郭瑞

【摘要】“數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡言之就是：見到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在高學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數(shù)形結(jié)合滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)部分，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，可以通過對數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形的性質(zhì)，也可利用圖形的性質(zhì)來反映變量之間的相互關(guān)系，因此數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充、相互印證。本文將對數(shù)形結(jié)合思想在高中解題做一探討。

【關(guān)鍵詞】數(shù)性結(jié)合；數(shù)學(xué)思想；高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語）。數(shù)學(xué)中兩大研究對象“數(shù)”與 “形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與 “形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。

因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。而課堂中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)愉快的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，愛學(xué)數(shù)學(xué)。下面結(jié)合筆者教學(xué)過程中，討論此思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用。

1．利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題

例1求函數(shù) 的值域。

解法一（代數(shù)法）：則 ，得

而

解不等式得

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

解法二（幾何法）： 的形式類似于斜率公式

表示過兩點(diǎn) 的直線斜率

由于點(diǎn) 在單位圓 上，（見下圖）

顯然，

設(shè)過 的圓的切線方程為

則有 ，解得

即

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

例2求函數(shù) 的值域。

解：有函數(shù)解析式易知，此函數(shù)定義域?yàn)?/p>

令

由圖可知，當(dāng) 時(shí)

=

故所求值域?yàn)椋? ， ）

函數(shù)的圖象是函數(shù)對應(yīng)規(guī)律的幾何表示能直觀的反映函數(shù)的性質(zhì)，是解決問題的有力工具，問題關(guān)鍵是把函數(shù)的性質(zhì)與圖像的性質(zhì)結(jié)合起來，亦即形與數(shù)的結(jié)合。

2．利用數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問題。

例3求函數(shù) 的最大值和最小值。

分析： 的形式相似于斜率 的形式，因此可以把看作是動點(diǎn) 與定點(diǎn) 連線的斜率，所求問題轉(zhuǎn)化為求斜率 的最大值和最小值，由于動點(diǎn)在圓上，因此可以把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化到圖形上來處理。

解：由題意，作出如圖，所要求的函數(shù) 的最大值與最小值，就轉(zhuǎn)化為求動點(diǎn) 與定點(diǎn) 連線的斜率的最大值與最小值。從圖中可以得知，當(dāng)直線 和圓相切時(shí)，分別得到其最大值與最小值，設(shè)直線 的斜率為 ，所以，其方方程為 ，即 。當(dāng)直線 與圓相切時(shí)， 即

（上接第160頁）

解得 或

所以

例4已知 表示曲線有公共點(diǎn)，求半徑 的最值。

解：將方程

化為標(biāo)準(zhǔn)方程

它表示中心在 ，長半軸為2且在x軸上，短半軸為1的橢圓。

方程

表示圓心在 的同心圓系，如圖2易知：當(dāng) ，兩曲線有公共點(diǎn)。

所以? =6

利用數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問題時(shí)，借助曲線方程使抽象問題形象化，將數(shù)量關(guān)系直觀化是解決問題的關(guān)鍵。

總之，數(shù)學(xué)研究的對象本身就是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，所以數(shù)形結(jié)合往往使一個(gè)問題的兩個(gè)方面互相映射，互相轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維交互作用，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的。數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法.縱觀多年來的高考試題，利用數(shù)形結(jié)合思想解題比比皆是，因此在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)形結(jié)合的思想，以形助數(shù)巧解代數(shù)問題。

參考文獻(xiàn)：

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