朱 琦

（常州市白云小學(xué),江蘇 常州 213000）

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，是數(shù)學(xué)課程理念之一。影響學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的要素是多方面的?！皩W(xué)生的知識(shí)、思維和觀念的縱向聯(lián)結(jié)如同科學(xué)結(jié)構(gòu)的演進(jìn)，相當(dāng)于是一個(gè)從知識(shí)的籠統(tǒng)綜合到思維分化再到觀念整合的過程?！盵1]隨著數(shù)學(xué)課改的深入，知識(shí)、思維和觀念的聯(lián)結(jié)越來越受到數(shù)學(xué)教師的重視?！盎跀?shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)”，即教師幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)知識(shí)、思維和觀念間的聯(lián)結(jié)”；以知識(shí)網(wǎng)絡(luò)狀的結(jié)構(gòu)存在于學(xué)生頭腦中；從而獲得知識(shí)、更新知識(shí)、精確知識(shí)，形成技能，逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟。但由于指導(dǎo)方法的缺失、教學(xué)策略的單一等原因，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，割裂知識(shí)、思維和觀念之間聯(lián)系的現(xiàn)象還是屢見不鮮，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)被動(dòng)狀態(tài)較為常見。如何恢復(fù)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的“內(nèi)在動(dòng)力”，一個(gè)重要的策略就是讓學(xué)生嘗試“數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)”。

一、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)的基本要素

數(shù)學(xué)的聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)是將數(shù)學(xué)看作是知識(shí)內(nèi)部相互聯(lián)結(jié)的統(tǒng)一學(xué)科，如：數(shù)與形是緊密相連的；通過轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)知識(shí)的表征形式，發(fā)現(xiàn)相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)主題；數(shù)學(xué)是一種與生活情境密切相關(guān)的知識(shí)體，只有將數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)者所體驗(yàn)的具體情境聯(lián)結(jié)起來，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才更有效。數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)包括：陳述性與程序式知識(shí)的聯(lián)結(jié)；日常中的生活數(shù)學(xué)；與其他學(xué)科融合中的數(shù)學(xué)應(yīng)用，要用數(shù)學(xué)的思維模式解決其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題。

數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)的四個(gè)基本要素：問題情境、概念、整合、應(yīng)用。

1.問題情境。良好的問題情境不僅要能促成學(xué)生的深度理解，“為吸收或同化其他學(xué)習(xí)材料提供理想的框架”[2]，有利于學(xué)生逐漸從記住事實(shí)性知識(shí)走向把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和核心意義；而且應(yīng)當(dāng)具有“變式”性，通過改變問題情境的表征形式，基本知識(shí)點(diǎn)的中心性保持不變，使學(xué)生在對(duì)各種問題進(jìn)行思考的同時(shí)，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

2.概念。概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。概念不同于感知，感知是具體的、直接的，概念卻是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念所反映的對(duì)象本質(zhì)屬性的總和（即概念所反映的對(duì)象的質(zhì)的方面）是概念的內(nèi)涵；概念所反映的對(duì)象的全體（即概念所指的對(duì)象的范圍或集合）是概念的外延。概念形式抽象，內(nèi)容豐富，概念與概念間又有著多種錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，通過數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)，可以達(dá)到建構(gòu)概念的效果。

3.整合。在數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)中，陳述性知識(shí)與程序式知識(shí)的聯(lián)結(jié)，知識(shí)與思維聯(lián)結(jié)，思維與觀念聯(lián)結(jié)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)結(jié)，各種零散的知識(shí)可以進(jìn)行整合，生成新的意義。

4.應(yīng)用。數(shù)學(xué)知識(shí)只有在應(yīng)用的過程中才能體現(xiàn)它的價(jià)值。學(xué)生能有效運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)綜合解決問題的過程，其本質(zhì)是將知識(shí)以結(jié)構(gòu)化的方式貯存和提取，實(shí)現(xiàn)“知識(shí)”與“技能”的聯(lián)結(jié)。

