王佳興，楊洪耕，王澤，韓斐

(四川大學電氣信息學院，四川成都610065)

基于廣義逆算法的電壓暫降狀態(tài)估計

王佳興，楊洪耕，王澤，韓斐

(四川大學電氣信息學院，四川成都610065)

提出了一種基于廣義逆算法的電壓暫降狀態(tài)估計(VSSE)新方法，將傳統(tǒng)的隨機故障點法和解析法相結(jié)合得到電壓暫降狀態(tài)估計方程?？朔藗鹘y(tǒng)隨機故障點法選取故障點位置和數(shù)量的盲目性，具有在減少計算量的同時且能保證評估精度的優(yōu)點，并利用廣義逆算法準確可靠地求解此欠定方程組。相對于整數(shù)線性規(guī)劃和遺傳算法，該方法無需迭代，不存在收斂性問題，且計算復(fù)雜度小，計算歷時少。另外由于該算法本身沒有參數(shù)約束問題，克服了遺傳算法在交叉和變異過程中選取參數(shù)時依靠人為主觀經(jīng)驗的缺點。利用該方法在IEEE-30標準節(jié)點系統(tǒng)上進行仿真計算，并與遺傳算法對比，結(jié)果驗證了本文方法的準確性和可靠性。此方法適用于任何規(guī)模電網(wǎng)發(fā)生對稱故障和不對稱故障時的電壓暫降狀態(tài)估計。

電壓暫降狀態(tài)估計;隨機故障點法;解析法;遺傳算法;廣義逆

1 引言

隨著電力電子技術(shù)飛速發(fā)展，各種敏感、變頻設(shè)備在電力系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，電壓暫降問題現(xiàn)已成為威脅設(shè)備安全和正常穩(wěn)定運行的嚴重動態(tài)電能質(zhì)量問題。即使短時電壓暫降也可能引發(fā)敏感設(shè)備故障或停運，造成重大的經(jīng)濟損失［1］。本文主要采用電壓暫降頻次［2］作為指標來準確刻畫和估計電網(wǎng)中電壓暫降信息。

母線節(jié)點上安裝電能質(zhì)量監(jiān)測儀可直接記錄此節(jié)點發(fā)生的電壓暫降頻次，但出于經(jīng)濟性考慮，為使電網(wǎng)建設(shè)成本最小化，優(yōu)化配置后電網(wǎng)中監(jiān)測儀安裝的數(shù)量變得有限［3-6］，如何利用監(jiān)測節(jié)點發(fā)生的電壓暫降頻次來準確估計未裝監(jiān)測設(shè)備母線節(jié)點的暫降頻次，進而獲得整個電網(wǎng)的電壓暫降信息，是一項具有重要現(xiàn)實意義的研究課題［7-9］。

系統(tǒng)故障受網(wǎng)絡(luò)拓撲、故障類型、故障點、故障阻抗、變壓器接線方式等多種不確定性因素影響，增加了評估難度?，F(xiàn)有方法主要分兩類:基于實測的統(tǒng)計分析法［6，8-10］和基于隨機建模的隨機估計法［7-9］。實測統(tǒng)計法合理的精確度需要很長的測量周期，需要安裝監(jiān)測設(shè)備，成本較高，且統(tǒng)計故障率易受天氣因素、絕緣子污穢程度以及人為因素等外界影響［11］。隨機估計法主要分臨界距離法和隨機故障點法［9］?；诖宋覈鴮W者王賓較早提出電壓暫降狀態(tài)估計方法［4］，該方法采用最小二乘法搜索故障點所在路徑，進而估計非監(jiān)測點電壓暫降幅值特征，但該方法只局限于簡單輻射性電網(wǎng)，不適用于環(huán)網(wǎng);文獻［9］采用隨機故障點法將線路故障段均一劃分得到電壓暫降狀態(tài)估計方程，但此方法獲取較高的精確度需要設(shè)置較多的故障點，計算量較大，并且對如何合理地設(shè)置故障點數(shù)目和位置至今沒有統(tǒng)一標準。本文將解析法［12，13］和隨機故障點法相結(jié)合，利用節(jié)點阻抗矩陣，根據(jù)電壓暫降幅值對傳輸線故障距離的解析式計算得到各種短路故障情況下各電壓限值對應(yīng)的臨界故障點，合理劃分線路故障區(qū)間可大量減少計算量的同時滿足評估精度的要求。

