孫鵬，楊永越

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110870)

基于相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法

孫鵬，楊永越

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110870)

在高壓電氣設(shè)備介損角在線監(jiān)測(cè)中，由于存在工頻周期信號(hào)的非同步采樣和截?cái)喱F(xiàn)象，從而造成利用FFT算法計(jì)算介損角產(chǎn)生較大的誤差。本文分析了非同步采樣造成的FFT算法的泄漏效應(yīng)，提出了一種基于相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法。該方法采用相關(guān)Blackman窗對(duì)系統(tǒng)電流與電壓信號(hào)進(jìn)行加權(quán)，然后利用頻譜相位差校正法進(jìn)行頻譜校正以獲得基波相位，最后根據(jù)電流與電壓的基波相位差來(lái)計(jì)算出介損角。仿真結(jié)果表明該算法有效地克服了非同步采樣和截?cái)嘣斐傻慕閾p角測(cè)量誤差，并且能夠大大降低信號(hào)頻率波動(dòng)、高次諧波對(duì)介損角測(cè)量精度的影響。

介損角;FFT;非同步采樣;泄漏效應(yīng);相關(guān)Blackman窗;頻譜校正

1 引言

介質(zhì)損耗角正切值tanδ是反映絕緣介質(zhì)損耗大小的特征參量，它反映了絕緣介質(zhì)絕緣性能的好壞，是高壓電氣設(shè)備狀況的一個(gè)非常重要的指標(biāo)。

目前，介損角的測(cè)量方法主要有硬件法和軟件法。硬件法主要以西林電橋法［1］、過(guò)零比較法［2］和自由矢量法［3］等為代表，但該類方法硬件處理環(huán)節(jié)過(guò)多，抗干擾性能弱，介損角測(cè)量誤差較大。軟件法主要有FFT［4-7］、波形擬合法［8］和濾波法［9-11］等。其中，F(xiàn)FT計(jì)算速度快，檢測(cè)結(jié)果不受高次諧波和電子電路零漂影響，已成為現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)介損角最常應(yīng)用的算法。由于電力系統(tǒng)頻率波動(dòng)會(huì)造成非同步采樣，利用FFT處理信號(hào)會(huì)造成頻譜泄漏效應(yīng)和柵欄效應(yīng)，從而嚴(yán)重影響介損角的測(cè)量精度。為了減少頻譜泄漏的影響，基于Hanning窗［4，5］、Blackman-Harris窗［6，7］、卷積窗［12］等加窗插值FFT介損角測(cè)量算法相繼被提出。為了降低柵欄效應(yīng)的影響，提出了用來(lái)估計(jì)信號(hào)參數(shù)的頻譜插值FFT算法［4，6，13］和頻譜相位差校正法［14，15］等。但由于介損角非常小(0.001～0.02rad)，極易被現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)干擾和泄漏引起的誤差所湮沒(méi)。因此，需改進(jìn)窗函數(shù)性能及信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法以更好地抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，提高介損角的測(cè)量精度。

本文分析了FFT算法非同步采樣造成的頻譜泄漏效應(yīng)和柵欄效應(yīng)，提出了基于相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法。該方法能夠有效地抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，大大降低信號(hào)頻率波動(dòng)、信號(hào)可能存在的高次諧波以及隨機(jī)噪聲干擾等因素對(duì)介損角測(cè)量精度的影響，從而可以提高介損角的測(cè)量精度。

2 FFT的泄漏效應(yīng)

FFT算法產(chǎn)生頻譜泄漏是由于實(shí)際工程應(yīng)用中對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，往往需要把無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)域信號(hào)限制在有限長(zhǎng)的時(shí)間區(qū)域內(nèi)來(lái)進(jìn)行信號(hào)處理。信號(hào)的截?cái)嘞喈?dāng)于在時(shí)域中把信號(hào)與一個(gè)矩形窗相乘，在頻域中則相當(dāng)于信號(hào)頻譜與矩形窗頻譜的卷積。卷積的結(jié)果會(huì)造成分析頻譜擴(kuò)散到原信號(hào)頻譜以外的范圍，這種頻譜上的失真被稱為“頻譜泄漏”。

