梁海華

摘 要 本文簡(jiǎn)要介紹發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和問題教學(xué)法的主要思想，結(jié)合數(shù)學(xué)分析課程知識(shí)量大、邏輯性強(qiáng)、精細(xì)度高等特點(diǎn)，通過兩個(gè)教學(xué)案例：函數(shù)取極值的充分條件、三重積分的定義，來闡述如何將兩種教學(xué)法應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析課堂。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)分析課程 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 問題教學(xué)法

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.07.058

Discovery Teaching Method and Question Teaching

Method on Mathematical Analysis Course

LIANG Haihua

（College of Computer Sciences， Guangdong Polytechnic Normal University， Guangzhou， Guangdong 510665）

Abstract This article briefly introduce the main idea of discovery teaching method and question teaching method. By combining with the properties of Mathematical Analysis course such as the tremendous amount of knowledge， strict logicality and high degree of fineness， we illustrate that how to apply these two teaching methods to Mathematical Analysis course through two examples： the sufficient conditions of extremum value that achieved by a given function and the definition of triple integral.

Key words Mathematical Analysis course; discovery teaching method; question teaching method

對(duì)于高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)而言，無論在國(guó)內(nèi)還是國(guó)外，數(shù)學(xué)分析都是一門極其重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。眾所周知，微積分有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系和深入滲透到自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)分析是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的微積分， 同時(shí)還包含了無窮級(jí)數(shù)的一般理論，是一個(gè)系統(tǒng)性強(qiáng)、精細(xì)而嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分支。鑒于這種關(guān)系，人們把數(shù)學(xué)分析也稱為高級(jí)微積分。

數(shù)學(xué)分析的重要性還體現(xiàn)在它對(duì)于分析學(xué)的后續(xù)課程的影響。常、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、微分幾何，這些分析學(xué)的課程都在各自的領(lǐng)域體現(xiàn)了巨大的作用。但是，如果沒有扎實(shí)的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，就無法學(xué)好這些課程。正因如此，目前國(guó)內(nèi)各個(gè)院校的數(shù)學(xué)專業(yè)都把數(shù)學(xué)分析作為研究生入學(xué)考試的必考課程。也正因如此，作為數(shù)學(xué)分析課程的教師，如何講好這門課程，讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)分析的本質(zhì)，就成了一項(xiàng)非常重要又非常棘手的工作。筆者在近幾年的教學(xué)過程中，根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，同時(shí)結(jié)合兩種重要的教學(xué)法：發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和問題教學(xué)法，總結(jié)出一些有益的教學(xué)方法。因此撰成此文，與同行共享。

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和問題教學(xué)法并非適用于所有學(xué)科，但它們都適用于數(shù)學(xué)教學(xué)。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)這門學(xué)科非常重視邏輯關(guān)系，遷移性強(qiáng)，需要通過發(fā)現(xiàn)和探究問題來導(dǎo)出結(jié)論。 但在教學(xué)實(shí)踐中，不能全盤照搬這兩種教學(xué)法。因?yàn)閿?shù)學(xué)分析有自身的特點(diǎn)，例如知識(shí)量大（課時(shí)量相對(duì)較?。壿嬓詮?qiáng)，精密度高（而學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)得出的結(jié)論往往比較粗糙），所以在應(yīng)用這兩種教學(xué)法時(shí)，需要結(jié)合數(shù)學(xué)分析課程的特點(diǎn)和授課班級(jí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，創(chuàng)造性地實(shí)施教學(xué)。

下面首先簡(jiǎn)單地回顧發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和問題教學(xué)法的基本思想。

1 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和問題教學(xué)法

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法產(chǎn)生于上世紀(jì)50年代末。受到蘇聯(lián)科技快速發(fā)展的壓力，美國(guó)迫切需要提高學(xué)校的科學(xué)教育水平來培養(yǎng)大批科學(xué)技術(shù)專家和工程師，以此確保其在科技、軍事上的優(yōu)勢(shì)地位。在這種形式下，布魯納提出了發(fā)現(xiàn)教學(xué)法。