2 VSSE的基本原理

狀態(tài)估計中，通用的數(shù)學表達式為:式中，H為量測矩陣，本文和文獻［5］相似，H中每個元素表示裝有量測設(shè)備的母線節(jié)點記錄的電壓暫降頻次，暫降電壓對應(yīng)于一個預(yù)先設(shè)定的臨界電壓值;狀態(tài)變量X基于故障位置的概念，X中每個元素表示線路故障區(qū)間發(fā)生故障頻次［14］;M為量測量和狀態(tài)變量的關(guān)系矩陣;I為測量誤差，可忽略不計［8］。式(1)中相關(guān)變量矩陣具體形成闡述如下。

3 VSSE建模

首先，假設(shè)電網(wǎng)有N個節(jié)點，L條支路，監(jiān)測儀的數(shù)量設(shè)為C，顯然，本文討論的問題中C＜N。

3.1 量測矩陣H的建立

H由C個監(jiān)測儀記錄量測的電壓暫降頻次數(shù)據(jù)直接形成。通常，暫降表示故障發(fā)生時母線殘余電壓小于預(yù)先設(shè)定的臨界電壓值。若是三相不對稱故障，母線殘余電壓取其中電壓幅值最小的一相。

給定一個臨界電壓值V，得到相對應(yīng)的量測量HV。HV中每個元素表示母線殘余電壓低于臨界電壓值V時相應(yīng)的監(jiān)測儀記錄的暫降次數(shù)。因此，HV中共包含C個元素，且都為整型。

3.2 狀態(tài)變量矩陣X的建立

隨機故障點法的基本思想為:預(yù)先隨機設(shè)定系統(tǒng)中的故障點，通過計算這些故障點故障所引起的電壓暫降，來具體分析其具體的特征量信息。如圖1所示，圖中橫軸代表故障線路的百分比，t1表示預(yù)先設(shè)定的臨界電壓閾值。若故障點數(shù)選取過少，線路故障區(qū)間隨機劃為0～p1，p1～p2，p2～1，由于實際母線電壓包含在p1～p2區(qū)間內(nèi)，這對于發(fā)生在p1～p2區(qū)間故障點檢測與估計將造成不準確，進而導(dǎo)致評估結(jié)果精度變差。反之一味增加故障點數(shù)則會加大計算冗余度。如何設(shè)置故障點的位置與數(shù)目對電壓暫降狀態(tài)估計分析計算至關(guān)重要。

圖1 母線電壓實際值和估計值Fig．1 Actual and estimated bus voltage

為了合理劃分線路故障區(qū)間，可以利用解析法分析系統(tǒng)短路故障，基本原理如圖2所示。假定線路p-q上的節(jié)點r處發(fā)生故障，節(jié)點k為監(jiān)測點。

圖2 電網(wǎng)示意圖Fig．2 Schematic diagram of grid

監(jiān)測點處的電壓Ek根據(jù)疊加原理可以用故障前的電壓Ek0和節(jié)點阻抗矩陣表示:

式中，Zkr、Zkq、Zkp、Zpq分別為阻抗矩陣Z中節(jié)點k、r、p、q間的互阻抗;Zrr、Zpp、Zqq代表節(jié)點r、p、q的自阻抗;zpq代表線路p-q段的阻抗。

