姚盛貴　黃瓊　馬百萬　黃薪達(dá)

[摘要]主要闡述在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美，重點(diǎn)研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美的途徑.

[關(guān)鍵詞]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)美中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）290003

一、引言

當(dāng)前，我國(guó)新一輪的基礎(chǔ)教育課程改革正在深入推進(jìn)，數(shù)學(xué)的人文價(jià)值更明顯地凸現(xiàn)出來，數(shù)學(xué)文化觀的理論逐漸引起了人們的重視，許多學(xué)者參與了有關(guān)數(shù)學(xué)文化的研究和討論，從文化這個(gè)特殊的視角對(duì)數(shù)學(xué)作出分析，并發(fā)表了很多相關(guān)的論文與專著.但這些研究成果相對(duì)集中在理論領(lǐng)域，而對(duì)于數(shù)學(xué)文化在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透缺乏實(shí)踐性的指導(dǎo).對(duì)數(shù)學(xué)美的實(shí)踐性研究大多停留在研究數(shù)學(xué)的直觀和具體美上，對(duì)它抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、深沉、冷峻、含蓄且理智的美缺乏深入研究.本文對(duì)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美進(jìn)行了深入研究.

二、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美的意義

數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)緊密相連，不可分割.如果把數(shù)學(xué)比擬為一個(gè)人，那么其專業(yè)知識(shí)就好比人的骨架，所蘊(yùn)含的文化好比人的肌肉，其蘊(yùn)含的美好比人的血液.一個(gè)人不僅要有骨架，還要有肌肉和血液，這樣才能成一個(gè)鮮活、有靈氣的人.所以數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的內(nèi)容.

追尋數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)足跡，可以了解數(shù)學(xué)先輩們刻苦鉆研的作風(fēng)和富有啟發(fā)性的治學(xué)經(jīng)驗(yàn)與崇高的思想品德.它們是數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、激勵(lì)學(xué)習(xí)積極性、學(xué)習(xí)科學(xué)方法和弘揚(yáng)民族精神的思想養(yǎng)料.可以激勵(lì)學(xué)生勇攀科學(xué)高峰，養(yǎng)成尊重科學(xué)發(fā)展的規(guī)律以及求實(shí)、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習(xí)慣和鍥而不舍地追求真理的科學(xué)精神.

展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景以及數(shù)學(xué)概念的形成發(fā)展過程和數(shù)學(xué)定理的提出過程，能引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，可以追根溯源，開闊眼界，有助于全面深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和文化素養(yǎng).

介紹數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的現(xiàn)代應(yīng)用，展示數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、交叉科學(xué)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和社會(huì)需要.糾正其觀念中數(shù)學(xué)最主要的作用是為了計(jì)算和考試等的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造欲望，從而變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí).

欣賞、體味數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、奇異美，可大大改變目前數(shù)學(xué)課枯燥乏味的現(xiàn)狀，讓學(xué)生學(xué)得情趣盎然，在得到美的享受、思維的啟迪和素質(zhì)陶冶的同時(shí)提高他們的數(shù)學(xué)審美能力，促進(jìn)學(xué)生人格個(gè)性、情感體驗(yàn)的全面和諧發(fā)展.

三、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美的理論基礎(chǔ)

荷蘭數(shù)學(xué)教育理論家弗賴登塔爾的基本觀點(diǎn)主要有：（1）數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí).數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，而且每個(gè)學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).（2）數(shù)學(xué)教育的過程是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”和“形式化”的過程.形式化是數(shù)學(xué)教育的特征.數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留在直觀和操作的水平，必須發(fā)展到“形式化”階段.（3）學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)“再創(chuàng)造”的過程.學(xué)生不是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是在創(chuàng)造，把前人已經(jīng)創(chuàng)造過的數(shù)學(xué)知識(shí)重新創(chuàng)造一遍.

