【摘要】本文通過建立數(shù)學模型，重點分析和研究了當平面角的兩邊與投影面均處于一般位置或雖有一邊平行于投影面但不是直角時，其空間平面角與投影角之間的大小變化規(guī)律，為深入研究各種位置、各種大小的平面角在投影面上的投影與空間真實大小之間的關(guān)系提供了借鑒。

【關(guān)鍵詞】平面角 ?投影分析

【中圖分類號】TH12 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）11-0109-02

相交兩直線所構(gòu)成的夾角稱為平面角。根據(jù)兩直線與投影面所處的相對位置或兩直線夾角的大小不同，其投影的大小也不同，可能大于、小于空間平面角，也可能等于空間平面角。從初等畫法幾何我們已經(jīng)知道，當空間兩相交直線均平行于某一投影面時，在該投影面上的投影角等于空間平面角;當兩直線相交成直角，且其中有一條直線平行于某一投影面時，在該投影面上的投影角也是直角，即等于空間平面角[1]。那么當空間兩直線與投影面處于一般位置時，其平面角與投影角之間又有怎樣的關(guān)系，這就需要進行深入的分析和研究。

1.數(shù)學模型的建立

如圖1所示，∠AOB為任意空間平面角，其中A、B分別為角的兩邊與H面的交點，∠aob為其在H面上的投影。為方便研究平面角的投影規(guī)律，我們先利用余弦定理建立平面角和其投影之間的數(shù)學模型。

為簡化模型，設∠AOB=θ1，∠aob=θ，OA=R0，OB=r0，oa=R，ob=r，Oo=h。在△AOB中，AB2=r20+R20-2rRcosθ，在△aob中，ab2=r2+R2-2rRcosθ。

圖1

因為，AB=ab所以r20+R20-2r■R■cosθ■=r2+R2-2rRcosθ ?（1）

在△AoO中，R20=h2+R2 ? （2）

在△BoO中， r20=h2+r2 ? ? （3）

將（2）式和（3）式代入（1）式進行整理，便可得出θ1和θ之間的數(shù)學模型。

cosθ1=? ?（4）

2.平面角的投影分析

2.1平面角為銳角

當平面角為銳角時，cosθ1和cosθ均為正值。如要求θ1=θ，則由（4）式可得：

（h2+R2）（h2+r2）cos2θ=（h2+rRcosθ）2

=[h4+h2（R2+r2）+r2R2]cos2θ=h4+2h2rRcosθ+r2R2cos2θ

（R2+r2）cos2θ-2rRcosθ

=h2（1-cos2θ）=h2sin2θ

h=? ? ? （5）

上式即為h與r、R的關(guān)系式，它表明，任一由兩向下傾斜直線所組成的一般位置平面角θ1（銳角），當h值滿足（5）式時，空間角θ1等于其投影角θ。

將（5）式代入（2）、（3）式得：

R20=■;r20=■

即R01=，R02=? （6）

r01=，r02?（7）

但（5）式中，根式必為實數(shù)，可見r及R的值還必須滿足以下條件：

（r2+R2）cos2θ-2rRcosθ≥0 ? ? （8）

當上式等于零時可求得：

r2cos2θ+R2cos2θ-2rRcosθ=0

即（rcosθ-R2）2-R2sin2θ=0

rcosθ=R（1±sinθ）

=

因此（8）式可寫成：

--≥0

要滿足（8）式，有以下兩種情況。

（1）≥以及≥

在θ為銳角的情況下，滿足前式必滿足后式;

（2）≤以及≤

在θ為銳角的情況下，滿足后式必滿足前式;

因此，要使θ1=θ，值還必須滿足下列不等式：

≤或≥?（9）

即不等式（9）為任一由兩向下傾斜直線所組成的一般位置平面角（銳角）等于其投影角θ的必要條件。當R值給定，且值滿足不等式（9）時，便可由（5）式求得h值的唯一解，這時θ1=θ。若h為其它值，或值不滿足（9）式的條件時，θ1≠θ，該θ1值可由（4）求出。

2.2平面角為鈍角

當平面角為鈍角時，cosθ1及cosθ均為負值，若要滿足（4）要求，則θ1≠θ，且θ1<θ。

圖2

如圖2所示，即∠AOB<∠aob，這說明當平面角為鈍角時，且其兩邊都向下傾斜時，空間角必小于投影角?，F(xiàn)延長AO至C，即使其一邊向上，這時，∠COB=180°-∠AOB，是一個銳角。由于∠AOB<∠aob，則∠COB>∠cob，這就說明，若平面角為銳角，且兩邊之一向上傾斜時，則空間角必大于投影角。當平面角為鈍角時，要使其與投影角相等，則可使該鈍角的補角——銳角的兩邊都向下傾斜且滿足式（5）、（9）。由以上分析可知，當平面角為鈍角時，要使其與投影角相等，除滿足式（5）、（9）外，角的一邊必定向上傾斜。