基于此，本文將解析法和故障點法相結(jié)合合理確定線路故障區(qū)間。如圖3所示，為簡單起見，此事例中只包含一條被監(jiān)測的母線m1和一條待估計母線m2，圖中表示系統(tǒng)中沿某條線路li發(fā)生故障時在母線m1和m2求得的殘余母線電壓的幅值。對于預(yù)先設(shè)定的電壓閾值為t1，利用上述方法推導(dǎo)得到系統(tǒng)故障時節(jié)點電壓對輸電線路故障距離的函數(shù)表達式，再對應(yīng)不同的電壓暫降臨界值得出線路上的臨界故障點，將線路li劃分為0～p1，p1～p2，p2～p3，p3～1四個區(qū)段。

圖3 線路li故障在母線m1和m2產(chǎn)生的殘余電壓Fig．3 Bus residual voltage at m1and m2with failure occurred in line li

用上述方法遍歷系統(tǒng)中所有線路L則可獲得全網(wǎng)在電壓閾值t1下線路總的故障區(qū)間P1。狀態(tài)變量矩陣X1中每個元素表示每個故障區(qū)間內(nèi)發(fā)生的故障次數(shù)。

3.3 關(guān)系矩陣M的建立

由式(1)可知，矩陣M1(對應(yīng)臨界電壓值t1)表示狀態(tài)變量矩陣X1與量測量矩陣H1之間的關(guān)系。建立M1具體步驟如下:

(1)由3.2節(jié)方法求得全網(wǎng)在電壓閾值t1下線路總的故障區(qū)間P1;

(2)根據(jù)電網(wǎng)的參數(shù)和拓撲結(jié)構(gòu)，隨機模擬發(fā)生P1個故障區(qū)間內(nèi)短路故障。

(3)分別計算出故障區(qū)間P1內(nèi)發(fā)生短路故障時在C個安裝在母線節(jié)點監(jiān)測儀記錄的母線殘余電壓。

將計算得出的電壓值與相應(yīng)的臨界電壓值比較形成關(guān)系矩陣M1。M1為二進制矩陣，M1中每個元素對應(yīng)一條被監(jiān)測母線與一個故障區(qū)間發(fā)生故障的關(guān)系，其值為1或0，即:

式中，A表示故障區(qū)間p發(fā)生故障時在監(jiān)測母線產(chǎn)生的殘余電壓低于臨界電壓值t1;B表示故障區(qū)間p發(fā)生故障時在監(jiān)測母線產(chǎn)生的殘余電壓高于臨界電壓值t1。

通過圖3，易理解M1的形成，圖中假設(shè)只有一條被監(jiān)測的母線m1，則M1為:

由于p1，p4所在故障區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障求得母線m1殘余電壓小于t1，則m1(1，1)=m1(1，4)=1，同時表示在母線m1引發(fā)電壓暫降;

同理m1(1，2)=m1(1，3)=0，因為在p2所在故障區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障求得母線m1殘余電壓大于t1，表示未引發(fā)母線m1電壓暫降。

考慮整個電網(wǎng)所有輸電線路，新的列將被加入矩陣M1，每一列對應(yīng)線路的一個故障區(qū)間。值得注意的是，矩陣M1僅僅取決于被考慮電網(wǎng)的性質(zhì)，對于一個給定電網(wǎng)和一個給定臨界電壓值只需要估算一次。

需要說明的是，電網(wǎng)中監(jiān)測儀的安裝數(shù)量與位置會影響VSSE的精度，本文監(jiān)測儀安裝配置采用文獻［6，12］的方法，保證系統(tǒng)中任何位置發(fā)生故障至少能被一臺監(jiān)測儀測量記錄。如此，M1中每列至少包含一個非0元素，即M1行滿秩。

3.4 VSSE一般化

設(shè)定一個臨界電壓值t，則

考慮整個電網(wǎng)，VSSE一般形式為:

式中，Ht1，Ht2，…，HtT為量測量，表示在監(jiān)測母線在給定臨界電壓值t=t1，t2，…，tT時監(jiān)測儀記錄相對應(yīng)的電壓暫降頻次;Mt1，Mt2，…，MtT為臨界電壓值t =t1，t2，…，tT時相對應(yīng)的二進制關(guān)系矩陣;X為狀態(tài)變量。

