彭乃馳 黨婷

【摘要】針對(duì)2009年發(fā)表于《保山學(xué)院學(xué)報(bào)》（原《保山師專學(xué)報(bào)》）第28卷第2期的《一個(gè)重要極限的證明策略》一文，提出了不同觀點(diǎn)，以期與原作者及同行交流.

【關(guān)鍵詞】重要極限；循環(huán)論證；探討

【中圖分類號(hào)】O142【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

《保山學(xué)院學(xué)報(bào)》（原《保山師專學(xué)報(bào)》）2009年第28卷第2期發(fā)表了湯茂林先生《一個(gè)重要極限的證明策略》（以下簡(jiǎn)稱“《策略》”）一文，湯先生在文中提出了重要極限limx→0sinxx=1的不同于教材的七種證明方法，使筆者深受啟發(fā).同時(shí)，筆者經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考認(rèn)為《策略》一文中證法3至證法7可能存在循環(huán)論證的錯(cuò)誤.本文首先介紹了循環(huán)論證并結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐舉例說(shuō)明，然后，詳細(xì)分析了《策略》一文在證法3至證法7中可能存在循環(huán)論證的地方，以期與原作者及同行交流.

循環(huán)論證是指要證明的結(jié)論已經(jīng)被預(yù)設(shè)為前提，它是普通邏輯中無(wú)效論證的一種，在科學(xué)論證中是需要避免的.在教學(xué)過(guò)程中，常聽(tīng)學(xué)生這樣說(shuō)：“我不懂?dāng)?shù)學(xué)，所以不學(xué)數(shù)學(xué).”筆者認(rèn)為正確命題是：“不學(xué)數(shù)學(xué)，所以不懂?dāng)?shù)學(xué).” 因此，學(xué)生再用“不懂?dāng)?shù)學(xué)”推出 “不學(xué)數(shù)學(xué)”，就導(dǎo)致了邏輯上的循環(huán)論證.這就是現(xiàn)實(shí)中一個(gè)典型的循環(huán)論證錯(cuò)誤.

在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)者們已經(jīng)提出的常見(jiàn)的循環(huán)論證錯(cuò)誤有：（1）利用洛必達(dá)法則證明重要極限limx→0sinxx=1（即《策略》一文的證法5）；（2）利用洛必達(dá)法則證明重要極限limx→0（1+x）1x=e；（3）利用牛頓—萊布尼茲公式證明積分第一中值定理.

筆者在從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生甚至部分教師都比較容易出現(xiàn)循環(huán)論證錯(cuò)誤，比如：

例（2009數(shù)三，第（18）題（Ⅰ））證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，則存在ζ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a）.

錯(cuò)證由柯西中值定理得：f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ζ）g′（ζ），取g（x）=x，則有 f（b）-f（a）b-a=f′（ζ）1，即f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a）.證畢.

分析由于柯西中值定理是由拉格朗日中值定理證明的，因此反過(guò)來(lái)再利用柯西中值定理證明拉格朗日中值定理就犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

同樣地，本文認(rèn)為《策略》一文中證法3至證法7也存在循環(huán)論證的錯(cuò)誤，下面詳細(xì)分析，以期與原作者及同行交流.限于篇幅，在不改變?cè)C明意思的前提下，對(duì)原證明做了一定改寫(xiě)與省略.

“證法3：利用導(dǎo)數(shù)定義：limx→0sinxx=limx→0sinx-sin0x-0=（sinx）′|x=0=cos0=1”

分析該證法利用導(dǎo)數(shù)定義，證出重要極限limx→0sinxx=1，看似巧妙實(shí)則錯(cuò)誤.原因是證明過(guò)程的第三個(gè)等號(hào)的成立依賴于導(dǎo)數(shù)公式（sinx）′=cosx，而該公式是用limx→0sinxx=1證明得來(lái)的，即《策略》的證法3出現(xiàn)了循環(huán)論證的錯(cuò)誤：limx→0sinxx=1（sinx）′=cosxlimx→0sinxx=1.

“證法4：利用拉格朗日中值定理：limx→0sinxx=limx→0sinx-sin0x-0=limξ→0cosξ=10<ξ<1”

分析證明過(guò)程的第二個(gè)等號(hào)不但使用了拉格朗日中值定理而且使用了sinx的導(dǎo)數(shù)公式，該證法也出現(xiàn)了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

“證法5：利用洛必達(dá)法則”

分析該證法存在的循環(huán)論證錯(cuò)誤在文獻(xiàn)中已作詳細(xì)分析，不再重復(fù).