二、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)的基本類型

（一）問題情境下的“三段式”橫向數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)

問題情境下的橫向數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)從實(shí)踐操作層面上分為三個(gè)階段。

第一階段：由構(gòu)建認(rèn)知沖突引入新課的問題情境，激活知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)結(jié)。教師在充分了解學(xué)生已有知識(shí)水平的基礎(chǔ)上，提出富有挑戰(zhàn)性的問題情境，使得學(xué)生在未知知識(shí)與已知知識(shí)、生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)之間產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而初步形成知識(shí)與知識(shí)的聯(lián)結(jié)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心和求知欲。

案例1就是一個(gè)利用問題情境的提出進(jìn)行知識(shí)與知識(shí)之間聯(lián)結(jié)的案例，聚焦于周長與面積教學(xué)的引入，體現(xiàn)知識(shí)與知識(shí)的聯(lián)結(jié)。

[案例1]張大爺要用36米的柵欄圍花圃，要請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)面積最大的花圃。同學(xué)們，你能用自己所學(xué)的知識(shí)幫助解決張大爺設(shè)計(jì)花圃嗎？為此，同學(xué)們的任務(wù)是：（1）畫出該情境的草圖；（2）清晰地描述出你怎樣利用所學(xué)知識(shí)來解決這個(gè)問題；（3）利用你所想到的方法解決這個(gè)問題。

在引入問題情境并提出任務(wù)的過程中，知識(shí)與知識(shí)間的聯(lián)結(jié)有：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)結(jié)——周長和面積知識(shí)的聯(lián)結(jié)；數(shù)學(xué)概念與幾何問題的聯(lián)結(jié)；日常生活中的知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)結(jié)——周長、面積知識(shí)在圖形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。在這些知識(shí)聯(lián)結(jié)過程中，學(xué)生的好奇心、求知欲被激發(fā)，自主探究的動(dòng)力系統(tǒng)得到加強(qiáng)，利于第二層次思維間的聯(lián)結(jié)。

第二階段：任務(wù)驅(qū)動(dòng)的問題情境，促使思維與思維間的靈活聯(lián)結(jié)，調(diào)動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考的積極性。

教師在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)提出問題，讓學(xué)生積極思維，進(jìn)行思維與思維間的聯(lián)結(jié)。在這個(gè)過程中，教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象知識(shí)或結(jié)合具體情境進(jìn)行獨(dú)立探索。

案例2是一個(gè)利用問題情境的提出進(jìn)行思維與思維之間聯(lián)結(jié)的案例。

[案例2]教師出示一幅圖（參見圖1），有4個(gè)相同的圓，半徑都是2厘米，你能提出什么問題？又該怎樣解決？

圖1

這個(gè)案例在學(xué)生提出問題后，首先提出自己的猜想，根據(jù)所有的已知信息對(duì)猜想進(jìn)行檢驗(yàn)。在提出簡單的問題被證實(shí)其正確性后，學(xué)生會(huì)對(duì)問題進(jìn)行改進(jìn)、完善和加工，從而提出更復(fù)雜的猜想。但復(fù)雜的猜想是否正確，就需要學(xué)生就所有的已知信息對(duì)新的猜想再次進(jìn)行檢驗(yàn)……如此周而復(fù)始，直到問題得到全部解決。在聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)中，這個(gè)完成自己提出的問題的過程首先是學(xué)生獨(dú)立思考的過程，更強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的獨(dú)立探索。在學(xué)生進(jìn)行猜想、證明猜想、推翻猜想、明確結(jié)果的過程中，聯(lián)結(jié)權(quán)重不斷發(fā)生著改變，學(xué)生的思維一直是處于積極聯(lián)結(jié)的狀態(tài)中。

