應(yīng)的式子進(jìn)行簡(jiǎn)化，使其為最簡(jiǎn)形式，然后再將“求q是p的什么條件”轉(zhuǎn)化為“求p是q的什么條件”。最后利用集合的“小充分大必要”原理進(jìn)行判斷，并得出結(jié)論。正確答案是A。

三、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。

例3.已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+b在（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1。（I）求a、b的值。（II）設(shè)函數(shù)g（x）=-（1+k）x2，當(dāng)x∈（0，3），K≥0時(shí)，是否使函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的下方，若存在，則求K的正整數(shù)值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：（I）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程，可得兩個(gè)方程，即可解出a，b的值。（II）解題先利用導(dǎo)數(shù)探究單調(diào)性，后確定最大值，以最大值是否小于零來(lái)判斷f（x）<0恒成立與否。

小結(jié)：此題的第一部分體現(xiàn)方程思想，即尋找關(guān)于a、b的等式關(guān)系，解之即可，第二部分體現(xiàn)了函數(shù)思想，以函數(shù)的圖象來(lái)展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，為解題提供思維。

編輯 張珍珍