因福建省順昌實(shí)驗(yàn)小學(xué) 黃美芳

“先學(xué)后教”讓概念教學(xué)綻放異彩
——以葉中位數(shù)堯眾數(shù)曳的教學(xué)為例

因福建省順昌實(shí)驗(yàn)小學(xué) 黃美芳

采用“先學(xué)后教”的模式組織概念教學(xué)，使概念教學(xué)富于活力、張力。它有助于提高問(wèn)題的有效性；有助于準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)；有助于建構(gòu)與這一概念相關(guān)的“概念圖”。

先學(xué)后教；概念教學(xué)；概念圖

余文森教授提出的三條教學(xué)“鐵律”：鐵律之一，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)能夠自己閱讀教材和自己思考的時(shí)候，就要讓他們自己去閱讀和思考；鐵律二，當(dāng)學(xué)生不能獨(dú)立閱讀和思考問(wèn)題的時(shí)候，教師要把教學(xué)著眼點(diǎn)放在教學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀和學(xué)會(huì)思考上面；鐵律三，一切教學(xué)都必須從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)。在這一理念指導(dǎo)下，筆者進(jìn)行“先學(xué)后教”的教學(xué)實(shí)踐。這里以概念教學(xué)為例，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

概念是數(shù)學(xué)的基本細(xì)胞，概念之間形成“網(wǎng)絡(luò)”就構(gòu)成了數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及許多基本的數(shù)學(xué)概念，它們是數(shù)學(xué)大廈的基石。而以往靠記憶、背誦概念、模仿的教學(xué)方式，“使數(shù)學(xué)這位光彩照人的科學(xué)女王變成X光下的骷髏”（張奠宙教授語(yǔ)），其結(jié)果是學(xué)習(xí)過(guò)程生澀無(wú)趣，學(xué)習(xí)內(nèi)容如“無(wú)水之源”，學(xué)習(xí)效果可想而知?！跋葘W(xué)后教”的教學(xué)模式把“骨感”的概念教學(xué)變得鮮活而富于張力,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性，同時(shí)落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣”等培養(yǎng)目標(biāo)。

一、“先學(xué)后教”有助于提高問(wèn)題的有效性

美國(guó)教育家胡佛指出：“整個(gè)教學(xué)的最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生正確提出問(wèn)題和回答問(wèn)題的能力，任何時(shí)候都應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)。”可教學(xué)實(shí)踐告訴我們：標(biāo)新立異或缺乏思考的問(wèn)題會(huì)使課堂陷入低效的沼澤。怎樣才能正確提出問(wèn)題？實(shí)踐證明：對(duì)問(wèn)題有一定感知的前提下，才能“正確提出問(wèn)題”，從而提高課堂問(wèn)題的有效性。

以《中位數(shù)、眾數(shù)》為例進(jìn)行說(shuō)明：通過(guò)教學(xué)前測(cè)，筆者發(fā)現(xiàn)預(yù)習(xí)后學(xué)生能模仿例題正確找眾數(shù)，僅有個(gè)別學(xué)生能正確的找中位數(shù)。訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)眾數(shù)這一概念的理解達(dá)到事實(shí)性水平，而對(duì)中位數(shù)概念把握不夠準(zhǔn)確。教學(xué)中安排兩個(gè)環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一，反饋預(yù)習(xí)，找準(zhǔn)起點(diǎn)。學(xué)生提出“什么是中位數(shù)？什么是眾數(shù)？”這兩個(gè)問(wèn)題并圍繞這兩個(gè)問(wèn)題展開(kāi)交流；環(huán)節(jié)二，復(fù)習(xí)鋪墊，引發(fā)思考?；卮稹癤XX同學(xué)前5單元數(shù)學(xué)平均成績(jī)是97分，你從這個(gè)97可以分析出哪些信息？平均數(shù)怎樣計(jì)算的？”這兩個(gè)問(wèn)題，先復(fù)習(xí)平均數(shù)的相關(guān)知識(shí)，再啟發(fā)學(xué)生思考：平均數(shù)能代表一組數(shù)據(jù)的一般水平，學(xué)習(xí)中位數(shù)、眾數(shù)有什么用處？中位數(shù)、眾數(shù)本質(zhì)是什么？中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)之間的聯(lián)系、區(qū)別是什么？

有了預(yù)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生有“話”可說(shuō)，較快地進(jìn)入學(xué)習(xí)的狀態(tài)，課堂生成也為教師將“如何教”提供一個(gè)真實(shí)有效依據(jù)。復(fù)習(xí)鋪墊環(huán)節(jié)激活學(xué)生思維，通過(guò)復(fù)習(xí)舊知引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，教學(xué)生從追問(wèn)“是什么”“有什么用”“有什么聯(lián)系”等方面提出問(wèn)題，不僅培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力，也為后續(xù)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)教學(xué)提供準(zhǔn)備。