第三階段：以更新觀念構(gòu)建反思的問題情境，提升觀念與觀念間的更新聯(lián)結(jié)。這一階段主要是屬于生生、師生之間交流的階段，對(duì)問題的交流實(shí)質(zhì)上包括了知識(shí)與知識(shí)的交流，思維與思維的交流。對(duì)于學(xué)生個(gè)體來講，或許是經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并探究問題后的觀念建構(gòu)，也可能是在其他同學(xué)或教師的提示下獲得新知識(shí)或轉(zhuǎn)變新視角。

需要說明的是橫向聯(lián)結(jié)的三個(gè)階段是一個(gè)良性循環(huán)系統(tǒng)，不是相互孤立的。各種聯(lián)結(jié)都可能蘊(yùn)涵在每一個(gè)階段中；每一個(gè)階段里，也不會(huì)只單純地發(fā)生一種聯(lián)結(jié)。

（二）創(chuàng)新意識(shí)下的縱向數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)

“思維到觀念的聯(lián)結(jié)本質(zhì)上是量與質(zhì)的聯(lián)結(jié)”，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已習(xí)得的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和評(píng)價(jià)，注重創(chuàng)新意識(shí)的有序性和階梯性的培養(yǎng)，只有在知識(shí)、思維和觀念相互聯(lián)結(jié)的過程中，才會(huì)使學(xué)生從思維的創(chuàng)新意識(shí)順利過渡到對(duì)觀念的創(chuàng)新意識(shí)。

1.以數(shù)學(xué)本質(zhì)為基點(diǎn)，構(gòu)造本源性問題，加強(qiáng)知識(shí)與思維聯(lián)結(jié)的緊密度，為學(xué)生提供思維創(chuàng)新的空間

本源性問題不僅應(yīng)當(dāng)是“追根溯源”的，為吸收或同化其他學(xué)習(xí)材料提供理想的框架，有利于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的上位學(xué)習(xí)，而且應(yīng)當(dāng)具有“變式”性，可以是標(biāo)準(zhǔn)屬性變式，也可以是非標(biāo)準(zhǔn)屬性變式。本源性問題情境主要具有這樣一些功能：（1）建構(gòu)知識(shí)的功能：即利用本源性問題能加深學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)本質(zhì)的“問題群”進(jìn)行深入理解和解釋。在知識(shí)和思維進(jìn)行聯(lián)結(jié)時(shí)，本源性問題的提出有助于思維的發(fā)散，因而為思維的創(chuàng)新提供了更大的空間。（2）應(yīng)用功能：“在知識(shí)與思維聯(lián)結(jié)的過程中，同時(shí)揭示了知識(shí)應(yīng)用的條件?！盵3]當(dāng)學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)能成功地解決現(xiàn)實(shí)問題，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)中，那么學(xué)生在探索數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)結(jié)過程中便會(huì)產(chǎn)生更加積極的情感。

2.以問題的程序性為基礎(chǔ)，構(gòu)造“大問題”情境，加強(qiáng)思維與觀念聯(lián)結(jié)的相通度，為學(xué)生提供觀念創(chuàng)新的階梯

構(gòu)建“大問題”情境，就是將若干個(gè)相互聯(lián)結(jié)的子問題（或步驟）或解決某個(gè)問題的完整思維過程整合成一個(gè)復(fù)雜的、難度較大的開發(fā)性問題。

下面是兩位教師對(duì)于《圓的認(rèn)識(shí)》同課異構(gòu)的教學(xué)案例：

[案例1]

教師A：在學(xué)習(xí)圓內(nèi)直徑和半徑的相關(guān)聯(lián)系時(shí)，教師替各小組準(zhǔn)備了圓片、直尺、圓規(guī)等研究材料，讓學(xué)生自己動(dòng)手折一折，畫一畫，量一量，比一比，如果在研究中有問題的，可拿出信封里的“友情提示”參考。小組研究后，全班交流。教師根據(jù)學(xué)生給出的結(jié)論進(jìn)行有條理的板書，并結(jié)合發(fā)現(xiàn)讓其他學(xué)生一起來體會(huì)。

