☉廣東省廣州市花都區(qū)炭步鎮(zhèn)炭步初級(jí)中學(xué) 湯妙娟

對(duì)一道中考題的賞析、探究及反思

☉廣東省廣州市花都區(qū)炭步鎮(zhèn)炭步初級(jí)中學(xué) 湯妙娟

一、題目鑒賞分析

題目（2014年山東淄博·23）如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F、M分別是AB、BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB= AC=BD.連接MF，NF.

（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說明理由.

圖1

1.題目分析

題目設(shè)置本著“面向全體、兼顧選拔、力求創(chuàng)新”的基本原則，遵循“注重基礎(chǔ)，穩(wěn)中求變”的基本思路，既突出了對(duì)數(shù)學(xué)主干知識(shí)的考查，又加強(qiáng)了對(duì)雙基知識(shí)的考查力度，同時(shí)還注重了題目的綜合性.題目設(shè)計(jì)中考查了中學(xué)數(shù)學(xué)的多個(gè)主干知識(shí)，包括相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，等腰三角形三線合一，是一道幾何綜合題，難度不是很大，題目放在試卷中倒數(shù)第二題的位置，得分率偏低.學(xué)生感覺困惑在哪里？讓我們趕緊走近這一道中考題，來體會(huì)題目內(nèi)在的“魅力”.

2.圖形分解

教材是中考命題的主要素材，縱觀近幾年的中考題，每年都有大量的題目直接出自教材，或在教材的基礎(chǔ)上，改造整編，繁衍生息.本題也不例外，細(xì)細(xì)分析，可以把這一題目中的圖形分解為三個(gè)出自教材的基本圖形，分別是：等腰三角形的“三線合一”；三角形的內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)；三角形的高相交于一點(diǎn).三個(gè)基本圖形鏈接精巧，環(huán)環(huán)相扣，渾然一體，盡顯命題者匠心獨(dú)運(yùn)的風(fēng)格，當(dāng)然，這一切都源于思考的魅力.

基本圖形1：等腰三角形的“三線合一”（如圖2）.

圖2

人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)上冊(cè)第13章《軸對(duì)稱》第三節(jié)主要研究等腰三角形，是初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，本題將這一基本的圖形橫放，部分考生就不知道AM⊥BC了（如圖2），說明靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力有待加強(qiáng)，也說明命題人善于從學(xué)生身邊的題目取材，善于從圖形變換中考查學(xué)生的圖形遷移能力.

基本圖形2：三角形的內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)（如圖3）.

圖3

基本圖形3：三角形的高相交于一點(diǎn)（如圖4）.

圖4

三角形的高相交于一點(diǎn)這一基本圖形也是日常練習(xí)題中經(jīng)常見到的，由圖4我們就可以得到很多相等的角和相似三角形，所以我們很容易得到∠CAM=∠CBE.在圖1中，根據(jù)FM∥AC，我們就可以得出∠CAM=∠FMN，進(jìn)而得到∠FMN=∠CBD，這是確定△MFN與△BDC相似的關(guān)鍵.

基于三個(gè)基本圖形的構(gòu)建，就可以輕松地瓦解這一道“難”題了.看來我們可以把“復(fù)雜”的中考題分解為熟悉的簡單圖形，而如何深挖教材，提煉我們熟悉的基本圖形，并對(duì)圖形進(jìn)行深入探究是幾何復(fù)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

二、題目拓展探究

1.提煉基本圖形，感知模型

通過對(duì)這一道中考題目圖形的分解探究，結(jié)合教材的內(nèi)容，在復(fù)習(xí)三角形相似時(shí)，除了平時(shí)學(xué)生們很熟悉的“A型”“X型”“斜截型”“蝴蝶型”“雙高型”“三高型”“反射型”外，筆者還引導(dǎo)、幫助學(xué)生提煉了如圖5所示的基本圖形，為學(xué)生更好地運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，感知基本模型創(chuàng)造了條件.

圖5

通過提煉變式基本圖形，為學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，感知基本的數(shù)學(xué)模型，營造了和諧的氛圍.這樣讓學(xué)生能夠輕松地接受這一基本圖形，為下面的圖形變式探究，打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.探究基本圖形，深化認(rèn)識(shí)

基本圖形給出后，若直接拋出問題，讓學(xué)生去探究，學(xué)生的思維將在教師的牽引下行進(jìn)，主動(dòng)探究的熱情將大打折扣，對(duì)于基本圖形的認(rèn)識(shí)也會(huì)停留在表面上.基于這樣的思考，筆者試圖讓學(xué)生根據(jù)基本圖形或變換圖形，自己設(shè)計(jì)問題，來加深對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí).在展示課上，筆者真正感受到：只要敢于放手，學(xué)生就會(huì)給課堂帶來活力，就會(huì)展示自己的精彩.現(xiàn)把學(xué)生提出問題與解決問題的過程整理如下.