式(3)可簡化寫為:

4 基于廣義逆算法求解VSSE

4.1 狀態(tài)變量X的求取

傳統(tǒng)的狀態(tài)估計方程往往是超定的，然而由于量測量不足，本文中由于監(jiān)測儀的數(shù)量少于母線節(jié)點數(shù)，即C＜N，式(7)為欠定方程或者叫病態(tài)方程。針對該問題，文獻［12］采用了整數(shù)線性規(guī)劃(ILP)的方法，但此方法求解速度較慢，文獻［15，16］分別采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(ANN)和遺傳算法(GA)通過迭代尋優(yōu)的方法求解欠定方程組，相比ILP算法提高了計算效率。但GA算法對于求解高維度、多局部極值復(fù)雜問題，在迭代的過程中可能導(dǎo)致算法陷于局部最優(yōu)的情況，在收斂速度和精度上難以達到期望要求［9］，且該方法在交叉和變異時參數(shù)的選擇目前大部分依靠主觀經(jīng)驗，這嚴重影響解的品質(zhì)?；诖吮疚膭t采用廣義逆算法［15-17］，此方法本身沒有算法參數(shù)約束問題，且相對于ILP、ANN、GA算法，該方法不需要迭代，不存在收斂性問題，由于此方法計算復(fù)雜度較小，計算歷時明顯減少，同時也適合任何復(fù)雜電網(wǎng)。

基于廣義逆算法理論，對于式(7)，易證明關(guān)系矩陣M滿足Moore-Penrose方程［9］，本文中由于優(yōu)化配置使得電網(wǎng)中任意位置發(fā)生故障至少能被一臺監(jiān)測儀所檢測，因此關(guān)系矩陣M中每列元素至少有一個非零元素，即M行滿秩，所以存在M的Moore-Penrose逆為［11］:

定理可證明方程組MX=H為欠定方程組時，解X=M+H不但是最小二乘解，而且是具有極小范數(shù)的最小二乘解，或最佳逼近解［12，16］，簡記為LNLS解。利用廣義逆算法的求解結(jié)果實質(zhì)上是滿足以下約束條件:

式中，min‖x‖_2表示狀態(tài)變量的最小二次范數(shù)。

4.2 電壓暫降頻次的估計

式中，A表示故障區(qū)間p發(fā)生故障時在未被監(jiān)測母線產(chǎn)生的殘余電壓低于臨界電壓值t;B表示故障區(qū)間p發(fā)生故障時在未被監(jiān)測母線產(chǎn)生的殘余電壓高于臨界電壓值t。

結(jié)合式(10)，則式(11)轉(zhuǎn)化為:

5 算例仿真

圖4 IEEE 30節(jié)點標準測試系統(tǒng)Fig．4 IEEE 30 nodes standard test systems

圖5 母線節(jié)點發(fā)生暫降頻次(電壓閾值設(shè)為0.7pu)Fig．5 Bus node voltage sags (voltage threshold is set to 0.7pu)

圖6 母線節(jié)點發(fā)生暫降頻次(電壓閾值設(shè)為0.9pu)Fig．6 Bus node voltage sags (voltage threshold is set to 0.9pu)

圖7 母線節(jié)點發(fā)生暫降頻次(電壓閾值設(shè)為0.8pu)Fig．7 Bus node voltage sags (voltage threshold is set to 0.8pu)

利用上述方法應(yīng)用于IEEE30節(jié)點標準測試系統(tǒng)，系統(tǒng)數(shù)據(jù)由文獻［18］提供，電網(wǎng)接線圖如圖4所示，由6個發(fā)電廠、30條母線、37條傳輸線和10臺變壓器組成。本文模擬故障為三相短路故障，不對稱故障參看文獻［15］，本文不再贅述。利用GA算法和廣義逆算法仿真結(jié)果對比如圖5～圖7所示。