根據(jù)上述分析，可得出空間一般位置平面角等于其投影角的一般規(guī)律。

要使由兩向下（或向上）傾斜直線所組成的空間一般位置平面角θ1（0°<θ1<90°）等于其投影角θ，必須使其角頂?shù)耐队包c到其兩邊與該投影面交點的距離r及R值之比滿足不等式：

<或>

其角頂?shù)酵队懊嬷啵?/p>

h=

當90°<θ1<180°，若其補角（180-θ1）滿足上述條件時，θ1=θ亦成立。

2.3 h值的變化對空間角θ1的影響

當R及值給定且滿足（9）式，便可得值h，使θ1=θ（0°<θ1<90°）。此時，若h值任意給定，則θ1≠θ。H值的變化對θ1值的影響可從圖3進行分析。

圖3

設位于H面內(nèi)的AB線為一水平軸，將θ1角頂點O'0繞AB軸旋轉(zhuǎn)至H面上得到O0，則∠AO0B反映θ1角的真實大小。不管h值如何變化，O'0、O'1…點旋轉(zhuǎn)到H面上時，始終位于過O點且垂直于AB的直線OE上?，F(xiàn)設O'0O=h，，滿足（5）式要求，使θ1=θ，即∠AO0B=∠AOB，此時，A、B、O、O0四點共圓，如圖4所示。

圖4

當h1=O'0O>h時，θ2角頂O'1旋轉(zhuǎn)至H面上時，將位于圓周外，如圖4中的O1所示。由于∠BCA=θ=θ2+∠CAO1，因此θ2<θ。這表明，當h值變大時空間角θ2將小于投影角θ。

當h2=O'2Oθ。即當h值變小時，空間θ3角將大于投影角θ[2]。

3.幾種特殊情況下的平面角的投影

3.1平面角的一邊平行于投影面

如圖7所示，空間平面銳角∠CKA=θA，其一邊CK∥H面，其在H面上的投影角為∠cka=θa。

圖7

過A點作AL⊥CK，則al⊥ck。由于tgθA=，tgθa=，而LK=lk，al=ALcos？琢（？琢為AL對面的傾角）。所以，al

如將一邊延長，則∠CKB=∠θB為一鈍角，其投影角為θb，由于θA+θB=θa+θb=180°，θa<θA，則θb>θB，即投影鈍角大于空間平面鈍角。由此可得出結(jié)論，當相交兩直線所成的平面角為銳角或鈍角，其中角的一邊平行于某一投影面時，則其投影仍為銳角或鈍角，但投影的銳角較空間的平面銳角為小，投影的鈍角較空間的平面鈍角為大。

如將CK邊在過CD的鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動至C1K的位置，即C1K向上傾斜，顯然∠C1KA>∠CKA>∠cka，而這時D1K向下傾斜，顯然∠D1KA<∠DKA<∠dka。

由此可得出如下結(jié)論：

（1）任意空間一般位置銳角，當其兩邊之一向上傾斜于投影面時，空間角必大于其在該面上的投影角。

（2）任意空間一般位置鈍角，當其兩邊都向下或向上傾斜于投影面時，空間角必小于其在該面上的投影角。

（3）任意空間一般位置銳角，當其兩邊同時向下或向上傾斜于投影面時，能使空間角等于、大于或小于其在該面上的投影角。當空間角等于投影角時，若h值變大，則空間角必小于其投影角;若h值變小，則空間角必大于其投影角。

（4）任意空間一般位置鈍角，當其兩邊之一向上傾斜于投影面時，能使空間角等于、大于或小于其在該面上的投影角。當空間角等于投影角時，若h值變大，則空間角必大于其投影角;若h值變小，則空間角必小于其投影角[3]。

3.2平面角的兩邊對投影面的傾角相等

如圖8所示，平面角∠ADB的兩邊AD與BD對H面的傾角相等，即∠DAd=∠DBd，DC為∠ADB的角平分線，則dc為∠adb的角平分線。

圖8

顯然，rt△DdA≌rt△DdB

故DA=DB，da=db

因此，DC為等腰三角形ADB的高，dc為等腰三角形adb的高。

在△DCA中，AC=DCtg∠ADC

在△dca中，ac=dctg∠adc

因為AC=ac

所以DCtg∠ADC=dctg∠adc

又因為DC>dc，

所以tg∠ADC

亦即∠ADC<∠adc

所以∠ADB<∠adb

由此可得出結(jié)論，當平面角的兩邊對投影面的傾角相等時，其投影角一定大于空間平面角。

參考文獻：

[1]鄭國權(quán).道路工程制圖[M].北京：人民交通出版社，2002：1-366.

[2]于長江.高等畫法幾何[M].北京：北京航空學院出版社，1983：1-129.

[3]史宛麗.段心正.平面角投影基本特性的研究[J].工程圖學學報，2008，增刊：41-47.

作者簡介：

張世海（1964.12-），甘肅白銀人，副教授，工學學士，主要研究方向道路橋梁、工程圖學和計算機繪圖。