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，能夠熏陶學(xué)生的思維，使學(xué)生從事物的數(shù)量和空間形式的層面去認(rèn)識(shí)世界，分析各種現(xiàn)象和問題，用數(shù)學(xué)的語言去表述、交流，進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，即以“數(shù)學(xué)的頭腦”看待、解決問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而吸引學(xué)生自主性地參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，促使學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流，獲得想要的數(shù)學(xué)知識(shí).

四、當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美的現(xiàn)狀與問題分析數(shù)學(xué)文化已逐步走進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂，但我們看到，現(xiàn)在的教學(xué)實(shí)踐仍然只過分地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的工具作用，弱化數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，忽視數(shù)學(xué)對(duì)其他學(xué)科的影響，

使得數(shù)學(xué)長(zhǎng)期以來成了一種看不見的文化.目前，學(xué)校滲透數(shù)學(xué)文化的方式一般只開展數(shù)學(xué)史的介紹，教師以一兩句話來介紹某個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展階段，相互之間沒有挖掘任何聯(lián)系，也沒有與教材內(nèi)容相結(jié)合.形式單一，缺乏趣味性、系統(tǒng)性與實(shí)踐性，是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的現(xiàn)狀.導(dǎo)致此現(xiàn)狀的原因何在？筆者認(rèn)為主要有以下幾點(diǎn).

1.功利性的教學(xué)目標(biāo).在中考的指揮鞭下，學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)仍以貫徹“數(shù)學(xué)雙基”為教學(xué)目標(biāo)，以提高升學(xué)率為主要任務(wù).于是，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一般采用講授法進(jìn)行，教師更注重學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，在有限的課堂時(shí)間內(nèi)灌輸更多的數(shù)學(xué)結(jié)論，做更多的練習(xí)，忽略了數(shù)學(xué)文化的滲透.其實(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人為目標(biāo)，而不是培養(yǎng)機(jī)械計(jì)算的工具.這樣，滲透數(shù)學(xué)文化所起的作用就不可忽視了.

2.單一的評(píng)價(jià)體系.考試是當(dāng)前中學(xué)教學(xué)唯一的評(píng)價(jià)體系，而書面考試只能從某種程度上考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用，卻無法全面考查學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也不能全面反映一個(gè)教師的教學(xué)水平.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)價(jià)體系應(yīng)當(dāng)多樣化，既重結(jié)果又重過程，更要重視影響教學(xué)過程和結(jié)果的各方面因素.正確的評(píng)價(jià)體系應(yīng)包括四個(gè)方面：對(duì)課程教材的評(píng)價(jià)、對(duì)教學(xué)過程的評(píng)價(jià)、對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)表現(xiàn)（主要是指學(xué)生數(shù)學(xué)思維）的評(píng)價(jià)以及對(duì)學(xué)生在社會(huì)上適應(yīng)度的評(píng)價(jià).

3.孤立的學(xué)科建設(shè).中學(xué)各門課程都是相對(duì)孤立地進(jìn)行教學(xué)，各門課程往往都只注重形成學(xué)科內(nèi)的知識(shí)體系而忽略學(xué)科間的知識(shí)聯(lián)系，比如向量，在學(xué)習(xí)向量時(shí)，學(xué)生對(duì)向量的概念很難理解，很多教師在教學(xué)中往往沒有解釋其與物理力學(xué)的聯(lián)系.如果能從物理力學(xué)方面去理解，建立物理與數(shù)學(xué)學(xué)科的聯(lián)系，那么向量概念的理解就容易多了.

五、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美的途徑

（一）數(shù)學(xué)美的滲透

數(shù)學(xué)美的主要內(nèi)容為和諧性、簡(jiǎn)單性和奇異性.正如英國(guó)著名哲學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)不但擁有真理，而且有至高的美.”數(shù)學(xué)的美不像自然美、藝術(shù)美那么鮮明、亮麗與瀟灑，也不像其他社會(huì)美那么直觀和具體.它抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、深沉、冷峻而含蓄，是一種理智的美.下面我們將從數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)解題中說明數(shù)學(xué)美的體現(xiàn).

