☉甘肅省酒泉市第四中學 徐玉慶

中、新兩國初中數(shù)學習題綜合難度比較研究
——以人教版、新加坡教材中“三角形有關的角”為例

☉甘肅省酒泉市第四中學 徐玉慶

一、引言

目前國內(nèi)在綜合難度模型方面的研究還不是很多，尤其是將綜合難度模型應用在國際比較教育方面還不常見，比較典型的有學者鮑建生、史寧中等對初中數(shù)學教材難度進行了定量分析，建立了課程難度模型；賈隨軍在鮑建生、史寧中建立的“探究、背景、運算、推理和知識含量五個因素的基礎上”進行了微調(diào)，同時對中國與美國初中數(shù)學教材中“三角形有關的角”中的習題進行了難度模型比較.本文將在賈隨軍教授的基礎上，對中國、新加坡兩國初中數(shù)學教材中的“三角形的有關角”的習題進行難度模型比較.首先，統(tǒng)計各因素上每個水平層次中的習題的題量及百分比；其次，根據(jù)等級權重利用下面的公式計算中、新教材在每個因素上的加權平均（i=1、2、3、4、5）分別為“認知”“背景”“運算”“推理”“知識含量”五個難度因素上的取值；dij為第i個難度因素的第j個水平權重（水平分別取1、2、3、…）；nij則表示這組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n.根據(jù)分析和計算我們得到表2所示的分析數(shù)據(jù).

二、樣本選取

在考慮到購買教材的便利性的基礎上，選取了人教版教材、New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal（Academic）Singapore來進行比較研究.

表1 ：樣本教材及習題總數(shù)

本文中的習題包含中國教材“三角形的有關角”中的“合作探究”“練習”“復習鞏固”“綜合應用”“拓廣探索”等；新加坡教材“三角形有關的角”中的“例題（Example）”“練習（Exercise 6C、6D）”.從表1中統(tǒng)計的習題數(shù)量上可以看出，人教社教材和新加坡教材中的習題數(shù)量基本一樣.

三、綜合難度模型

表2 ：兩國數(shù)學教材習題綜合難度數(shù)據(jù)分析

1.數(shù)學認知因素水平的差異性

兩種教材在“理解”因素上差異性不是很大，“運用”因素水平的習題數(shù)據(jù)表明，人教社教材比新加坡教材高出約5個百分點；對于“分析”因素水平的習題，人教社教材比新加坡教材低了2個百分點.

人教社教材對于習題的處理更加“整體化”“綜合化”，如圖1（教材第82頁）所示，直接給出所有的條件，計算∠BAC的度數(shù)，所以學生在解決問題的過程中就要將問題“碎片化”，從而建立解題策略，“分析”水平相對較高，新加坡教材的“分析”水平相對也很高（如圖2，教材第189頁），但是新加坡教材也有自己的特點，對于題目的處理也具有“低起點”“碎片化”的特點.

圖1

圖2

2.背景因素的水平的差異性

人教社教材比新加坡教材高約12個百分點.在統(tǒng)計的過程中，我們發(fā)現(xiàn)新加坡教材沒有一道題目有背景，全部習題都是純粹的數(shù)值和符號運算.

3.運算因素的水平比較

在運算水平上，兩個國家的分析走勢基本上相同，兩種教材的主要運算形式是“數(shù)值運算”，“無運算”習題的比例都很低.而在“簡單符號運算”中，新加坡教材比人教社教材高約17個百分點.

4.推理因素的水平的差異性

兩種教材中“無推理”因素水平的習題所占比例并沒有明顯的差異，人教社教材中沒有無推理的題目；屬于“簡單推理”水平的習題相差也不是很大，從統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材對于習題的推理要求都很高，我們發(fā)現(xiàn)，人教社教材對習題的推理水平是兩種教材中較高的.

5.綜合知識因素的水平的差異性

對于“1個知識點”和“2個知識點”，兩種教材的要求基本一致，但是，對于“3個及以上知識點”習題的要求不同，人教社教材比新加坡教材高出近9個百分點.

6.綜合難度的比較

前面我們已經(jīng)通過五個難度因素對三種教材進行了詳細比較，在此基礎上我們將利用綜合難度模型綜合難度值.通過對表2中加權平均值的統(tǒng)計，得到下面的雷達圖（如圖3）.

圖3 ：兩種教材的綜合難度模型

如圖3所示，在認知水平方面，人教社教材和新加坡教材基本一致；在背景方面，人教社教材含背景的習題比新加坡教材的要多，而且從圖中發(fā)現(xiàn)兩個五邊形在背景方面都有向內(nèi)傾的趨勢，說明在教材習題的設計上關于實際背景的題目偏少；在運算水平方面，新加坡教材相對較高；在推理方面，人教社教材較高；在知識含量方面，人教社教材基本上每個題目都包含2個知識點，3個及以上的知識點的習題數(shù)量也是遠高于新加坡教材的.

四、啟示

首先，中國和新加坡教材對學生的綜合推理能力要求都較高.新加坡教材處理習題更加注重層次化、碎片化，即將一個綜合問題分解成若干小問題，這和目前國內(nèi)通用的導學案有相同之處，意在引導學生獨立解決問題.人教社教材更注重推理的綜合化、模塊化，對學生綜合能力的要求相對較高.所以新加坡教材對于習題的處理方面值得中國教材借鑒.

其次，在背景因素水平方面，新加坡教材完全是單一的數(shù)值符號運算，沒有一道題目有實際背景；同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材在習題背景的設計上有著相同之處，大部分題目都是直接的推理計算，沒有給出題目的實際生活背景.所以我們在教材習題的設計過程中，要更加注重教材和現(xiàn)實生活的聯(lián)系，讓學生感受到知識來源于生活，同時服務于生活，讓學生學習有用的知識.

最后，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材在“運算”“推理”方面有共同之處，更加強調(diào)學生解決問題的綜合能力，更加注重學生的運算推理能力；但是新加坡教材則注重問題的引導及問題的生活化，每道題目起點都比較低，學生利用簡單的計算和推理就能解決，對于復雜的題目也是以同樣的處理方式，新加坡教材的大部分題目也是起點比較低，易于學生嘗試去解決，值得中國初中數(shù)學教材的編寫借鑒.

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*本文是重慶市渝中區(qū)教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度重點課題“人教版初高中數(shù)學課標教材中旁白的研究”（課題批準號：2013-001，課題負責人：黃益全）的研究成果.