圖5～圖7分別描繪電壓閾值設(shè)置為0.7pu、0.9pu、0.8pu時實際母線電壓暫降頻次和估計的暫降頻次，誤差結(jié)果見表1和表2，誤差定義為:

表1 IEEE30節(jié)點仿真結(jié)果誤差Tab．1 IEEE30 nodes simulation result error

表1和表2誤差結(jié)果表明廣義逆算法精度明顯優(yōu)于遺傳算法，利用該方法估計出平均電壓暫降頻次和實際值非常接近，其有效性和準確性顯著。表3為針對不同階數(shù)網(wǎng)絡(luò)兩種算法在Matlab中運算時間結(jié)果對比。從表3明顯可以看出，由于廣義逆算法無需迭代，計算歷時相比遺傳算法大幅度減少，比如針對IEEE-30節(jié)點電壓閾值設(shè)為0.7pu時，運用GA算法需要1087s，但通過廣義逆算法只需要9.53s的短暫時間。

表3 不同階數(shù)網(wǎng)絡(luò)運算時間對比Tab．3 Contrast of calculation time for different orders network (單位:s)

另外，注意到隨著設(shè)定電壓閾值的降低，平均誤差也隨之升高，這是由于電壓閾值設(shè)置越低，對應(yīng)監(jiān)測儀的監(jiān)測范圍隨之減小，評估結(jié)果誤差會相應(yīng)增加。

6 結(jié)論

本文提出一種電壓暫降狀態(tài)估計的新方法，將解析法和傳統(tǒng)故障點法相結(jié)合得到電壓暫降狀態(tài)估計方程，并利用廣義逆算法有效求解該欠定方程組。利用該方法在IEEE30標準測試系統(tǒng)中仿真測試，并與遺傳算法對比，結(jié)果表明本文所提方法的可靠性和準確性。另外針對不同網(wǎng)絡(luò)階數(shù)在Matlab仿真求得GA算法和廣義逆算法運算時間對比，結(jié)果表明廣義逆算法計算歷時明顯小于遺傳算法。值得注意的一點是，在形成關(guān)系矩陣時維數(shù)相對較大且未考慮故障傳播時變壓器設(shè)備及保護裝置的投切等因素對電壓暫降的影響，可能在一定程度上會影響實際結(jié)果的準確性。

［1］李妍，余欣梅，熊信艮，等(Li Yan，Yu Xinmei，Xiong Xinyen，et al．)．電力系統(tǒng)電壓暫降分析計算方法綜述(Voltage sag analysismethod to calculate the electric power system)［J］．電網(wǎng)技術(shù)(Power System Technology)，2004，28(14):74-78．

［2］IEEE Standard 1564-2003，The IEEE voltage sags indices［S］．

［3］G Olguin，F(xiàn) Vuinovich，M H JBollen．An optimalmonitoring program for obtaining voltage sag system indexes［J］．IEEE Transactions on Power Systems，2006，21 (1):378-384．

［4］代曉倩，楊洪耕，蔡維(Dai Xiaoqian，Yang Honggeng，CaiWei)．一種考慮電壓暫降分布域的電能質(zhì)量監(jiān)測儀的優(yōu)化配置方法(Consider a voltage sag distribution domain of the optimal allocation of power quality monitor method)［J］．電力科學與工程(Electric Power Science and Engineering)，2011，27(2):6-12．

［5］E Espinosa-Juarez，A Hernánde Z，G Olguin．An approach based on analytical expressions for optimal location of voltage sagmonitors［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2009，24(4):2034-2042．

［6］呂偉，田立軍(Lv Wei，Tian Lijun)．基于凹陷域分析的電壓暫降監(jiān)測點優(yōu)化配置(Optimal allocation of voltage sagmonitoring based on exposed area analysis)［J］．電力自動化設(shè)備(Electric Power Automation Equipment)，2012，32(6):45-50．

［7］BWang，W Xu，Z Pan．Voltage sag state estimation for power distribution systems［J］．IEEE Transactions on Power Systems，2005，20(2):806-812．