當(dāng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行非同步采樣時(shí)，信號(hào)的各次諧波分量不能保證恰好位于頻率分辨點(diǎn)上，而有可能落在某兩個(gè)頻率分辨點(diǎn)之間的位置上，由此造成通過(guò)FFT算法不能直接得到各次諧波分量的準(zhǔn)確值，而只能以臨近的頻率分辨點(diǎn)上的值來(lái)近似替代，這就形成了柵欄效應(yīng)。

3 相關(guān)Blackman窗及其頻譜特性

對(duì)于長(zhǎng)度為M的矩形窗序列，其時(shí)、頻域表達(dá)式為:

Blackman窗函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式為:

其頻域表達(dá)式為:

式中

WR(ω)為矩形窗傅里葉變換的幅值函數(shù)，即:

相關(guān)Blackman窗的表達(dá)式為:

式中，n=0，±1，…，±(M－1)，其正比于兩個(gè)Blackman窗的相關(guān)函數(shù)，故稱為相關(guān)Blackman窗函數(shù)。將相關(guān)Blackman窗函數(shù)進(jìn)行歸一化處理可得到歸一化的相關(guān)Blackman窗函數(shù)為:

式中，歸一化因子wf為:

相關(guān)Blackman窗函數(shù)的傅里葉變換為:

由式(10)可知，相關(guān)Blackman窗函數(shù)是偶函數(shù)，具有零相位特性?，F(xiàn)將相關(guān)Blackman窗函數(shù)沿橫坐標(biāo)平移M－1個(gè)點(diǎn)，則相關(guān)Blackman窗函數(shù)變?yōu)榫€性相位。當(dāng)相關(guān)Blackman窗函數(shù)沿橫坐標(biāo)移位后，則WCB(ejω)變?yōu)?

式中，N=2M－1。再將WCB(ejω)進(jìn)行歸一化處理變?yōu)?

窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度與頻譜分辨率有關(guān)，主瓣越大，則會(huì)引起頻譜分辨率降低;旁瓣與泄漏有關(guān)，旁瓣峰值越大，泄漏越多，旁瓣衰減速率越快，對(duì)泄漏抑制越強(qiáng)［16］。

相關(guān)Blackman窗函數(shù)和Blackman-Harris窗函數(shù)的幅頻特性曲線如圖1所示。

圖1 相關(guān)Blackman窗和Blackman-Harris窗的幅頻特性Fig．1 Amplitude-frequency characteristic curve of correlation Blackman window and Blackman-Harris window

由圖1可知，在兩種窗函數(shù)長(zhǎng)度相等的情況下，相關(guān)Blackman窗函數(shù)的旁瓣峰值和旁瓣衰減速率均優(yōu)于Blackman-Harris窗函數(shù)，因此能更有效地抑制頻譜泄漏。雖然相關(guān)Blackman窗函數(shù)的主瓣寬度稍寬，在一定程度上降低了頻譜分辨率，但可以采用頻譜插值FFT算法或頻譜相位差校正法進(jìn)行修正。

4 相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法

設(shè)周期性電氣信號(hào)為:

式中，Am為信號(hào)幅值;fm為信號(hào)頻率;φm為初始相角。則對(duì)電氣信號(hào)以采樣頻率fs進(jìn)行采樣可以得到序列xm(n)為:

式中，Ts=1/fs為采樣周期;ωm=2πfmTs。

對(duì)信號(hào)xm(n)加相關(guān)Blackman窗可得到有限長(zhǎng)離散加窗序列xm1(n):

若xm(n)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)為Xm(ejω)，則Xm(ejω)為:

則加窗信號(hào)xm1(n)的頻譜Xm1(ejω)為:

式(17)中等號(hào)右邊兩項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)于相關(guān)Blackman窗函數(shù)的頻譜W'CB(ejω)沿頻率軸向右移ωm和向左移ωm得到的正頻率分量和負(fù)頻率分量，由于離散窗函數(shù)的幅值譜特性類似于低通濾波器，截止頻率約為窗譜主瓣寬度的一半，所以當(dāng)ωm大于此截止頻率時(shí)，這兩項(xiàng)之間彼此的影響極小，當(dāng)僅考慮0≤ωm≤π時(shí)，則:

對(duì)信號(hào)xm1(n)進(jìn)行離散傅里葉變換(DFT)，則可以得到離散頻譜Xm1(k)。Xm1(k)實(shí)質(zhì)上就是對(duì)連續(xù)頻譜Xm1(ejω)以Δω=2π/N進(jìn)行等間隔抽樣，所以Xm1(k)為:

考慮到實(shí)際應(yīng)用中可能存在的非同步采樣，NTs可能不是信號(hào)周期Tm(Tm=1/fm)的整數(shù)倍，則ωm/Δω為:

所以ωm/Δω也不是整數(shù)，設(shè)ωm/Δω為:

式中，km為正整數(shù);λm(－0.5≤λm≤0.5)為小數(shù)。

用DFT來(lái)計(jì)算第km根譜線的頻譜Xm1(km)為:

通過(guò)求出λm后，就可以求出被分析信號(hào)的基波參數(shù)。由式(20)可以得出信號(hào)基波頻率fm為:

式中，Δf為頻率分辨率。

基波幅值A(chǔ)m為:

基波相位φm為:

通過(guò)采用頻譜相位差校正法［14］可以求取信號(hào)頻率校正量λm來(lái)進(jìn)行頻譜校正，從而可以求出基波的準(zhǔn)確參數(shù)。

對(duì)信號(hào)xm(t)以采樣頻率fs采連續(xù)兩段樣本，每段信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為N點(diǎn)，則兩段信號(hào)的函數(shù)表達(dá)式為:

式中，φ2和φ3分別是兩段信號(hào)的初始相角。

對(duì)上述兩段信號(hào)分別加相同的相關(guān)Blackman窗，并且進(jìn)行離散傅里葉變換。設(shè)T為窗函數(shù)的周期，則式(27)變換為:

由式(28)可知:

將式(23)和T=NTs代入式(29)，可得:

由于km為正整數(shù)，相位以2π為周期，故2kmπ可以忽略不計(jì)，則λm為:

由式(25)可得:

則式(31)可化簡(jiǎn)為:

由于angle(Xm2(km))和angle(Xm3(km))分別是信號(hào)Xm2(km)和Xm3(km)加相同的相關(guān)Blackman窗并且進(jìn)行離散傅里葉變換后km點(diǎn)處的相位，則其相位均在－π～π之間，而兩者之間的相位差卻在－2π～2π之間，因而需要對(duì)其相位差進(jìn)行調(diào)整，則調(diào)整后的相位差Δφ為:

根據(jù)式(34)和式(35)可以得到調(diào)整后的頻率校正量λm為:

設(shè)電流信號(hào)和電壓信號(hào)加相關(guān)Blackman窗后進(jìn)行離散傅里葉變換所得到的結(jié)果分別為X1(k)和X2(k)，根據(jù)相位差校正法所得到的頻率校正量分別為λ1和λ2，則介損角為:

5 計(jì)算機(jī)仿真分析

為了驗(yàn)證基于相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法的有效性，本文在多種干擾狀態(tài)下對(duì)該算法進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真研究，其中絕緣介質(zhì)采用阻容并聯(lián)電路加以模擬，其電阻Rx=100MΩ，電容Cx= 7000pF，取信號(hào)基波頻率為50.5Hz，3次和5次諧波分量幅值分別占基波幅值的10%和1%。根據(jù)tanδ =1/(ωRxCx)，可以求得介損角δ的理論值為0.00450223rad。

取信號(hào)采樣頻率為1280Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1025點(diǎn)。對(duì)信號(hào)采連續(xù)兩段樣本，每段采樣點(diǎn)數(shù)為1025點(diǎn)，用頻譜相位差校正法求取電力系統(tǒng)頻率校正量λm，進(jìn)而可以求出基波的準(zhǔn)確參數(shù)。通過(guò)仿真研究，分析了基于相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法和基于Blackman-Harris窗插值FFT介損角測(cè)量算法在電壓頻率波動(dòng)、3次諧波分量變化和白噪聲變化時(shí)對(duì)介損角測(cè)量的影響。

5.1 電壓頻率波動(dòng)的影響

設(shè)電源頻率在(50±0.5)Hz范圍內(nèi)變化，利用上述方法所得的介損角如表1所示。

表1 電壓頻率波動(dòng)對(duì)介損角測(cè)量的影響Tab．1 Influence of frequency fluctuation on measurement of dielectric loss angle

由表1可知，當(dāng)電壓頻率在49.5～50.5Hz范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，采用本文算法計(jì)算介損角相對(duì)誤差小于0.04%，遠(yuǎn)小于基于Blackman-Harris窗的插值算法的介損角相對(duì)誤差。