所謂發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，就是在教學(xué)過程中，不把現(xiàn)成的理論提供給學(xué)習(xí)者，而是從青少年好奇、好問、好動(dòng)的心理特點(diǎn)出發(fā)，在教師引導(dǎo)下，依靠教師和教材所提供的材料，讓學(xué)習(xí)者自己去發(fā)現(xiàn)問題、回答和解決問題，使他們成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者，而不是被動(dòng)的接受者。發(fā)現(xiàn)教學(xué)法非常強(qiáng)調(diào)如下幾個(gè)方面：（1）學(xué)習(xí)過程（即自我“發(fā)現(xiàn)”的過程）;（2）直覺思維（防止過早語(yǔ)言化）;（3）內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)（來源于學(xué)生對(duì)知識(shí)本身具有的內(nèi)在的興趣，有新發(fā)現(xiàn)的自信感）;（4）信息提?。▽W(xué)生親自參與發(fā)現(xiàn)事物的活動(dòng)，必然會(huì)用某種方式對(duì)它們加以組織，從而對(duì)記憶具有很好的效果）。

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的操作程序是：首先提出問題，創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生興趣，形成探究動(dòng)機(jī)。其次是引導(dǎo)學(xué)生洞察、展望、分析、比較，提出假說，進(jìn)行選擇思維。最后從事操作，驗(yàn)證假說，得出結(jié)論。

關(guān)于發(fā)現(xiàn)教學(xué)法更細(xì)致更系統(tǒng)的理論，有興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)[1]，[2]。

當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)教學(xué)法有一定的局限性。在實(shí)施發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的過程中，學(xué)生的有很大的自主空間，所以要求學(xué)生掌握比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，具備一定的發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)，善于樹立有效的假設(shè)并利用已有知識(shí)展開驗(yàn)證。對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備不足的學(xué)生，很難參與發(fā)現(xiàn)和研究過程;而對(duì)于習(xí)慣于被動(dòng)式學(xué)習(xí)的學(xué)生，容易產(chǎn)生陌生感和畏懼情緒。

問題教學(xué)法的提出者是美國(guó)教育家與哲學(xué)家杜威。他反對(duì)傳統(tǒng)教育中學(xué)生消極被動(dòng)地接受教師灌輸書本知識(shí)、教學(xué)過程與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)相脫離的教學(xué)模式，認(rèn)為教學(xué)過程應(yīng)該是學(xué)生獨(dú)立自主地發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的過程。而問題教學(xué)法就是以問題為載體貫穿教學(xué)過程，使學(xué)生在設(shè)問和釋問的過程中萌生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和欲望，進(jìn)而逐漸養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，并在實(shí)踐中不斷優(yōu)化自主學(xué)習(xí)的方法，提高自主學(xué)習(xí)能力的一種教學(xué)方法。

問題教學(xué)法的特點(diǎn)是：（1）需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，以問題來開啟學(xué)生的思維;（2）講究“布白”藝術(shù)，教師既要有效地啟發(fā)思維，又要留有余地，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

問題教學(xué)法的實(shí)施步驟是：（1）教師創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題;（2）問題定向，引導(dǎo)學(xué)生明確要解決的主要問題是什么;（3）學(xué)生自主探究，設(shè)計(jì)解決問題方案;（4）根據(jù)方案去解決問題;（5）對(duì)所解決的問題進(jìn)行檢驗(yàn)，并總結(jié)出方法;（6）對(duì)已解決的問題再質(zhì)疑，使問題得以拓展。

關(guān)于問題教學(xué)法更詳細(xì)的介紹以及杜威的其他教育理念，可以參閱文獻(xiàn)[3，4]。

在國(guó)內(nèi)各種課程改革和教學(xué)改革的實(shí)踐中，問題教學(xué)法已經(jīng)展示出其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。特別是新興的問題教學(xué)法更加注重培養(yǎng)學(xué)生的自主意識(shí)和主動(dòng)行為，這非常符合我國(guó)近年來一直大力提倡的素質(zhì)教育理念。

2 兩種教學(xué)法在數(shù)學(xué)分析課堂中的應(yīng)用

前面已經(jīng)介紹了發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和問題教學(xué)法的主要思想。它們都注重學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和探究性，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力和形成創(chuàng)新性思維。 但是，實(shí)施這兩種教學(xué)法都需要有充足的教學(xué)時(shí)間作為保障，而且學(xué)生人數(shù)宜少不宜多。對(duì)于課時(shí)量較少（相對(duì)于知識(shí)量）而且是大班教學(xué)的數(shù)學(xué)分析課堂，我們不能直接套用這兩種教學(xué)法，而是應(yīng)該將兩種教學(xué)法的精髓深入滲透到符合實(shí)情的數(shù)學(xué)分析教學(xué)課堂中，根據(jù)每節(jié)課的知識(shí)特點(diǎn)來實(shí)施靈活的教學(xué)。

