蔡勇全

(四川省資陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 641300)

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)，它的技巧性較強(qiáng)，體現(xiàn)在有些問(wèn)題不能直接應(yīng)用該結(jié)論求解，需要事先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q，構(gòu)造出基本不等式的適用背景——“一正、二定、三相等”，即不僅表達(dá)式中含變量的項(xiàng)是正的，而且表達(dá)式中含變量的項(xiàng)的和取得最小值時(shí)，能湊出這些項(xiàng)的積為定值，或含變量的項(xiàng)的積取得最大值時(shí)，能湊出這些項(xiàng)的和為定值，還須此時(shí)含變量的項(xiàng)恰好相等，從這個(gè)角度來(lái)看，基本不等式也是教學(xué)中的難點(diǎn)之一.

一、常量逆代

二、加幾減幾

例2 已知正數(shù)a，b滿足ab-a-b-1=0，求a+b的最小值.

變式1 已知正數(shù)x，y滿足3x+2y=xy，求2x+3y的最小值.

三、升次拆冪(項(xiàng))

變式3 已知正數(shù)x，y滿足x2y=2，求x2+xy的最小值.

評(píng)注例3及其兩個(gè)變式采取了不同的升次拆冪技巧，其中，例3采取的是升次策略，將目標(biāo)式升次到可以運(yùn)用基本不等式的背景下，變式1是將目標(biāo)式直接拆冪到可以運(yùn)用基本不等式的背景下，變式2則是先升次再拆冪到可以運(yùn)用基本不等式的背景下，而變式3是將目標(biāo)式拆項(xiàng)到可以運(yùn)用基本不等式的背景下，需要注意的是，不論是只升次還是先升次再拆冪，都要回歸到原目標(biāo)式本身.

四、換元引參

例4 已知a，b，c為△ABC三邊的長(zhǎng)，求證:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

五、取倒反推

評(píng)注當(dāng)條件與目標(biāo)式之間的關(guān)系不明顯或較為模糊時(shí)，運(yùn)用取倒反推不失為一種迂進(jìn)的間接策略，有利于使問(wèn)題明朗化，取倒反推實(shí)際上也是正難則反思想的應(yīng)用，如果從問(wèn)題的正面求解比較困難，從問(wèn)題的反面入手往往會(huì)事半功倍.

六、配添分離