廣東省廣州市南海中學(xué) 紀(jì)麗敏

《幾何證明選講》有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。在幾何證明的過(guò)程中，不僅有邏輯演繹的程序，還包含著大量的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程。

以下就廣東省高考模擬題、高考題中出現(xiàn)的幾何證明選講選做題進(jìn)行分析、歸類(lèi)，以期把握此類(lèi)問(wèn)題的常用題型，形拋磚引玉之效。

一、考察平面圖形中基本的數(shù)量關(guān)系的理解和掌握

例1：在直角梯形A B C D中，DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=

點(diǎn)E,F分別為線段AB,AD的中點(diǎn)，則EF=___

分析：題目中，出現(xiàn)點(diǎn)E,F分別為線段AB,AD的中點(diǎn)，學(xué)生很快會(huì)聯(lián)想到三角形中位線定理，通過(guò)連接并計(jì)算BD，從而得出EF的長(zhǎng)度。事實(shí)上，當(dāng)我們連接DE，可知ΔAED為直角三角形，并且EF是RtΔDEA斜邊上的中線，等于斜邊的一半，為

這樣不僅減少了計(jì)算，也體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)題目中數(shù)量關(guān)系的把握和分析問(wèn)題的能力。

二、應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)

例2：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上

且EB＝2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，

分析：相似三角形面積比等于相似比的平方。

此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是證明三角形相似，然后通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問(wèn)題。常用AA，AAA，三邊成比例，兩邊成比例、兩邊夾角相等等基本方法。后例有有關(guān)三角形相似，計(jì)算其他比例值或長(zhǎng)度。

三、考察同弧所對(duì)的圓周角、弦切角、圓心角的數(shù)量關(guān)系

例3：如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別做圓的切線和割線交圓于A,B兩點(diǎn)，且PB=7，C是圓上一點(diǎn)使得BC=5，∠B AC = ∠APB ,則AB=___．

分析:本題是2011年理科高考題,看起來(lái)難度不大，但得分僅0.82,從得分看屬于難題。事實(shí)上，由同弧所對(duì)的圓周角、弦切角相等，則∠PAB=∠ACB，又∠B AC = ∠APB,故△ABP∽△CBA，，AB=。

考察了同弧所對(duì)的圓周角、弦切角相等。題目中過(guò)P做圓的切線和割線，讓一些不細(xì)心思考的學(xué)生陷入運(yùn)用切割線定理的誤區(qū)，導(dǎo)致不能得分。說(shuō)明學(xué)生選擇有效知識(shí)點(diǎn)并合理運(yùn)用方面還不夠好。

四、運(yùn)用圓的相交弦定理

圓的相交弦定理是指圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)所分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。要注意強(qiáng)調(diào)是從交點(diǎn)出發(fā)的四條線段在同一弦的積。明顯的特征是題目中出現(xiàn)圓內(nèi)的兩條弦相交。但并不是說(shuō)出現(xiàn)了相交弦就一定會(huì)用到相交弦定理。

例4：如圖，AC為⊙O的直徑，OB⊥AC ，弦BN交AC于點(diǎn)M.

若OC=，OM=1，則MN的長(zhǎng)為

分析：由題OC=OB=，OM=1，則MB = 2 ,M A =? 1 ,M C =+1。

現(xiàn)在要求MN，很快由相交弦定理知:MN· M B =MA· MC, M N=1。

五、運(yùn)用圓的切割線定理

例5：如圖所示，過(guò)圓C外一點(diǎn)P做一條直線與圓C交于A,B兩點(diǎn)，AB=2AP ,PT與圓C相切于T點(diǎn).已知圓C的半徑為2，∠CAB=30°，則PT=___

分析：PT為圓C的切線，由圓的切割線定理，PT2= P A? PB，又A B=2 A P，P B=P A+A B，此時(shí)轉(zhuǎn)化為如何求A B。在等腰△ACB中，AC=2，∠C_AB=30°，∴AB =,P A =,P B =?！郟T=3就迎刃而解了。

當(dāng)題目中同時(shí)出現(xiàn)圓的切線和割線時(shí)，可以先考慮是否能利用圓的切割線定理解決問(wèn)題。在運(yùn)用圓的切割線定理時(shí)，一個(gè)比較容易錯(cuò)誤的地方在于把定理寫(xiě)成PT2= P A? AB 。和相交弦定理一樣，都是從兩條線的交點(diǎn)“發(fā)散”出去的線段，理解了這點(diǎn)就不容易寫(xiě)錯(cuò)、用錯(cuò)了。

六、運(yùn)用直角三角形的射影定理

例6：如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥BC，垂足為F，若AB=6，CF? CB=5，則AE=．

分析：要求AE，考慮到CE=ED，

AB與CD是圓的兩條相交弦，AB又為直徑且長(zhǎng)度為6。

故怎樣求CE是關(guān)鍵。

第一步：Rt△CEB中，由射影定理得CE2=CF? CB =5。

第二步：由圓的相交弦定理得CE2=AE? EB( = AE( A) B ? AE )。

所以AE 6 ? A E = 5 ,A E =1.

幾何證明選講選做題求解的關(guān)鍵在于找出連接條件與結(jié)論所有中間環(huán)節(jié)。既可以是從條件入手順推，也可以是從結(jié)論著想逆推，還可以是兩者結(jié)合。幾何證明選講選做題的條件和結(jié)論主要分兩類(lèi)：一類(lèi)是度量關(guān)系，如相等、全等、成比例等；另一種是位置關(guān)系，如平行、共圓等，它們是相互聯(lián)系、有機(jī)統(tǒng)一的。在近年的廣東省高考模擬題、高考題中，考察有關(guān)幾何證明選講選做題的方式、方法相對(duì)明確，題型相對(duì)穩(wěn)定。在實(shí)際的考試中，往往比較少的直接運(yùn)用單一某個(gè)性質(zhì)、定理，而是在這些性質(zhì)、定理的基礎(chǔ)上“拐拐彎”，運(yùn)用多個(gè)性質(zhì)、定理，以期達(dá)到教材編寫(xiě)者“希望通過(guò)本書(shū)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在知識(shí)積累、數(shù)學(xué)能力的提高、對(duì)數(shù)學(xué)的理解和認(rèn)識(shí)等方面都能更上一個(gè)臺(tái)階的目的”。