數(shù)學(xué)分析課程的總體特點(diǎn)是知識(shí)體系龐大，邏輯性極強(qiáng)，強(qiáng)調(diào)對(duì)概念的理解和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。筆者在這門課的教學(xué)過程中，摒棄或壓縮這兩種教學(xué)法的一些步驟，使得課堂教學(xué)更加緊湊而不失啟發(fā)性。下面將結(jié)合兩個(gè)教學(xué)案例來闡述筆者是如何將兩種教學(xué)法融入到具體的課堂教學(xué)中。當(dāng)然，這兩種教學(xué)法并不孤立，它們有很多共同之處，所以在應(yīng)用某一個(gè)教學(xué)法時(shí)，也或多或少滲透了另一種教學(xué)法的思想。

首先介紹如何應(yīng)用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法來講授一元函數(shù)的極值問題。

根據(jù)華東師大版《數(shù)學(xué)分析》[5]的內(nèi)容安排，在學(xué)習(xí)了泰勒公式后，馬上進(jìn)入函數(shù)的極值與最值問題的學(xué)習(xí)。極值有三個(gè)充分條件。第一充分條件告訴我們，若函數(shù) 在點(diǎn)左邊單調(diào)遞減，在的右邊單調(diào)遞增，則 在點(diǎn)取得極小值。這個(gè)表述非常直觀，學(xué)生容易接受和理解。而第二和第三充分條件是用二階或高階導(dǎo)數(shù)值來判別極值情況，不直觀，且涉及到導(dǎo)數(shù)階數(shù)的奇偶性，學(xué)生不易接受。因此，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)充分條件的根源就成了一件非常重要的工作。發(fā)現(xiàn)教學(xué)法在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中可以發(fā)揮其獨(dú)特的作用。

課程一開始，筆者舉了兩個(gè)例子來闡述極值問題的重要性，順勢(shì)提出判別給定的函數(shù)何時(shí)取得極值是一個(gè)非常重要的課題，引起學(xué)生對(duì)本節(jié)課的重視。接著我們一起回顧極值的定義，強(qiáng)調(diào)了極值是局部的概念。在這之前，學(xué)生已經(jīng)知道了可導(dǎo)函數(shù) 在一點(diǎn)取極值的必要但非充分條件是 （） = 0。所以我提出一個(gè)很自然的問題：當(dāng) 在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)（進(jìn)一步假設(shè)它有任意階導(dǎo)數(shù)），在 （） = 0的基礎(chǔ)上，需要加上怎樣的條件，才能保證是 的極值點(diǎn)？

這是發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的第一個(gè)步驟。我讓學(xué)生思考兩分鐘（目的是讓他們理解這個(gè)問題，并初步估計(jì)這個(gè)問題的難度，對(duì)問題產(chǎn)生興趣）。接下來是最重要的步驟：引導(dǎo)學(xué)生洞察、分析、提出假說?？紤]到課時(shí)有限，要讓學(xué)生把寶貴時(shí)間用在“刀刃”上，我再次強(qiáng)調(diào)極值是一個(gè)局部的概念，提醒他們可以使用前一節(jié)的泰勒公式來作為解決問題的工具，并在黑板上寫上公式： （） = （） + （） （） + （） + …（） + ，讓他們觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教材的內(nèi)容安排是，首先介紹第二充分條件，給出證明，然后介紹第三充分條件，再給出證明。如果按這個(gè)順序進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也許可以通過復(fù)習(xí)來理解和記住這兩個(gè)結(jié)論，但課堂效果無疑會(huì)比較差。而我跳過兩個(gè)充分條件的單獨(dú)介紹，直接將這個(gè)公式寫出來的目的是把這兩個(gè)充分條件統(tǒng)籌考慮，提供有力工具，引導(dǎo)學(xué)生去尋找答案。