[案例2]

教師B：在學(xué)習(xí)圓內(nèi)直徑和半徑的相關(guān)聯(lián)系時(shí)，教師替各小組準(zhǔn)備了圓片、直尺、圓規(guī)等研究材料并立即提出了3個(gè)研究問題：1.在同一個(gè)圓內(nèi)，半徑和直徑是什么關(guān)系？2.在同一個(gè)圓內(nèi)，有多少條直徑？有多少條半徑？3.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？有多少條對(duì)稱軸？

這兩位教師都為學(xué)生學(xué)習(xí)圓的特點(diǎn)給予了幫助，前者提出“大問題”，采取大膽放手讓學(xué)生自己獨(dú)立探索，合作交流的教學(xué)方法，后者采用小步走的教學(xué)方法，教師設(shè)計(jì)好了學(xué)生研究的問題，讓學(xué)生圍著教師給的問題去研究。顯然，不夠開放的教學(xué)空間勢必給學(xué)生的發(fā)展產(chǎn)生制約。筆者對(duì)這兩節(jié)課感興趣的就是關(guān)于這個(gè)問題的開放處理，學(xué)生是否能根據(jù)自己的動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)第二位教師所提出的所有問題，第一位教師給出的答案是肯定的，同時(shí)還有學(xué)生能發(fā)現(xiàn)超出教師預(yù)設(shè)范圍的其他問題或者還有其他體會(huì)。如在交流中就有學(xué)生提出“不論多大的圓，它都是有圓心的”這么富有個(gè)性化的理解和表達(dá)，這是學(xué)生靈感和智慧的外顯，是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種超越和真正的創(chuàng)造。課堂的生命力來自于對(duì)事件或事實(shí)的感受、體驗(yàn)，來自于對(duì)問題的敏感、好奇，來自于情不自禁的、豐富活躍的猜想、假設(shè)、直覺，來自于不同觀點(diǎn)的碰撞、爭辯、啟迪、認(rèn)同，更來自于探究體驗(yàn)中時(shí)而山窮水盡，時(shí)而柳暗花明的驚喜和喜悅，這就是“大問題”引領(lǐng)下的開放課堂所呈現(xiàn)出的“不可預(yù)約的生成”。在思維與觀念聯(lián)結(jié)過程中，“大問題”的情境可以使學(xué)生在獨(dú)立思考、交流過程中，一步步由思維意識(shí)的創(chuàng)新提高到觀念意識(shí)的創(chuàng)新。

3.以問題的反思性為動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已獲取的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)、反思及應(yīng)用，加強(qiáng)觀念與知識(shí)聯(lián)結(jié)的吻合度，為學(xué)生提供知識(shí)創(chuàng)新的契機(jī)

當(dāng)學(xué)生掌握了一定的知識(shí)內(nèi)容后，會(huì)因?yàn)橹R(shí)的增多導(dǎo)致觀念的結(jié)構(gòu)重組。此時(shí)教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已獲取的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)、反思及應(yīng)用，可以采取學(xué)生個(gè)人總結(jié)并進(jìn)行自評(píng)，再在小組內(nèi)進(jìn)行討論，進(jìn)行組內(nèi)成員評(píng)價(jià)。在此過程中，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)更清晰，更完善，為日后知識(shí)的創(chuàng)新提供保障。

數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)結(jié)方式，遵循學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在規(guī)律，提供給學(xué)生“學(xué)習(xí)動(dòng)力”，促進(jìn)學(xué)生的思維向更深處發(fā)展，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。▲

[1][3]劉娟娟.聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的影響[D]：[碩士學(xué)位論文].桂林：廣西師范大學(xué),2004.

[2]賈林祥.認(rèn)知心理學(xué)的聯(lián)結(jié)主義理論研究[D]：[碩士學(xué)位論文].南京：南京師范大學(xué),2002.