張永清
摘 要:一個函數(shù)的反函數(shù)以及什么樣的函數(shù)才有反函數(shù),函數(shù)的反函數(shù)怎樣正確地求解,從正確理解反函數(shù)的概念出發(fā),優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域,結(jié)合案例進行概述。
關(guān)鍵詞:反函數(shù);定義域;值域;自變量
反函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容,在反函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中,要重視對概念的本質(zhì)剖析,應(yīng)從不同角度深刻理解其內(nèi)涵、性質(zhì)。
一、正確理解反函數(shù)概念中的有關(guān)符號
課本中的定義為:函數(shù)y=f(x)(x∈A)中,設(shè)它的值域為C。用 y把x表示出來,得到x=φ(y),這里y是自變量,x是自變量y的函數(shù)。我們把函數(shù)x=φ(y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函數(shù),記作 x=f-1(y),在x=f-1(y)中,y依然表示自變量,x依然表示函數(shù)。
而把x,y互換,把x=f-1(y)改寫成x=f-1(x),純粹是習(xí)慣上用 x表示自變量,y表示函數(shù)。
故:在反函數(shù)的概念中,關(guān)鍵是看清誰表示自變量。
我們知道在平面直角坐標系中,橫軸表示自變量軸,縱軸表示函數(shù)值軸。而我們通常認為x軸為橫軸,y軸為縱軸,就是由于習(xí)慣上用x表示自變量,y表示函數(shù)。故有人認為y=f(x)和x=f-1(y)揭示的(x,y)的同一關(guān)系,則為同一圖象。這種觀點是不恰當?shù)?。它們的圖象就應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱,原因就是在y=f(x)中,x表示自變量;在x=f-1(y)中,y表示自變量。而用哪一個字母符號表示自變量并不重要,關(guān)鍵是只要認為橫軸表示自變量軸就足夠了。
二、y=f(x-1)與x=f-1(x-1)是否互為反函數(shù)
因為y=f(x-1),則f-1(y)=x-1,x=f-1(y)+1,將x,y互換即得y=f(x-1)的反函數(shù)為y=f-1(x)+1,此函數(shù)顯然與y=f-1(x-1)是不相同的。
因此,y=f(x-1)的反函數(shù)不是y=f-1(x-1)。下面例題1中的解法一是錯誤的,解法二是正確的。
三、堅持“定義域優(yōu)先”原則
例2:求函數(shù)y=x2(x<0)的反函數(shù)。
四、幾個重要結(jié)論
1.只有一一映射的函數(shù)才存在反函數(shù)。
2.單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù),且互為反函數(shù)的兩個函數(shù)同增減。
3.有反函數(shù)的函數(shù)不一定是定義域上的單調(diào)函數(shù)(例如y=)。
4.函數(shù)與其反函數(shù)的圖象有公共點,則它們的公共點不一定全在直線y=x上(例如y=-x;y=;y=-x+2,x∈(0,+∞)等)。
5.分段函數(shù)的反函數(shù)是由分別求出各段逆表達式后合成的。
編輯 董慧紅