在觀察這個(gè)公式時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了 （）后面的“尾巴”：

（） （） + （） + …（） + 的符號(hào)決定了 （）的值比 （）的值大還是小，從而決定了 （）能否成為極值。但部分學(xué)生再往下探究時(shí)便覺得無從入手（因?yàn)樯婕暗蕉鄠€(gè)變量的疊加）。所以我提醒學(xué)生觀察，當(dāng)離很近時(shí)，起主要作用的是哪一項(xiàng)？這樣，他們就發(fā)現(xiàn)，如果 （）≠0，則 （） （）左右了“尾巴”的符號(hào)。但當(dāng)從左到右經(jīng)過時(shí)， （） （）的符號(hào)發(fā)生改變。因此，在點(diǎn)不能取得極值。

確定這個(gè)結(jié)論后，一些學(xué)生認(rèn)為判別工作已經(jīng)結(jié)束了。我告訴他們別忘了 （）= 0的情況還沒有考慮。于是他們進(jìn)一步分析（） + …（） + ，獲得在點(diǎn)取極值的條件。很自然地，當(dāng)（） = 0時(shí)，還要考慮下一個(gè)導(dǎo)數(shù)值……此時(shí)學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)值跟極值問題的密切關(guān)系。

最后，我把課堂上討論的結(jié)果整理成圖表的形式：

（）≠0 不是極值點(diǎn)

并告訴他們，把這兩個(gè)圖表的結(jié)論表述成文，分別就是課本中的第二和第三充分條件！

當(dāng)然，還要進(jìn)行發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的最后一個(gè)步驟：驗(yàn)證結(jié)論。數(shù)學(xué)分析非常強(qiáng)調(diào)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，所以在發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論，并整理成定理的形式后，我給出了嚴(yán)格的證明。

這節(jié)課通過使用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生探究了極值的第二和第三充分條件的來龍去脈，不再受困于定理表述的不直觀性。此外，我們的教學(xué)法把兩個(gè)充分條件統(tǒng)一考慮，讓學(xué)生理解到兩個(gè)定理之間具有很自然的邏輯關(guān)系。本節(jié)課還加深了學(xué)生對(duì)泰勒公式應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)。

我在教學(xué)實(shí)踐中還將發(fā)現(xiàn)教學(xué)法應(yīng)用于極限的定義、一致連續(xù)與連續(xù)的區(qū)別、柯西中值定理、不定式極限、分部積分公式、格林公式等環(huán)節(jié)的教學(xué)中。在此不再贅述。

問題教學(xué)法與發(fā)現(xiàn)教學(xué)法有許多共同之處，但更加強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程中以問題為載體。應(yīng)用問題教學(xué)法，可以引導(dǎo)學(xué)生從被動(dòng)接受數(shù)學(xué)分析的概念（或性質(zhì)、定理）轉(zhuǎn)化為主動(dòng)去歸納概念的本質(zhì)，提取出自己的概念。然后再審查自己形成的概念有何不足：例如，是否考慮不周，遺漏了必要的條件？是否陷入了似是而非的誤區(qū)？自己形成的概念，是否表達(dá)過于繁瑣，不能用最精簡(jiǎn)的語(yǔ)言來刻劃概念的本質(zhì)？

問題教學(xué)法的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)問，引導(dǎo)釋問。 結(jié)合傳統(tǒng)問題教學(xué)法的步驟，我在實(shí)踐中按如下四個(gè)步驟展開：（1）提出問題，啟發(fā)思考。（2）引導(dǎo)學(xué)生研究問題，鼓勵(lì)短時(shí)間的小組討論交流。（3）師生共同解決疑難，得出結(jié)論。（4）對(duì)比教材，看看所得結(jié)論是否完善，思考不完善的根源。

下面筆者將結(jié)合三重積分的概念來體現(xiàn)這一步驟的實(shí)施過程。

三重積分有明顯的物理背景。《數(shù)學(xué)分析》教材[5]中用兩句話對(duì)此作了簡(jiǎn)單的描述。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教材的描述很難讓學(xué)生體會(huì)到三重積分的物理意義，因此這一環(huán)節(jié)需要教師創(chuàng)造性地教學(xué)。為了從實(shí)際問題中自然地引入三重積分概念，加深學(xué)生對(duì)三重積分的概念及其應(yīng)用的理解，我在課前作了精心的準(zhǔn)備。