二、“先學(xué)后教“有助于把握概念的本質(zhì)

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾有過(guò)這樣精辟的論述：“在實(shí)際的科學(xué)研究工作中，多數(shù)定義不是事先想好的，而是組織、推理的結(jié)果。學(xué)生應(yīng)該有這個(gè)權(quán)利，讓他們自己來(lái)發(fā)現(xiàn)，這樣既直觀、自然，又有相對(duì)性，可以充分體會(huì)定義的必要和作用，并且掌握等價(jià)的定義?！薄跋葘W(xué)后教”的教學(xué)模式能讓學(xué)生“自己來(lái)發(fā)現(xiàn)”并理解定義的“相對(duì)性”“體會(huì)定義的必要與作用”，從而準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)。《中位數(shù)、眾數(shù)》的教學(xué)筆者分為兩個(gè)階段。

第一階段：“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的局限性

情境一：“張村有個(gè)張千萬(wàn)，隔壁九個(gè)窮光蛋，平均起來(lái)算一算，人人都是張百萬(wàn)。”問(wèn)題串：從統(tǒng)計(jì)的角度你能讀出哪些信息？平均數(shù)“張百萬(wàn)”能代表這些人財(cái)產(chǎn)的一般水平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由？用幽默夸張的打油詩(shī)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生從統(tǒng)計(jì)角度收集信息，分析信息的合理性，在這個(gè)過(guò)程學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突。通過(guò)“窮光蛋”“張百萬(wàn)”的對(duì)比認(rèn)識(shí)到“平均數(shù)”的局限性，為中位數(shù)、眾數(shù)概念產(chǎn)生的必要性提供鮮明、生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)原型。

第二階段：“體會(huì)”眾數(shù)、中位數(shù)的必要性及作用

（1）體會(huì)眾數(shù)的必要性及作用追問(wèn)：這組信息中誰(shuí)更能表示他們的財(cái)產(chǎn)水平？為什么？通過(guò)思考，學(xué)生得出9個(gè)人都是“窮光蛋”，“窮光蛋”更能代表大多數(shù)人的財(cái)產(chǎn)水平，所以用“窮光蛋“更合理。平均數(shù)”張百萬(wàn)“顯然不能“用”了，而像“窮光蛋“這樣的量又叫什么？眾數(shù)的本質(zhì)是學(xué)生經(jīng)歷著“火熱”的思考的結(jié)果。在這個(gè)過(guò)程中枯燥的眾數(shù)的定義變得直觀、生動(dòng)起來(lái)：它指統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻次最多的數(shù)據(jù)，它也用來(lái)代表數(shù)據(jù)的一般水平。

（2）體會(huì)中位數(shù)的必要性及作用

“窮光蛋”的財(cái)產(chǎn)水平究竟是多少呢？讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)字的精確性，結(jié)合生活調(diào)查，把文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)信息。情境二：1000萬(wàn)、15萬(wàn)、32萬(wàn)、26萬(wàn)、13萬(wàn)、16萬(wàn)、35萬(wàn)、48萬(wàn)、20萬(wàn)、23萬(wàn)。問(wèn)題串：估一估他們平均每戶財(cái)產(chǎn)是多少萬(wàn)元？能用平均數(shù)表示這10戶人財(cái)產(chǎn)的一般水平嗎，請(qǐng)說(shuō)明理由？多少萬(wàn)元能代表他們財(cái)產(chǎn)的一般水平？從數(shù)據(jù)角度再次突出平均數(shù)的“局限性”，使學(xué)生在“發(fā)現(xiàn)、好奇”中產(chǎn)生探索的動(dòng)力?！岸嗌偃f(wàn)元能代表他們財(cái)產(chǎn)一般水平？”平均數(shù)不合適，沒(méi)有眾數(shù)，只有中位數(shù)，看來(lái)中位數(shù)也是用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的一般水平的，中位數(shù)的必要性與作用不是由教師告知，而是解決問(wèn)題的需要，學(xué)生內(nèi)部的需要使學(xué)習(xí)更加深刻。