5.2 3次諧波的影響

電力系統(tǒng)中，3次諧波分量往往占較大比重，3次諧波分量幅值與基波分量幅值比值變化時(shí)計(jì)算得到的介損角如表2所示，其中A3/A1是3次諧波分量和基波分量的幅值之比。

表2 3次諧波對(duì)介損角測(cè)量的影響Tab．2 Influence of third-harmonics on measurement of dielectric loss angle

由表2可知，當(dāng)3次諧波分量幅值與基波分量幅值的比值在0.1～0.9范圍內(nèi)變化時(shí)，采用本文算法計(jì)算介損角的相對(duì)誤差小于0.03%，完全能達(dá)到介損角測(cè)量精度的要求。此外，3次諧波分量的變化對(duì)該介損角測(cè)量算法的影響很小，計(jì)算介損角時(shí)本文算法明顯優(yōu)于基于Blackman-Harris窗的插值算法。

5.3 白噪聲的影響

設(shè)信噪比分別為10dB、30dB、50dB、70dB和90dB，考慮到白噪聲具有隨機(jī)性，研究中對(duì)每個(gè)點(diǎn)計(jì)算100次。表3所示為不同信噪比下介損角的最大相對(duì)誤差。

表3 白噪聲所造成的最大相對(duì)測(cè)量誤差Tab．3 Relative error ofmeasurement of dielectric loss angle caused by white noise

仿真結(jié)果表明，隨著信噪比的提高，采用本文算法計(jì)算得到的介損角的誤差呈下降趨勢(shì)。當(dāng)信噪比過(guò)低(＜30dB)時(shí)，介損角的最大相對(duì)誤差很大，這表明誤差足以湮沒(méi)其真實(shí)值。因此，在白噪聲干擾較嚴(yán)重時(shí)，應(yīng)采取合適的降噪措施以提高介損角的測(cè)量精度。若采用足夠多次測(cè)量，并取其平均值，則可以有效地降低測(cè)量誤差，如表4所示。當(dāng)信噪比大于70dB時(shí)，介損角均值的相對(duì)誤差將小于0.03%。

表4 白噪聲所造成的均值相對(duì)測(cè)量誤差Tab．4 Mean relative error ofmeasurement of dielectric loss angle caused by white noise

6 結(jié)論

采用FFT算法進(jìn)行介損角測(cè)量時(shí)，因非同步采樣造成泄漏效應(yīng)，影響了介損角測(cè)量精度。本文針對(duì)此問(wèn)題提出了基于相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法，有效地抑制了頻譜泄漏，提高了介損角的測(cè)量精度。仿真結(jié)果表明，基于相關(guān)Blackman窗的FFT介損角測(cè)量算法受頻率波動(dòng)和3次諧波分量的影響很小。

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FFT algorithm of dielectric loss anglemeasurement based on correlation Blackman w indow

SUN Peng，YANG Yong-yue

(School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China)

In on-linemonitoring dielectric loss angle of high voltage electric equipment，the FFT algorithm brings significant errors because of asynchronous sampling and the truncation of power systems frequency signal．In this paper，leakage effect of FFT algorithm caused by asynchronous sampling is analyzed，a FFT algorithm of dielectric loss anglemeasurement based on correlation Blackman window is presented．Firstly，the power systems current and voltage signals areweighted by the correlation Blackman window．Then，the fundamental phase angles are calculated with spectral phase difference correction method．Lastly，the dielectric loss angle is calculated by the phase difference of the fundamental current and voltage．The simulation results show that the proposed algorithm can effectively overcome dielectric loss anglemeasurement errors because of asynchronous sampling and the truncation of power systems frequency signal，and improvemeasurementaccuracy of dielectric loss angle greatly under such conditions as power systems signal frequency fluctuation and higher harmonics．

dielectric loss angle;FFT;asynchronous sampling;leakage effect;correlation Blackman window; spectrum correction

TM835.4

A

1003-3076(2015)04-0043-06

2013-09-23

孫鵬(1958-)，男，遼寧籍，教授，博士，研究方向?yàn)殡娖骼碚撆c設(shè)計(jì)、繼電保護(hù)的研究;楊永越(1988-)，男，河北籍，碩士研究生，研究方向?yàn)殡姎庠O(shè)備在線監(jiān)測(cè)與故障診斷。