張水艦

摘 要： 研究了交通高峰期交通流的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。為了解決交通高峰期交通堵塞的問題，從車輛數(shù)量守恒的思想出發(fā)，對交通高峰期的路段交通流規(guī)律進(jìn)行了探討，分析了交通流參數(shù)，建立了交通流運(yùn)動(dòng)微分方程，通過理論推導(dǎo)得出了路段的一維交通流動(dòng)力學(xué)模型。通過仿真實(shí)驗(yàn)表明，此模型能反映交通流的基本特性，能夠?yàn)榻煌ú块T在交通高峰期調(diào)節(jié)路網(wǎng)交通流提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 交通流； 動(dòng)力學(xué)模型； 微分方程； 流體力學(xué)

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2015）02-07-03

Dynamical model and simulation of traffic flow of road section in rush hours

Zhang Shuijian

（Huzhou Vocational and Technical College， Huzhou， Zhejiang 313000， China）

Abstract： The dynamical laws of traffic flow in rush hours are studied. In order to solve the problem of traffic jam，the traffic rules in rush hours are explored in this paper based on the conservation law of vehicle number. The traffic flow parameters are analyzed. The differential equations of motion of traffic flow are established. One-dimensional dynamical model of traffic flow of road section is obtained through theoretical derivation. The results of simulation show that the model can reflect the basic characteristics of traffic flow and provide theoretical basis for the department of transportation to regulate traffic flow in rush hours.

Key words： traffic flow； dynamical model； differential equation； fluid dynamics

0 引言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)步發(fā)展、人口的持續(xù)增長和城市化進(jìn)程的加快，城市機(jī)動(dòng)車擁有量和道路交通流量急劇增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，由此引發(fā)的交通安全和環(huán)境污染，已嚴(yán)重影響了人們的日常出行，并成為制約城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的瓶頸問題，各大城市每年都會(huì)由于車輛擁堵而造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失。為了緩解城市道路交通擁堵，提高運(yùn)輸效率，對交通系統(tǒng)進(jìn)行科學(xué)化的管理才是解決城市交通擁堵問題的根本途徑。交通管理的研究手段主要是借助于數(shù)學(xué)方法和物理定律對交通現(xiàn)象和特性進(jìn)行描述，簡單地說就是借助數(shù)學(xué)和物理學(xué)工具建立數(shù)學(xué)物理模型，通過模型的求解和數(shù)值模擬來描述交通運(yùn)輸規(guī)律。

交通流理論應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)原理對交通流的基本規(guī)律進(jìn)行描述，為交通管理提供理論依據(jù)和基本方法。交通流理論研究對改善和緩解目前日益突出的交通擁擠問題具有直接的指導(dǎo)意義。美國學(xué)者Lighthill和Whitham（1955）首次將交通流當(dāng)作一種流體進(jìn)行研究[1-2]，提出了交通流流體力學(xué)理論，在同一時(shí)期，Richards也獨(dú)立提出了相似的理論[3]，因此這兩個(gè)理論一并稱為LWR理論，此理論從宏觀上描述了道路上交通流密度很大時(shí)的交通流規(guī)律，LWR理論給出的交通模型是一階連續(xù)模型。Payne（1971）以車輛跟馳理論為出發(fā)點(diǎn)對交通流中的動(dòng)力、加速度與慣性等因素進(jìn)行了研究，第一次提出了交通流高階連續(xù)流模型[4]。國內(nèi)學(xué)者姜銳等（2000）從跟馳理論的思想出發(fā)，按照交通流研究中通常采用的微觀一宏觀參量間聯(lián)系方法，得到一種新的動(dòng)力學(xué)模型[5]。熊烈強(qiáng)等（2006）引入超車換道流量，通過對交通流參數(shù)的微分分析， 建立了相應(yīng)的交通流連續(xù)性方程[6]。許多學(xué)者從不同側(cè)面對交通流進(jìn)行了研究，提出了在一定條件下的交通流模型[7-8]。

由于實(shí)際交通流十分復(fù)雜，目前還沒有學(xué)者提出通用的交通流模型。本文將從車輛數(shù)量守恒的思想出發(fā)，研究交通高峰期的路段交通流規(guī)律，給出一個(gè)交通高峰期的路段交通流動(dòng)力學(xué)模型。

1 路段交通流動(dòng)力學(xué)模型

眾所周知，流體由分子組成。若以單個(gè)分子為研究對象，由于分子本身作隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，分子之間頻繁碰撞，相應(yīng)的物理量（如分子速度）隨時(shí)間作隨機(jī)變化；若觀察物理量在空間不同位置上的變化，由于分子間存在空隙，物理量的空間分布是不連續(xù)的。這種由分子運(yùn)動(dòng)決定的物理量的隨機(jī)性和不連續(xù)性，稱為流體的微觀特性。若將研究對象擴(kuò)大到包含大量分子的流體團(tuán)，按分子運(yùn)動(dòng)論的觀點(diǎn)，流體團(tuán)性質(zhì)表現(xiàn)為其中所有分子的統(tǒng)計(jì)平均特性。只要分子數(shù)足夠大，統(tǒng)計(jì)平均值在時(shí)間上是確定的，在空間上是連續(xù)的，稱為流體團(tuán)的宏觀特性。