問題1：如圖6，圖中相似三角形有幾對(duì)？

除個(gè)別基礎(chǔ)比較弱的學(xué)生找不全外，大部分學(xué)生能夠輕松找出6對(duì)相似三角形，相似三角形的判定及相似的基本圖形“斜截型”與“蝴蝶型”的知識(shí)，得到了鞏固和提升.

圖6

圖7

問題2：連接AC，如圖7，圖中相似三角形又有幾對(duì)？

問題給出后，學(xué)生們努力尋找新的相似三角形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)并沒有增加新的相似三角形，盡管走了一些“彎路”，但是加深了學(xué)生對(duì)基本圖形的理解，也為進(jìn)一步的探究做好了鋪墊.

問題3：若再連接DE（如圖8），△BDE與△BCA相似嗎？為什么？

問題4：如圖8，△DOE與△AOC相似嗎？為什么？

問題5：如圖8，圖中相似三角形有幾對(duì)？

圖8

圖9

對(duì)于問題3，由△CBD∽△ABE（這是問題1中的一對(duì)相似三角形）得到又因?yàn)椤螧=∠B，所以△BDE∽△BCA.通過兩次相似，最終利用兩邊成比例且夾角相等得出了結(jié)論.

對(duì)問題4的求解更是精彩.

思路1：在探究問題3的基礎(chǔ)上，學(xué)生明白了為了證△DOE∽△AOC，可以先證△AOD∽△COE，得到.又因?yàn)椤螦OC=∠DOE，所以△AOC∽△DOE.

思路2：由問題3可知△BDE∽△BCA，所以∠BDE=∠ACE，而∠EDO=90°-∠BDE，∠CAO=90°-∠ACE，所以∠EDO=∠CAO.又因?yàn)椤螪OE=∠AOC，所以△DOE∽△AOC.通過兩角相等證出兩三角形相似，這是對(duì)問題4的探究的一個(gè)亮點(diǎn).

問題3與問題4掀起了探究基本圖形的高潮，對(duì)于問題3的探究，部分同學(xué)自認(rèn)為DE∥AC，讓問題探究走入了“迷途”，通過小組合作交流才找到問題解決的途徑.在問題3的基礎(chǔ)上探究問題4，學(xué)生的思路更加開闊，通過后面的拓展探究，學(xué)生還可以根據(jù)圓的知識(shí)來解決問題4.將圖8旋轉(zhuǎn)變式得到圖9，通過上面的問題，讓學(xué)生再進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)基本圖形.

筆者讓學(xué)生根據(jù)圖形來設(shè)計(jì)問題，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)挑戰(zhàn)，更是一次鍛煉升華的機(jī)會(huì)，學(xué)生一聽說自己來設(shè)計(jì)題目，興趣大增，個(gè)個(gè)躍躍欲試，當(dāng)然，提出問題比解決問題更困難，但是這種角色的轉(zhuǎn)變，大大提升了學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)熱情，更為關(guān)鍵的是結(jié)合圖形的變式，讓學(xué)生經(jīng)歷了從問題的提出到問題的解決整個(gè)過程，深入思考探究了這個(gè)基本圖形的本質(zhì)，達(dá)到了在思考中運(yùn)用、在運(yùn)用中提升的目的.較好地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中知識(shí)與方法、過程與結(jié)果的和諧統(tǒng)一，真正起到了潤物無聲的效果.

3.拓展基本圖形，活學(xué)活用

圖10

圖11

圖12

如果將圖9與圓結(jié)合，就是一道幾何綜合題了，因此，筆者適時(shí)地將圓引入基本圖形中，讓學(xué)生在知識(shí)的交匯處繼續(xù)拓展探究.

問題6：過A、D、C三點(diǎn)作圓，圓心在哪里？點(diǎn)E在這個(gè)圓上嗎？（讓學(xué)生感知A、D、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，因而得到圖10）

問題7：通過問題6的探究，你對(duì)問題4還有什么新的辦法？

增加條件“AE平分∠BAC”，學(xué)生們還設(shè)計(jì)了下面的問題.

問題8：如圖10，△ABC是什么三角形？（再次回扣中考題的基本圖形“等腰三角形‘三線合一’”）

問題9：試說明DE=CE.

問題10：證明BD·BA=BE·BC.

問題11：若連接OE（如圖11），試說明OE與AB的關(guān)系.

問題12：如圖11，△OEC與△BDE相似嗎？為什么？

由圖11，若只截取A、C、E、D的部分，延長DE與AC相交于一點(diǎn)P，作AB⊥BP，如圖12，這就是2014年瀘州市中考數(shù)學(xué)第24題的圖形.

在圖12中，若AE平分∠BAC，DE=2，PC=AC，又可以設(shè)置很多問題，如下所示.

問題13：證明△PCE∽△PDA.

問題14：證明△ABD∽△ADF.

問題15：求PE的長.

問題16：求⊙O的半徑r.

問題17：求BD的長.

