蔣建平

[摘要]就學(xué)生而言，解題的疑惑點(diǎn)在哪里？是因不理解而“疑惑”，是因?yàn)閷?duì)概念的深化考查而“疑惑”，還是學(xué)生因定型的技能無法突破其慣性思維而“疑惑”？作為教師，我們面對(duì)學(xué)生提出的疑惑，應(yīng)思考：如何面對(duì)疑惑；如何引導(dǎo)學(xué)生走出疑惑.

[關(guān)鍵詞]拋物線橢圓圓判別式

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）290044

《高考考試大綱說明》中明確指出：“對(duì)于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個(gè)二次曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的問題（兩圓的交點(diǎn)除外）.”但是我們?cè)诮鉀Q某些問題時(shí)，難免會(huì)遇到兩個(gè)二次曲線相切或相交的問題，所以作為教師，我們首先應(yīng)該讓學(xué)生理解：兩個(gè)二次曲線消元后，得到的方程的判別式與交點(diǎn)個(gè)數(shù)不等價(jià).其次，有些問題涉及兩個(gè)二次曲線所討論和研究的往往并不局限于交點(diǎn)問題.所以，我們?cè)谔骄啃碌膯栴}時(shí)，一定要做好等價(jià)轉(zhuǎn)化工作和轉(zhuǎn)化后的補(bǔ)充工作.例如，在考查二次曲線的某些參量之間的關(guān)系時(shí)，涉及的參量較多，問題往往顯得復(fù)雜，這時(shí)我們應(yīng)該冷靜地分析問題的本質(zhì)，將問題逐步轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題.轉(zhuǎn)化的過程中一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.總之，面對(duì)因陌生、不熟悉或思維定式遇見的疑惑時(shí)，要理清思路，順藤摸瓜，分析好問題的本質(zhì)，做好等價(jià)轉(zhuǎn)化工作，從而解決疑惑.

我結(jié)合一次高考模擬試題講評(píng)的經(jīng)歷，談一談如何利用學(xué)生解題中的疑惑點(diǎn)，做好解題引導(dǎo)和解題探究.

但是由拋物線和橢圓的對(duì)稱性可知：x1=x2>0，顯然與x1x2=-4<0矛盾.

作為教師，我在解決問題的教學(xué)過程中，由于思維定式，直接應(yīng)用了焦半徑公式，沒有過多去想二次曲線交點(diǎn)的問題.但是在試卷中、課堂中，有一個(gè)聲音提出了這樣的疑惑，我很高興.因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中敢于提出自己的疑惑.

學(xué)生的疑惑：為什么此時(shí)的韋達(dá)定理不成立？

學(xué)生討論：同學(xué)們受思維定式的影響，沒有跳出已有的思維框架.

在學(xué)生遇到疑惑時(shí)，教師如何引導(dǎo)學(xué)生走出疑惑呢？我的做法具體如下.

第一，分析解法.首先，我肯定了學(xué)生的解題思想.因?yàn)閷W(xué)生是聯(lián)想了直線與圓錐曲線的關(guān)系來解決本題，從方法上、思維習(xí)慣上符合解決問題的思維.但是，為什么在轉(zhuǎn)化的過程中出現(xiàn)了問題呢？是韋達(dá)定理真的不成立嗎？

第二，分析問題.我引導(dǎo)學(xué)生分析問題出現(xiàn)的原因.我們?cè)谔幚泶藛栴}時(shí)，是通過聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，那么問題是否出現(xiàn)在轉(zhuǎn)化的等價(jià)性上？

接下來，我和學(xué)生一起分析我們的轉(zhuǎn)化是否是等價(jià)轉(zhuǎn)化.等價(jià)轉(zhuǎn)化是一個(gè)充分必要條件，我們需要檢查解題時(shí)是否忽略了一些條件.首先，我們一起研究了問題的一些隱含條件.我們?cè)诼?lián)立方程的過程中，忽視了一個(gè)重要的隱含條件：x≥0.所以我們的轉(zhuǎn)化是不等價(jià)的，導(dǎo)致后面的韋達(dá)定理不成立.也就是說，雙二次曲線的問題中判別式的符號(hào)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)并不完全等價(jià)，根的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)不完全等價(jià).而且我們通過拋物線和橢圓的對(duì)稱性可知：x1=x2>0，所以曲線的兩個(gè)交點(diǎn)實(shí)際上只是等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程的一個(gè)正根.所以在聯(lián)立方程后，我們只需要保證其方程有一個(gè)正根，就可以保證其對(duì)應(yīng)兩個(gè)二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，另外一個(gè)根是增根，是不滿足題意的.