1.數(shù)學(xué)的語言美

數(shù)學(xué)語言應(yīng)當(dāng)是準(zhǔn)確、嚴(yán)密和簡(jiǎn)潔的，它屬于數(shù)學(xué)美和諧性和簡(jiǎn)單性的一部分.一般來說，數(shù)學(xué)的概念、定理、法則的本身就是嚴(yán)密而準(zhǔn)確的.教師在講述這些內(nèi)容時(shí)，要準(zhǔn)確地闡明概念的內(nèi)涵和外延，定理的條件和結(jié)論、法則的內(nèi)容和適用范圍.既不擴(kuò)大，也不縮小，讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)語言是嚴(yán)謹(jǐn)而精密的，多一分、少一分都會(huì)從真理變?yōu)橹囌`，從而體會(huì)到“恰到好處”的美感.[4]

例如，高一上冊(cè)指數(shù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，“一般的，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)”，這概念里對(duì)a的取值范圍進(jìn)行了限制，那么a≤0和a=0的情況如何呢？教師要進(jìn)一步解釋a≤0和a=0的情況.如果a=0，當(dāng)x>0時(shí)，ax恒等于0，當(dāng)x≤0時(shí)，ax無意義；如果a<0，當(dāng)x取1/2，1/4…時(shí)，ax不存在；如果a=1，ax是一個(gè)常數(shù)1，對(duì)它沒有研究的必要.這樣，經(jīng)過教師的講解，學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密與準(zhǔn)確的內(nèi)在美.概念中的一些限制，都是有根據(jù)的，不是隨便捏造的.

又如，高一上冊(cè)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，“設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A”，教師在講課時(shí)對(duì)“非空”、“任意”和“唯一”這些詞進(jìn)行解釋，“非空”，即A、B如果有一個(gè)為空集，就沒有研究意義；“任意”，說明A中每一個(gè)數(shù)在B中都有數(shù)和它對(duì)應(yīng)，且對(duì)應(yīng)是“唯一”的；“唯一”的意思是A中每一個(gè)數(shù)與B中數(shù)對(duì)應(yīng)的只有一個(gè)，但可以相同.通過解釋（如果能適當(dāng)?shù)嘏e些例子解釋這些詞更好），讓學(xué)生在不知不覺中體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密美.[5]

數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確美在數(shù)學(xué)概念上也有充分的體現(xiàn)，有些概念只相差一個(gè)字，但它的意義卻完全不一樣.例如，高一上冊(cè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，“如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.”“如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.”這兩個(gè)概念只有“差”與“比”這兩個(gè)字不同，但意義卻完全不一樣.另外，橢圓和雙曲線的定義只差幾個(gè)字，表達(dá)的意義卻完全不一樣，如：“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓”“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線”.兩定義只有少數(shù)幾個(gè)字不同，其意義卻完全不一樣.

數(shù)學(xué)語言應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)潔的，它屬于數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)單性.例如，高二上冊(cè)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)結(jié)論，用一個(gè)簡(jiǎn)單的方程表示橢圓，推導(dǎo)過程如下：

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c>0），那么，焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（-c，0）、（c，0）.又設(shè)M與F1和F2的距離的和等于常數(shù)2a.

由橢圓的定義知，橢圓上的點(diǎn)就是集合.

這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

講解完這個(gè)證明過程，學(xué)生會(huì)在心里感嘆，用一條數(shù)學(xué)式子表示橢圓圖形，多么簡(jiǎn)潔呀！

2.數(shù)學(xué)的解題美

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)興趣，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)解題中注入數(shù)學(xué)美的觀點(diǎn)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)美在解題中的作用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)審美能力的有效途徑.下面突出介紹數(shù)學(xué)解題中的奇異美，它屬于數(shù)學(xué)美的奇異性.

