杜 燕,彭可歌

根據(jù)市場特點(diǎn)和投資理論,條件風(fēng)險價值(Conditional Value-at-Risk,CVaR)在度量短期模型的風(fēng)險大小中有重要作用[1,2].2003年,Landsma等給出了基于總理賠額正態(tài)近似分布的CVaR的計算結(jié)果[3].個別索賠額服從指數(shù)分布是一類重要的保險模型,在個別風(fēng)險模型中,總理賠額服從伽馬分布.2005年,Landsma等給出了伽馬分布的CVaR計算結(jié)果[4].筆者通過卷積法計算聚合風(fēng)險模型中總理賠額,進(jìn)而得到聚合風(fēng)險模型的CVaR的計算公式.

定義1[5]損失變量L在置信水平α下的風(fēng)險價值(Value-at-Risk,VaR)為

定義2[6]損失變量L在置信水平α下的條件風(fēng)險價值(CVa R)為

引理[7]損失變量L的分布函數(shù)為FL(x),有,其中πα為FL(x)的α分位點(diǎn).

定理 在短期聚合風(fēng)險模型中,若個體索賠額服從均值為θ的指數(shù)分布,理賠次數(shù),則總理賠額S在置信水平α下的CVa R為

證 根據(jù)卷積方法,由全概率公式

其中F*n(x)為個別索賠額X的n重卷積分布函數(shù).

N=n時,X1,X2,...,Xn服從,由伽馬分布的可加性,X1+X2+...+Xn的分布為,即X1+X2+...+Xn的分布函數(shù)為

根據(jù)式(1)、(2),有

根據(jù)伽馬函數(shù)的性質(zhì)[8],

下面計算積分

記

有

將式(8)代入式(9)得到

又根據(jù)伽馬函數(shù)的性質(zhì)

將式(11)代入式(9)得

將式(12)代入式(6)得

而根據(jù)引理,有

將式(13)代入式(12)得

其中,πα為FS(x)的α分位點(diǎn),根據(jù)式(14)和式(5),有

參考文獻(xiàn):

[1]黎子良,邢海鵬.金融市場中的統(tǒng)計模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]Hans Follmer,Alexander Schied.Stochastic Finance:An Introduction in Discrete Time[M].Berlin:Walter de Gruyter,2004:177-183.

[3]Landsman Z,Valdez E.Tail Conditional Expectations for Elliptical Distributions[J].North American Actuarial Journal,2003,7(4):55-71.

[4]Landsman Z,Valdez E.Tail Conditional Expectations for Exponential Dispersion Models[J].ASTIN Bulletin,2005,35(1):189-209.

[5]Artzner P,Delhaen F,Eber M,et al.Coherent measures of risk[J].Mathematical Finance,1999(9):203-208.

[6]Acerbi C,Tasche D.On the coherence of expected shortfall[J].Journal of Banking and Finance,2002,26(7):1487-1503.

[7]肖爭艷.精算模型[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2013.

[8]Stuart A K,Harry H P,Gordon W.Loss Models:From Data to Decisions[M].New Jersey:John Wiley&Sons,1998:84-86.