反饋中位數(shù)計(jì)算結(jié)果：個(gè)別認(rèn)為是24.5萬(wàn)，大部分支持14.5萬(wàn)。在分歧中暴露學(xué)生的困惑：是否要排序？排序的作用？在教學(xué)前測(cè)中發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)找中位數(shù)時(shí)忽略排序這一環(huán)節(jié)，產(chǎn)生問(wèn)題的根本原因是沒(méi)有理解中位數(shù)的本質(zhì)。根據(jù)余文森教授的鐵律二，指導(dǎo)學(xué)生再讀文本后展開(kāi)討論，他們發(fā)現(xiàn)如果不排序，誰(shuí)都可以是中位數(shù)，這樣中位數(shù)就沒(méi)有意義了。學(xué)生眼里的中位數(shù)像一條分界線，把數(shù)據(jù)平均分成比它大和比它小的兩類，有的時(shí)候比平均數(shù)更“真實(shí)”（相對(duì)性）。這樣對(duì)中位數(shù)概念本質(zhì)的把握更準(zhǔn)確、深刻。

三、“先學(xué)后教“有助于建構(gòu)概念圖

教育家蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“兒童在學(xué)習(xí)中遇到困難的原因之一就是知識(shí)往往變成了不能移動(dòng)的重物，知識(shí)被積累起來(lái)似乎是‘為了儲(chǔ)備’,它們不能進(jìn)入周轉(zhuǎn)……?！薄跋葘W(xué)后教”遵循“一切從學(xué)生實(shí)際出發(fā)”的理念，有限的40分鐘關(guān)注知識(shí)的困惑處，還關(guān)注運(yùn)用（知識(shí)周轉(zhuǎn)）的困難處，通過(guò)梳理建構(gòu)概念圖，幫助學(xué)生搭起“學(xué)會(huì)”到“活用”的橋梁。在《中位數(shù)、眾數(shù)》教學(xué)中，筆者安排這道練習(xí)實(shí)現(xiàn)概念圖的建構(gòu)：美國(guó)某市競(jìng)選市長(zhǎng)，每個(gè)候選人已經(jīng)算出了這座城市有代表性的居民收入并希望以此來(lái)助選。A是原市長(zhǎng)這次再次參選，他說(shuō)：“這座城市去年經(jīng)濟(jì)發(fā)展很好，每人的周平均收入是2000美元。我能讓他保持這種發(fā)展?！碧魬?zhàn)候選人B說(shuō)：“這座城市去年經(jīng)濟(jì)發(fā)展不錯(cuò)，每周人均收入只有100美元，我能讓它發(fā)展得更好！”。挑戰(zhàn)候選人C說(shuō)：“我要重建這座城市，它太可怕了，人們的平均周收入是0美元！我有能力重建這座城市。”

他們都沒(méi)有撒謊，這座城市只有16位居民，他們的周收入是0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、30600美元。

（1）解釋三位競(jìng)選人是怎樣得到他們各自的平均收入的。通過(guò)計(jì)算你同意他們中的哪位？

（2）這座城市是否有人的收入是平均數(shù)？為什么？

（3）是否有的人收入是眾數(shù)？為什么？

（4）你是怎樣看待居民代表性的收入的？為什么？

（5）如果有4個(gè)人從其他地方搬到這座城市，他們每人的周收入是200美元，那么平均數(shù)、中位數(shù)、和眾數(shù)會(huì)有怎樣的變化呢？

“解釋一下他們是怎樣得到各自平均收入的？”平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)出現(xiàn)在同一個(gè)情境中，讓學(xué)生追本溯源的過(guò)程中，鞏固各個(gè)概念的形成，還讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)它們的共性：統(tǒng)計(jì)中用來(lái)反映一組數(shù)據(jù)趨勢(shì)的量（“一個(gè)代表性的數(shù)”）?！澳阃馑麄冎械哪奈唬俊弊寣W(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)從理性的角度進(jìn)行分析，作出判斷，這一過(guò)程是活用知識(shí)的過(guò)程，學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性，同一信息可以從不同角度去思考，可做到有“理”有據(jù)。辨別真理與歪理需要理性的思考，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)的理性精神及批判能力。學(xué)生解決第（5）個(gè)問(wèn)題后引導(dǎo)學(xué)生與第（1）題對(duì)比，發(fā)現(xiàn)引起三個(gè)統(tǒng)計(jì)量變化的因素是什么。這個(gè)情境的問(wèn)題串的設(shè)計(jì)讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中理解各個(gè)概念，準(zhǔn)確把握各概念的本質(zhì)同時(shí)實(shí)現(xiàn)概念圖的建構(gòu)。

“好風(fēng)會(huì)借力，送生上青云?！睂?shí)踐證明，學(xué)生預(yù)習(xí)后的“會(huì)”只是對(duì)知識(shí)有個(gè)初步感知，妥善引導(dǎo)利用，這個(gè)“會(huì)”能激起學(xué)習(xí)熱情；這個(gè)“會(huì)”將是終身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)；這個(gè)“會(huì)”讓課堂充滿智慧，生成更多的精彩。

（責(zé)任編輯：陳志華）