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        對“0是自然數(shù)”的幾點教學思考

        2015-06-17 16:27:31張偉東
        新課程·小學 2015年4期
        關(guān)鍵詞:數(shù)集后繼公理

        張偉東

        一、計數(shù)的歷史

        數(shù)量是對生活中具體事物的抽象,而數(shù)是對數(shù)量的抽象,或者說,“數(shù)”就是用來描述具體事物的多少這個抽象概念,當客觀的需要要求人們弄清楚所有物的多少時,“數(shù)”的產(chǎn)生就有了它的合理性,只是,在這種合理性之中還有缺陷,就是對“零”的忽視。由于人們最初只是記錄有具體數(shù)量的物體的“數(shù)”,而對于一無所有的現(xiàn)象并不感興趣,所以,在古代中國、埃及以及后來的古羅馬等地使用的數(shù)字符號中,都沒有表示“零”的符號,如今通用表示“零”的符號為“0”,是直到約公元5世紀才由印度人首先提出的?;蛟S就是因為這種慣性思維,近代以來,人們也大都是把“1”看作自然數(shù)的開始,依然沒有對“0”加以多少的關(guān)注。

        二、為什么自然數(shù)可以包括“0”

        如果只是為了尊重國家標準的嚴肅性,而將“0”硬性地劃入到自然數(shù)系當中,說服性是不高的,所以,必須從理論與實際兩方面認識“0”作為自然數(shù)的合理性與價值,才能使我們更清楚地了解自然數(shù)的性質(zhì),這也才是正確的學術(shù)態(tài)度。

        首先,從自然數(shù)的公理系統(tǒng)(皮亞諾公理系統(tǒng))來看,定義自然數(shù),需要規(guī)定自然數(shù)的起源、后繼性并在此基礎上衍生、推廣出整個自然數(shù)集。這里需要注意的是,該公理最初規(guī)定自然數(shù)是從“1”開始的,并在“1”的后面通過直接后繼的方法生成所有的自然數(shù),而后來皮亞諾又把自然數(shù)改成了從“0”開始,這是為了說明“0”不是任何數(shù)的后繼,它有其特有的性質(zhì)。

        在教學中,我們可以給學生說明一個道理:數(shù)數(shù)不一定非得從眼見為實的“1”開始,空無一物的東西也需要加以重視,“0”可以省略,但絕不能忽略。普通的自然數(shù)可以當成是實實在在的“存在”,“0”則是潛在的“存在”,兩者可以互相轉(zhuǎn)化,忽視任何一方面內(nèi)容都是不正確的。當然,小學數(shù)學課堂里沒必要上升到哲學的層面,但培養(yǎng)學生思考事物本質(zhì)的思維卻是大有裨益的,這也符合培養(yǎng)學生數(shù)學意識的新課標精神。

        其次,“0”成為自然數(shù)之后,對數(shù)的擴充起到了很大的作用。從定義來看,正整數(shù)表示的是大于“0”的整數(shù),自然數(shù)按照原定義則是從“1”開始的用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。且不說兩者在數(shù)集上是重合的,浪費了資源,當遇到數(shù)集擴充到整數(shù)集的問題時,他們所能提供的幫助也很有限的。一句話,還是忽略了“0”的存在!

        具體來看,想從正整數(shù)集(或是原來的自然數(shù)集)直接擴展到整數(shù)集,在書寫與教學時還需加上一個“0”,因為正整數(shù)可以有相反數(shù),而0不是任何數(shù)的相反數(shù),顯然,這樣的描述是不符合簡約化要求的。而新自然數(shù)集的產(chǎn)生彌補了這一缺陷,使數(shù)系的擴充更簡便,更有說服力。另外,小學課堂在講解十進位制的時候,如果出現(xiàn)“逢十進一”的情況,這里的“10”是自然數(shù),而“0”卻不是自然數(shù),這將給學生的理解帶來一些困難,也是不利于教學的。

        三、自然數(shù)里加入“0”之后,引起的一些現(xiàn)實教學問題

        問題一:“最小的一位數(shù)是0還是1?”想弄清楚這個問題,首先要知道關(guān)于“幾位數(shù)”的準確定義,《現(xiàn)代漢語字典》上明確說明:“用幾個數(shù)字寫出來的自然數(shù)(最左端的數(shù)字不能是0),就叫幾位數(shù)?!币簿褪钦f,字典上是默認0不能單獨作為一位數(shù)存在的,自然也就不是最小的一位數(shù)了。再進一步考慮“0”在實際生活中的用途,即:表示什么也沒有、表示起點或界限、起到占數(shù)位的作用等等,尤其是最后一點作用——占數(shù)位:一般我們在記數(shù)時,如果數(shù)的某一數(shù)位上一個單位也沒有,就用0來占位。比如,10的個位,100的十位、個位上一個單位也沒有,就用0來占位。而如果出現(xiàn)“00”“000”這樣的數(shù),不論是占數(shù)位還是單獨出現(xiàn),都是非常不符合常理的。所以,在通常的位數(shù)教學中還是應該避免涉及“0是幾位數(shù)”的問題,我們只能說0是最小的自然數(shù),并默認“1”是最小的一位數(shù)。

        問題二:“曾經(jīng)自然數(shù)可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1,那么,0成為自然數(shù)之后,到底是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),或是單獨成為一類?”這是一個新數(shù)集內(nèi)的分類問題,由于數(shù)學學科的科學性,人們的慣性思維是把每一個概念都分析清楚,并安排好它們的“歸宿”,似乎不分門別類地排好順序,就拿不出手。

        問題三:“如何處理約數(shù)、倍數(shù)問題中的0?”在這個問題上,現(xiàn)行教材對于約數(shù)、倍數(shù)等概念中都選擇了不包括0的策略,算不上逃避,但至少是暫緩解決。

        總而言之,“0”這個數(shù)字是有其特殊性的,它雖然同其他的阿拉伯數(shù)字一樣也來自神秘的古印度,但受佛教影響,表示一種超脫于現(xiàn)實事物的絕對存在,類似于中國道家里的“道”。簡單地說,數(shù)“0”自成一家,數(shù)“1”到無窮是另一類。而作為人們數(shù)數(shù)的工具,自然數(shù)在后來將其源起從“1”擴展至“0”,也是為了更一般的描述數(shù)與數(shù)量,描述這個世界。因此,在實際教學中,不論遇到什么樣的問題,都需記住自然數(shù)的計數(shù)本質(zhì),那么問題就一定能夠解決。

        參考文獻:

        張奠宙.小學數(shù)學研究[M].北京:高等教育出版社,2009.

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