首先是準(zhǔn)備道具：（1）番薯一個(gè);（2）家庭用便攜式秤;（3）小型菜刀一把（使用前用厚報(bào)紙裹住）。

三重積分的一個(gè)經(jīng)典的物理背景是求物體的質(zhì)量。道具中的番薯就是將要被求質(zhì)量的物體。選購(gòu)番薯的原則是：體積越大越好（便于課堂展示，體積小了，后排的學(xué)生看不清楚），質(zhì)地越不均勻越好（不要讓學(xué)生直接認(rèn)為其密度是個(gè)常數(shù)），形狀越不規(guī)則越好（有利于體現(xiàn)分割物體的必要性）。

進(jìn)入教學(xué)環(huán)節(jié)后，我首先強(qiáng)調(diào)了在生活中和在科學(xué)研究中經(jīng)常遇到求一個(gè)給定物體的質(zhì)量的問題。“那么，根據(jù)你們現(xiàn)有的知識(shí)，怎么求一個(gè)物體的質(zhì)量呢？”

第一個(gè)問題提出來后，學(xué)生開始討論。這個(gè)時(shí)候我并不詢問他們的答案。我直接說，你們都有自己的方法，現(xiàn)在咱們來點(diǎn)實(shí)際的。這時(shí)我從袋子中拿出番薯（學(xué)生一片驚嘆），問：“你們能否告訴我，怎么求這個(gè)番薯的質(zhì)量？”

第二個(gè)問題顯然讓學(xué)生更加感興趣。部分學(xué)生回答說用密度乘以體積。而部分學(xué)生則說用秤來秤。我開玩笑地說：“回答用密度乘以體積的同學(xué)，肯定是沒有買過菜啊。最快的方法莫過于去秤一下。不信？”我拿出第二個(gè)道具：便攜式秤（學(xué)生開始樂了），直接秤出其質(zhì)量，把讀數(shù)告訴大家。

接下來告訴學(xué)生，這個(gè)小問題已經(jīng)徹底解決了。但是，在現(xiàn)實(shí)生活中，或者在物理研究中，求一個(gè)物體的質(zhì)量，使用秤的方法是萬(wàn)能的嗎？

這是第三個(gè)問題了。這個(gè)問題很容易引發(fā)思考但頗具挑戰(zhàn)性。學(xué)生開始討論。有學(xué)生大膽指出一些質(zhì)量很大或者體積很大的物體，根本無法用秤的方法去秤質(zhì)量。我也順勢(shì)舉了一個(gè)經(jīng)典的例子：目前已經(jīng)知道地球的質(zhì)量5.98€資喬Э耍饈淺映隼吹穆穡坎皇牽∈歉萃蠐幸郊撲慍隼吹?！可槛误学专覚n難頤切枰莆嶄囁蒲У墓ぞ擼唇餼黽值奈侍狻=裉歟頤墻褂夢(mèng)⒒值姆椒ɡ唇餼黽撲惴薔任鍰宓鬧柿康奈侍?。?/p>

當(dāng)然，解決任何一個(gè)問題都需要一定的條件。我們這里假設(shè)已經(jīng)知道了物體的密度函數(shù)（），（），其中是物體所占的空間區(qū)域。為了減少符號(hào)的個(gè)數(shù)，同時(shí)又不至于引起誤會(huì)，我們也順便用表示該物體。這時(shí)，我提出第四個(gè)問題：如果物體是均勻的，即為常函數(shù)，那么物體的質(zhì)量等于多少？

第四個(gè)問題的答案是 = ， 是體積。這個(gè)問題沒有難住學(xué)生，但為下面的步驟做了鋪墊。我進(jìn)一步提問，如果（）不是常函數(shù)，但近似于一個(gè)常函數(shù)（） = ，那么物體的質(zhì)量近似等于多少？學(xué)生都知道答案依然是 = 。于是我順勢(shì)導(dǎo)出第五個(gè)問題：現(xiàn)在知道了（）是個(gè)連續(xù)函數(shù)，但不一定近似于某個(gè)常函數(shù)，你們有什么辦法可以求出的近似質(zhì)量嗎？

我讓學(xué)生開始思考，提醒他們可以采用我們積分學(xué)常用的技術(shù)。經(jīng)過討論之后，大部分同學(xué)都有了答案：首先切割物體成若干小塊，每一小塊近似看作是均勻的，其密度可以用小塊的任一點(diǎn)的密度來近似代替。算出每一小塊的近似質(zhì)量，最后加起來。和式就是物體的近似質(zhì)量。