交通流也是由單個(gè)車輛組成的，不過車輛不相互碰撞，也不與路沿碰撞，且駕駛車輛的司機(jī)具有主動(dòng)性，由于司機(jī)各異，所以從微觀上看，車輛的行為具有隨機(jī)性，但從宏觀上看也與流體團(tuán)的統(tǒng)計(jì)特性一樣，具有一定的平均速度。交通流的流動(dòng)不是由外力作用引起的，但有一個(gè)司機(jī)的心理壓力和社會(huì)規(guī)則壓力，比如車輛不能隨意停在路中間，出行者也都想盡快到達(dá)目的地，我們稱此壓力總和為交通壓力，車流正是在此壓力下往前流動(dòng)。

在交通高峰期車輛大都跟隨行駛，不大可能超車，速度與密度滿足Greedshields模型[9]，此模型速度與密度成線性關(guān)系，如圖1所示。由于限速的原因，車速不可能達(dá)到暢行速度，所以從a到b之間是水平線。

圖2是一個(gè)連續(xù)的路段L，兩個(gè)觀測點(diǎn)1和2相距為l，假設(shè)在路段l內(nèi)沒有任何其他出入口（在此路段內(nèi)沒有車輛產(chǎn)生也沒有車輛消失，即車輛數(shù)守恒）。車流以流率λ進(jìn)入路段，以流率μ流出路段。

交通流的變化是一個(gè)復(fù)雜的問題，用數(shù)學(xué)方法來研究它，主要是研究交通量以什么規(guī)律變化的問題，交通量的增加如何影響道路的通行能力，從而造成堵塞。設(shè)N（t）表示路段上在時(shí)刻的車輛總數(shù)，嚴(yán)格說來，N（t）是一個(gè)離散函數(shù)，但是一輛車的增加或減少與路段上全體車輛數(shù)相比還是可以忽略不計(jì)的，故可以近似地把N（t）當(dāng)作連續(xù)可微的函數(shù)看待。

設(shè)在[t+dt]時(shí)間段內(nèi)路段l上車輛的變化量為：

⑴

這個(gè)變化量為在此時(shí)間段內(nèi)流入路段的車輛數(shù)減去流出路段的車輛數(shù)。

設(shè)當(dāng)路段上車輛數(shù)沒有達(dá)到路段的最大容量時(shí)，流入率都為λ，當(dāng)路段上車輛數(shù)達(dá)到了路段的最大容量時(shí)流入率為0；流出率μ滿足下式[9]：

⑵

式中vf為暢行速度，其中，為車流量密度，kj為阻塞密度。

把代入式⑵可得：

⑶

令，，則式⑶可寫為：

⑷

式⑷即為交通流出率與交通量的關(guān)系式，圖3為其關(guān)系圖。

于是dN（t）可表示為：

⑸

⑹

可以看出式⑹為可分離變量微分方程，變式為：

⑺

其中（Nj=kjl為路段阻塞交通量）；令，則方程⑺的通解為：

⑻

式⑻中c為常數(shù)。

當(dāng)在交通高峰期時(shí)，車道上的車流量都較大，一般超過，流出率μ小于μmax，當(dāng)時(shí)，由式⑻可得到：

⑼

設(shè)當(dāng)t=t0時(shí)，有初始條件：

則可解得：

（10）

令，把式（10）代入式⑼則可以得到：

（11）

當(dāng)λ=μmax時(shí)，微分方程⑹不能由上式表示，此時(shí)由式（7）有：

（12）

方程（12）的通解為：

（13）

設(shè)當(dāng)t=t0時(shí)，有初始條件：

可求得：

（14）

設(shè)

可得：

（15）

2 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

為了直觀地分析交通流的變化規(guī)律，本文利用德國PTV公司開發(fā)的交通流微觀仿真系統(tǒng)VISSIM來進(jìn)行仿真模擬。VISSIM是交通問題分析的常用工具，它能夠分析在車道特性、交通組成等約束條件下的交通流運(yùn)行情況，能夠輸出各種交通評價(jià)參數(shù)，如行程時(shí)間等。

取暢行速度vf為60Km/h；取阻塞密度kj為167輛/km。選取了一長350m的路段，取λ為理論最大值，即λmax=2505輛/小時(shí)，取不同的初始車輛密度，計(jì)算路段造成完全堵塞所用的時(shí)間，仿真結(jié)果如表1所示。通過仿真可以看出，就算流入率在最大的情況下，只要車輛密度在kj/2左右時(shí)能保證路段內(nèi)的車輛正常流出，路段是很難造成堵塞的；而路段車輛密度超出一定數(shù)值后，造成路段完全堵塞所需要的時(shí)間成加速度減少，這就要求交通部門在交通高峰時(shí)調(diào)節(jié)車流的流入率，使路段的車輛密度不至于超過kj/2太多，否則很容易造成交通堵塞，影響居民的出行。

3 結(jié)束語

交通流動(dòng)力學(xué)研究是研究交通流規(guī)律的重要研究方法。本文從車輛守恒原理的角度研究了在高峰期路段交通流的變化規(guī)律，提出了一種路段交通流動(dòng)力學(xué)模型，這個(gè)模型能表征路段交通流的變化，有助于交通高峰時(shí)調(diào)節(jié)各路段的交通流量，使交通流量在路網(wǎng)上分布合理，不至于造成堵塞。

交通流規(guī)律是復(fù)雜的，本文主要從理論上分析了交通量對交通流的影響，高峰期車流沿著各自的車道行走相互影響規(guī)律還要進(jìn)一步研究。要從根本上解決交通高峰時(shí)交通流的堵塞問題，還需要廣大交通工作者從交通流理論基礎(chǔ)方面繼續(xù)努力研究、探索，建立起能正確反映交通現(xiàn)象本質(zhì)規(guī)律的交通流理論，并將其成功應(yīng)用于交通規(guī)劃和交通管理中。

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