通過以上分析，我們得知在將兩個(gè)二次曲線交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題時(shí)，其等價(jià)性不滿足.但是我們可以通過圖形結(jié)合補(bǔ)充轉(zhuǎn)化為等價(jià)性問題來解決.通過師生的共同分析，學(xué)生的疑惑成功得以解決，而且解題探究教學(xué)得以順利開展.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，二次曲線相交的關(guān)系中有如下幾種：橢圓與拋物線、橢圓與雙曲線、拋物線與雙曲線、雙曲線與圓、圓與橢圓、圓與拋物線.為了使學(xué)生有一個(gè)更加直觀、形象的理解，我通過圓與拋物線的一個(gè)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生一起探究雙二次曲線的問題中判別式的符號(hào)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系、方程的根與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系.

【例2】如圖2，討論圓C1：（x-a）2+y2=22與拋物線C2：y2=2x的位置關(guān)系.

解：如圖2，圓C1：（x-a）2+y2=22是以（a，0）為圓心，2為半徑的圓，從圖2不難發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)a<-2時(shí)，圓與拋物線無公共點(diǎn)；

（2）當(dāng)a=-2時(shí)，圓與拋物線相切；

（3）當(dāng)-2

（4）當(dāng)a≥2時(shí)，圓與拋物線的關(guān)系則很難從圖形上加以判斷.

為此，我們需借助方程組

（x-a）2+y2=4y2=2x

的解的個(gè)數(shù)來加以說明.

把y2=2x代入（x-a）2+y2=22，整理得：x2+2（1-a）x+a2-4=0（※）.

此方程的判別式為Δ=20-8a.

當(dāng)a=52時(shí)，Δ=0；

當(dāng)a>52時(shí)，Δ<0；

當(dāng)a<52時(shí)，Δ>0.

則當(dāng)a=52時(shí)，圓與拋物線相切；

當(dāng)a>52時(shí)，圓與拋物線無公共點(diǎn)；

當(dāng)a<52時(shí)，雖然有方程（※）的Δ>0，但圓與拋物線并不總有公共點(diǎn)，即判別式與方程組解的個(gè)數(shù)不等價(jià).

原因分析：方程組在轉(zhuǎn)化為方程（※）的過程中，忽略了條件x≥0.事實(shí)上，方程組解的個(gè)數(shù)等于方程（※）的非負(fù)解的個(gè)數(shù)，而非負(fù)解的個(gè)數(shù)和交點(diǎn)個(gè)數(shù)不是一對(duì)一的關(guān)系，而是一對(duì)一或一對(duì)二的關(guān)系.

綜上所述，圓C1：（x-a）2+y2=22與拋物線C2：y2=2x的位置關(guān)系如下：

①當(dāng)a<-2或a>52時(shí)，圓與拋物線無公共點(diǎn)；

②當(dāng)a=-2時(shí)，圓與拋物線相切（只有一個(gè)公共點(diǎn)）；

③當(dāng)-2

④當(dāng)a=2時(shí)，圓與拋物線相交（三個(gè)公共點(diǎn)）；

⑤當(dāng)2

⑥當(dāng)a=52時(shí)，圓與拋物線相切（兩個(gè)公共點(diǎn)）.

我們可以利用類似的方法研究橢圓與拋物線、拋物線與雙曲線、橢圓與雙曲線、雙曲線與圓、圓與橢圓的交點(diǎn)和方程解的關(guān)系.通過實(shí)例，我們得出結(jié)論：雙二次曲線交點(diǎn)的問題中，判別式的符號(hào)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)并不完全等價(jià).

著名的數(shù)學(xué)家莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)研究過的問題.”數(shù)學(xué)問題的求解過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化過程.

通過本節(jié)課，我深刻地意識(shí)到，面對(duì)學(xué)生的問題時(shí)，我們應(yīng)該站在數(shù)學(xué)思想的高度去給學(xué)生做好思考的引導(dǎo)，同時(shí)，做好教學(xué)的解題研究.由此可見，教學(xué)永遠(yuǎn)是一個(gè)互動(dòng)的藝術(shù)，是一個(gè)相互促進(jìn)的過程，教是為了更好地學(xué)，學(xué)也是為了更好地教.

[參考文獻(xiàn)]

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[2]殷玉波.“轉(zhuǎn)化與化歸思想”教學(xué)設(shè)計(jì)示例之二[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1-2）.

[3]王文英，楊平，王樹文.利用學(xué)生解題時(shí)的糾結(jié)點(diǎn)，做好解題教學(xué)——一節(jié)習(xí)題課的經(jīng)歷[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1-2）.

[4]羅曾儒.一個(gè)最大值問題的教學(xué)分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1-2）.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）