為了更加形象地說明這一點(diǎn)，我拿出小菜刀（學(xué)生看到小菜刀又是一陣驚呼），切割番薯成多個(gè)小塊。其中一小塊比較細(xì)長(zhǎng)（備用）。切完后，我提出第六個(gè)問題：為了讓這些小薯塊的近似質(zhì)量之和更加接近番薯的真實(shí)質(zhì)量，我們需要怎么做呢？

學(xué)生并沒有被這個(gè)問題所難住。他們告訴我，應(yīng)該切得再細(xì)一點(diǎn)，越細(xì)誤差就越小。這時(shí)我不失時(shí)機(jī)地提出一個(gè)非常重要，極易被學(xué)生所忽略的第七個(gè)問題：你們認(rèn)為怎么樣刻畫小薯塊（即小區(qū)域）的細(xì)度才準(zhǔn)確？

這是一個(gè)非常尖銳的問題。不少學(xué)生說，用小薯塊的體積來作為它的細(xì)度。體積越小，小薯塊自然越細(xì)。還有學(xué)生指出，只要切成無數(shù)塊，小薯塊的近似質(zhì)量之和就變成了真實(shí)質(zhì)量啦，不需要考慮細(xì)度。面對(duì)這些表面看起來正確實(shí)則有誤的回答，我逐一糾正。首先，體積越小不意味著其密度越接近于常數(shù)。例如，切成細(xì)長(zhǎng)的一小塊，盡管體積非常小，但根據(jù)密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)容易看出，該小塊上不同位置的密度差別可以是比較大的。因此不適合把小細(xì)條形狀的薯塊視為均勻的。可見，上述方法得出的近似值并不“近似”。其次，切成無數(shù)塊，并不意味著每一小塊都非常小?？梢允悄骋粔K一直保持著不變，而其他小塊被不斷地切細(xì)。因此，上述兩種方法都不符合越來越近似的要求。最后提醒學(xué)生，要使每一小塊上不同位置的密度非常接近，關(guān)鍵是要考慮（）的連續(xù)性。通過引導(dǎo)學(xué)生一起回顧連續(xù)性的定義，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只有用每一小塊的直徑作為細(xì)度，才能滿足“當(dāng)細(xì)度趨于零是，近似質(zhì)量趨于真實(shí)質(zhì)量”的要求。

值得指出的是，通過切割番薯的實(shí)物操作，學(xué)生對(duì)積分學(xué)中分割的細(xì)度有了深刻的認(rèn)識(shí)！

有了上述幾個(gè)問題的引導(dǎo)，我和學(xué)生一起歸納出求一個(gè)已知密度函數(shù)的物體的質(zhì)量的步驟。并將其升華為一般的數(shù)學(xué)問題。導(dǎo)出三重積分的概念和符號(hào)。

課后，通過學(xué)生的反饋，我了解到絕大部分學(xué)生都充分認(rèn)識(shí)到三重積分具有強(qiáng)烈的物理背景。由于有了正確的理解，他們通過簡(jiǎn)短的記憶，幾乎都能用自己的語(yǔ)言描述出三重積分的定義和表示方法。而且，由于生動(dòng)活潑的課堂氣氛和人人都能參與思考的教學(xué)模式，一些平時(shí)不愛數(shù)學(xué)的學(xué)生也增加了對(duì)微積分的喜愛。

問題教學(xué)法還可以應(yīng)用于確界原理、導(dǎo)數(shù)的定義、定積分的定義、用定積分求平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)、平面圖形的面積等環(huán)節(jié)的教學(xué)中。

最后再次指出，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)分析，僅僅讓他們正確理解教材中的概念、性質(zhì)、定理和各種計(jì)算是不夠的，還需要更多地引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去探究這些知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)以及知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。唯有如此，在龐大的數(shù)學(xué)分析知識(shí)體系的學(xué)習(xí)中，學(xué)生才能成為掌舵者。因此，合理靈活地應(yīng)用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和問題教學(xué)法到數(shù)學(xué)分析的教學(xué)過程，對(duì)于改善教學(xué)質(zhì)量具有重要的意義。

參考文獻(xiàn)

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