通過拓展探究，再一次提高了學(xué)生的模型識(shí)別能力與知識(shí)的遷移能力，提升了思維的深度.從復(fù)雜的圖形中分離出“基本圖形”，在問題解決中綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，如相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的基本知識(shí)等，使學(xué)生在圖形變化過程中感悟“萬變不離其宗”的道理，讓學(xué)生在一系列的變化過程中識(shí)別基本圖形，從而找到問題的根本解決辦法，達(dá)到“解一題、通一類”的教學(xué)目的.

三、反思

1.教得活是學(xué)得活的前提

在日常的教學(xué)中，如果單從一個(gè)具體的圖形去分析，就提論題，充其量是解決了一個(gè)問題，題目的內(nèi)在價(jià)值將囿于一域，如果立足于題目的基礎(chǔ)之上，提煉出內(nèi)蘊(yùn)的基本圖形，再通過變式，加強(qiáng)對(duì)基本圖形的靈活運(yùn)用，切實(shí)地讓學(xué)生展開探究活動(dòng)，圖形的內(nèi)在價(jià)值才能夠釋放出來.

教材中的習(xí)題都是經(jīng)過專家精心打磨的精品，在幾何復(fù)習(xí)中，如何挖掘題目內(nèi)在的能量，引導(dǎo)學(xué)生從題目中提煉“基本圖形”是關(guān)鍵.在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，不能輕易地讓教育資源流失，要善于通過一系列的圖形變式和一系列的問題串，去開啟學(xué)生的思維之門.

2.方法為先，思維為本

問題是思維的源泉，美國著名的數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過，有了問題，思維才有了方向；有了問題，思維才有了動(dòng)力；有了問題，思維才有了創(chuàng)新.利用基本圖形的變式，讓學(xué)生提出問題，是把“以教為本”的教學(xué)轉(zhuǎn)化為“以學(xué)為本”的教學(xué)的一個(gè)有效策略.學(xué)生不是一個(gè)等待填滿的容器，而是急需點(diǎn)燃的火把.沒有學(xué)生的積極參與，再好的教學(xué)設(shè)計(jì)也會(huì)黯然失色.因此，通過問題的層層推進(jìn)，將學(xué)生的思維激活，讓數(shù)學(xué)知識(shí)不再枯燥，讓課堂不再沉悶，永遠(yuǎn)是一線數(shù)學(xué)教師追求的目標(biāo).筆者認(rèn)為能否為學(xué)生搭建一個(gè)探究的平臺(tái)，為學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展提供原動(dòng)力，是衡量教學(xué)成敗的關(guān)鍵之一.在幾何教學(xué)中，要逐步引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜的圖形簡單化，最終實(shí)現(xiàn)把不會(huì)的問題轉(zhuǎn)化為會(huì)的問題.當(dāng)然，僅從復(fù)雜的圖形中分離出基本的圖形是不夠的，還要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)在綜合性的問題中，構(gòu)造熟悉的基本圖形，教會(huì)學(xué)生方法，讓學(xué)生受益終生.

3.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力十分重要

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》將幾何直觀列為十大核心概念之一.筆者認(rèn)為，在日常教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生從具體的圖形中提煉基本圖形是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要途徑.在具體題目中，應(yīng)充分利用基本圖形的性質(zhì)分析、解決問題，借助基本圖形幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而為學(xué)生幾何推理論證奠定基礎(chǔ).如在復(fù)習(xí)解直角三角形這一章時(shí)，若在教學(xué)中，一會(huì)兒讓學(xué)生計(jì)算河的寬度，一會(huì)兒是旗桿的高度，又是金字塔的高度，課堂上學(xué)生明白的問題，但課后練習(xí)時(shí)若換了題目的“另一張臉”，學(xué)生又摸不著頭了，因此及時(shí)幫助學(xué)生提煉基本圖形十分重要.

圖13

構(gòu)建了基本圖形后，遇到實(shí)際問題時(shí)，讓學(xué)生自己判斷該用哪個(gè)基本圖形，對(duì)于每個(gè)基本圖形，該怎樣分析，然后通過圖形的變式，將實(shí)際生活中的仰角、俯角、方位角融入問題設(shè)計(jì)中，鍛煉學(xué)生從實(shí)際問題中識(shí)破基本圖形的能力，才能真正達(dá)到“做一題、會(huì)一類”的目的，才能讓學(xué)生脫離題海，最終實(shí)現(xiàn)為學(xué)生減負(fù).

四、結(jié)束語

多年的教學(xué)經(jīng)歷，讓筆者越來越感受到探究數(shù)學(xué)教學(xué)的“奧妙”是一段沒有終點(diǎn)的旅程，是一本只有逗號(hào)、沒有句號(hào)的“經(jīng)卷”，不管怎樣，筆者會(huì)堅(jiān)持不懈地走下去，持之以恒地向教育前輩學(xué)習(xí)、向雜志學(xué)習(xí)、向身邊的榜樣學(xué)習(xí)，相信功夫不負(fù)有心人.Z