［8］E EspinosaJuárez，A Hernández．A method for voltagesag state estimation in power systems［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2007，22(4):2517-2526．

［9］M R Qader，M H JBollen．Stochastic prediction of voltage sags in a large transmission system［J］．IEEE Transactions on Industry Applications，1999，35(1):152-162．

［10］JV Milanovic，M T Aung，C PGupta．The influence of fault distribution on stochastic prediction of voltage sags［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2005，20 (1):278-285．

［11］Park CH，Jang G，Thomas R．The influence of generator scheduling and time-varying fault rates on voltage sag prediction［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2008，23(2):1243-1250．

［12］E Espinosa，A Hernández．An analytical approach for stochastic assessment of balanced and unbalanced voltage sags in large systems［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2006，21(3):1493-1500．

［13］封磊，蔡創(chuàng)，齊春，等(Feng Lei，Cai Chuang，Qi Chun，et al．)．PSO和GA的對比及其混合算法的研究進展(The contrast of PSO and GA and their research progress of hybrid algorithm)［J］．控制工程(Control Engineering of China)，2005，5(12):89-92．

［14］E EspinosaJuárez，A Hernández．Voltage sag state estimation:An approach based on the concept of fault positions［A］．International Conference on Power Quality［C］．Cascais，Portugal，2006．3-9．

［15］王松桂，楊振海(Wang Songgui，Yang Zhenhai)．廣義逆矩陣及其應(yīng)用(Generalized inversematrix and its application)［M］．北京:北京工業(yè)大學出版社(Beijing: Beijing University of Technology Press)，1996.178-181．

［16］尹釗，賈尚暉(Yin Zhao，Jia Shanghui)．Moore-Penrose廣義逆矩陣與線性方程組的解(Moore-Penrose generalized inversematrix and the solution of linear equations)［J］．數(shù)學的實踐與認識(Mathematics in Practice and Theory)，2009，39(9):239-244．

［17］楊桂元(Yang Guiyuan)．廣義逆矩陣的應(yīng)用(Application of generalized inversematrix)［M］．北京:高等教育出版社(Beijing:Higher Education Press)，2007. 198-204．

［18］Maeda A，Kaya Y．Game theory approach to use of noncommercial power plants under time-of-use pricing［J］．IEEE Transactions on Power Systems，1992，7(3):18-19．

M ethod of voltage sag state estimation based on generalized inversematrix

WANG Jia-xing，YANG Hong-geng，WANG Ze，HAN Fei
(School of Electrical and Information，Sichuan University，Chengdu 610065，China)

A new method of voltage sag state estimation based on the generalized inverse algorithm is presented in this paper．To combine traditional stochastic fault pointmethod and analyticmethod，voltage state estimation equation is obtained．And itovercomes the blindness of traditional stochastic fault pointmethod to select fault point location with a decrease in the amount of calculation and evaluation aswell as guaranteeing the accuracy of the estimation．And by using the generalized inverse algorithm to solve the underdetermined equations accurately and reliably，relative to the integer linear programming and genetic algorithm，the method needs no iteration，and there is no convergent problem，so itneeds less time to calculate．In addition，because the algorithm itself has no parameter constraint problem，it overcomes the shortcomings of selecting genetic algorithm parameters in the process of crossover and mutation depending on human experience．The proposed estimation method has been validated by using the IEEE 30 test system and the results obtained have been very satisfactory．The proposed method is applicable to voltage sag state estimation in any size gridswhen symmetric and asymmetric faults occur．

voltage sag state estimation;stochastic fault pointmethod;analyticalmethod;genetic algorithm;generalized inverse

TM743

A

1003-3076(2015)04-0018-06

2014-02-18

王佳興(1989-)，男，四川籍，碩士研究生，主要研究方向為電能質(zhì)量分析與控制、電壓暫降狀態(tài)估計;楊洪耕(1949-)，男，四川籍，教授/博導(dǎo)，從事電能質(zhì)量分析與控制、區(qū)域電壓無功控制等方面的研究與教學工作。