在數(shù)學(xué)解題中，奇異美閃耀的光芒最燦爛.除奇異美外，我們還可以看到它的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、相似美與和諧美.

（二）數(shù)學(xué)文化的滲透

1.追尋數(shù)學(xué)家成長(zhǎng)的足跡

我們可以通過班會(huì)，用講故事的形式來理解數(shù)學(xué)文化，如果條件許可，也可以用其他途徑.當(dāng)學(xué)到高二下冊(cè)多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)時(shí)，我們可以開個(gè)班會(huì)學(xué)習(xí)歐拉事跡.

牛頓、歐拉和高斯是近代以來公認(rèn)的3位最偉大的數(shù)學(xué)家.歐拉生前發(fā)表的著作與論文有560余種，死后留下了大量手稿.歐拉自己說他未發(fā)表的論文足夠彼得堡科學(xué)院用上20年，結(jié)果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科學(xué)院院報(bào)上還在刊登他的遺作.歐拉平均每天就要寫約1.5頁(yè)大四開紙的東西，而歐拉還有不少手稿在1771年彼得堡大火中化為灰燼.歐拉28歲時(shí)，因計(jì)算彗星的軌跡這一天文學(xué)難題勞累成疾，致使右眼失明.在他近60歲時(shí)，他的左眼又失明了.在64歲時(shí)，一場(chǎng)火災(zāi)又把他的全部藏書和研究成果化為灰燼，但是天災(zāi)人禍壓不倒科學(xué)巨星.歐拉從頭做起，在雙目失明長(zhǎng)達(dá)17年的時(shí)間里，他仍寫了400多篇論文和多部專門著作，這幾乎占他全部著作的半數(shù)以上.

通過學(xué)習(xí)歐拉的事跡，學(xué)生不僅了解到歐拉成就的輝煌，而且感受到他精神的偉大.在學(xué)生的內(nèi)心深處會(huì)滋生出崇敬之情，并以之勉勵(lì)自己.

2.介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)代應(yīng)用

有些學(xué)生在學(xué)過三角函數(shù)后，仍然不清楚三角函數(shù)有什么用處，所以學(xué)習(xí)起來很被動(dòng).如果我們講一些三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用讓學(xué)生了解，舉用三角函數(shù)計(jì)算物體（建筑、樹木等）的高度的應(yīng)用等，就可使學(xué)生逐漸養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中問題的習(xí)慣.

3.展示數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、交叉科學(xué)之間的聯(lián)系

高中生往往覺得向量的概念難以理解，對(duì)向量的運(yùn)算法則感到莫名其妙.所以在學(xué)習(xí)向量及其運(yùn)算法則時(shí)，可多舉些物理方面的例子讓學(xué)生去理解.

例如，求小船的位移，小船由A地向西北方向航行15海里到達(dá)B地.如果僅指出“由A地航行15海里”，而不指明“向西北方向”航行，那么小船就不一定到達(dá)B地了.這就是說，位移是一個(gè)既有大小又有方向的量，這種量就是我們所要研究的向量.力也是向量，它有大小和方向.在學(xué)習(xí)向量加法的平行四邊形法則時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從力與合力方面去理解.

4.展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景及數(shù)學(xué)概念的形成、發(fā)展過程和數(shù)學(xué)定理的提出過程

當(dāng)上到高二下冊(cè)的概率時(shí)，如果展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景以及數(shù)學(xué)概念的形成、發(fā)展過程和數(shù)學(xué)定理的提出過程，那么學(xué)生對(duì)概率的理解會(huì)更深刻，學(xué)起來會(huì)更容易.

六、結(jié)束語

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美，就好比人有了血與肉.我們不僅要研究在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美的理論知識(shí)，而且要把它付諸實(shí)踐，使之成為真正有用的數(shù)學(xué).這是教學(xué)改革中一個(gè)非常重要的問題，希望得到社會(huì)的普遍關(guān)注和大力支持.

[參考文獻(xiàn)]

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（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）