“證法6：利用sinx泰勒公式：得sinx=x+o（x2），從而有l(wèi)imx→0sinxx=limx→0x+o（x2）x=1”

分析別忘記我們?cè)谇髎inx泰勒公式時(shí)，其中一步是需要求出sinx在x=0處的各階導(dǎo)數(shù)值，這步需要利用到sinx的導(dǎo)數(shù)公式，該證法還是出現(xiàn)了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

“證法7：利用歐拉公式：由歐拉公式知sinx=eix-e-ix2i………（1）

可得：limx→0sinxx=limx→0eix-e-ix2xi=limx→0e2xi-12xieix=…=1”

分析（1）式由歐拉公式eix=cosx+isinx得來(lái)，歐拉公式又是怎么證明的呢？它的證明方法比較多，常見(jiàn)的有五種：復(fù)指數(shù)函數(shù)定義法、分離變量積分法、復(fù)數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式法、變上限積分法和極限法.下面對(duì)這幾種證明方法的邏輯思路一一分析.

在復(fù)指數(shù)函數(shù)定義法中，定義復(fù)指數(shù)函數(shù)f（z）=ez=ex（cosy+isiny）時(shí)，條件之一是要求f（z）要在復(fù)數(shù)域內(nèi)解析[7]，由柯西—黎曼條件就要求有

cosy=（siny）′，（cosy）′=-siny，

故導(dǎo)數(shù)公式（sinx）′=cosx成立，定義出的復(fù)指數(shù)函數(shù)才有意義，這種證明方法的邏輯思路為：（sinx）′=cosx定義復(fù)指數(shù)函數(shù)歐拉公式.

分離變量積分法中首先要對(duì)z=cosx+isinx求導(dǎo)，所以該法顯然是：（sinx）′=cosx歐拉公式.

復(fù)數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式法要用到sinx冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，同 “證法6”的分析，sinx冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式要依賴于sinx的導(dǎo)數(shù)公式，故該法是：（sinx）′=cosxsinx冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式歐拉公式.

變上限積分法中要用到積分公式∫11+x2=arctanx+C，這個(gè)公式是由導(dǎo)數(shù)公式（arctanx）′=11+x2得來(lái)，再想想反正切函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的來(lái)歷，我們就可以列出這種證明方法的邏輯思路：（sinx）′=cosx（tanx）′=sec2x（arctanx）′=11+x2∫11+x2=arctanx+C歐拉公式.

極限法中要用到極限limn→∞narctanx[]n=x，這個(gè)極限的成立是由于arctanx[]n～xn（n→∞），該法證明思路是：

limx→0sinxx=1limx→0tanxx=1limx→0arctanxx=1arctanx～x（x→0）歐拉公式.

從上面對(duì)歐拉公式的五種證明方法的分析，可見(jiàn)歸根到底其證明的邏輯思路要么是（sinx）′=cosx歐拉公式，要么是limx→0sinxx=1歐拉公式，再結(jié)合sinx的導(dǎo)數(shù)公式的證明，最后綜合起來(lái)我們得到了《策略》中證法7的證明邏輯思路為：

limx→0sinxx=1（（sinx）′=cosx）歐拉公式（1）式limx→0sinxx=1.

sinx的導(dǎo)數(shù)公式打上小括號(hào)表明有些證明思路（如極限法）可以跳過(guò)這一步，不使用此公式.證法7的證明邏輯思路表明，證法7在證明結(jié)論limx→0sinxx=1時(shí)，其實(shí)已經(jīng)潛在地把該結(jié)論預(yù)設(shè)為前提，同樣出現(xiàn)了循環(huán)論證的邏輯錯(cuò)誤.

在高等數(shù)學(xué)中，有些循環(huán)論證的錯(cuò)誤比較隱蔽，學(xué)生甚至部分教師都容易出現(xiàn)這種錯(cuò)誤.高等數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，要正確認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)這門學(xué)科必須謹(jǐn)防循環(huán)論證.循環(huán)論證產(chǎn)生的根源在于對(duì)定理、公式等的來(lái)龍去脈理解不夠深刻.因此，要避免循環(huán)論證就必須理清知識(shí)結(jié)構(gòu)，深刻理解公式定理的來(lái)龍去脈.以上是筆者經(jīng)過(guò)思考并結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐對(duì)《策略》一文中可能出現(xiàn)的循環(huán)論證問(wèn)題進(jìn)行的探討，是否正確，還請(qǐng)同行批評(píng)指正.

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