張永清

摘 要：一個函數的反函數以及什么樣的函數才有反函數，函數的反函數怎樣正確地求解，從正確理解反函數的概念出發(fā)，優(yōu)先考慮函數的定義域，結合案例進行概述。

關鍵詞：反函數；定義域；值域；自變量

反函數概念是中學數學中的一個重要內容，在反函數概念的學習中，要重視對概念的本質剖析，應從不同角度深刻理解其內涵、性質。

一、正確理解反函數概念中的有關符號

課本中的定義為：函數y=f（x）（x∈A）中，設它的值域為C。用 y把x表示出來，得到x=φ（y），這里y是自變量，x是自變量y的函數。我們把函數x=φ（y）（y∈C）叫做y=f（x）（x∈A）的反函數，記作 x=f-1（y），在x=f-1（y）中，y依然表示自變量，x依然表示函數。

而把x，y互換，把x=f-1（y）改寫成x=f-1（x），純粹是習慣上用 x表示自變量，y表示函數。

故：在反函數的概念中，關鍵是看清誰表示自變量。

我們知道在平面直角坐標系中，橫軸表示自變量軸，縱軸表示函數值軸。而我們通常認為x軸為橫軸，y軸為縱軸，就是由于習慣上用x表示自變量，y表示函數。故有人認為y=f（x）和x=f-1（y）揭示的（x，y）的同一關系，則為同一圖象。這種觀點是不恰當的。它們的圖象就應該關于直線y=x對稱，原因就是在y=f（x）中，x表示自變量；在x=f-1（y）中，y表示自變量。而用哪一個字母符號表示自變量并不重要，關鍵是只要認為橫軸表示自變量軸就足夠了。

二、y=f（x-1）與x=f-1（x-1）是否互為反函數

因為y=f（x-1），則f-1（y）=x-1，x=f-1（y）+1，將x，y互換即得y=f（x-1）的反函數為y=f-1（x）+1，此函數顯然與y=f-1（x-1）是不相同的。

因此，y=f（x-1）的反函數不是y=f-1（x-1）。下面例題1中的解法一是錯誤的，解法二是正確的。

三、堅持“定義域優(yōu)先”原則

例2：求函數y=x2（x<0）的反函數。

四、幾個重要結論

1.只有一一映射的函數才存在反函數。

2.單調函數一定有反函數，且互為反函數的兩個函數同增減。

3.有反函數的函數不一定是定義域上的單調函數（例如y=）。

4.函數與其反函數的圖象有公共點，則它們的公共點不一定全在直線y=x上（例如y=-x；y=；y=-x+2，x∈（0，+∞）等）。

5.分段函數的反函數是由分別求出各段逆表達式后合成的。

編輯 董慧紅