柯曾蓮

學(xué)生常言“幾何頭，代數(shù)尾，還有函數(shù)追命鬼”。這句話說明了《圖形與幾何》在初中數(shù)學(xué)中一直處于“兩難”的位置——學(xué)生難學(xué)，教師難教。而對(duì)于這個(gè)內(nèi)容，《新課標(biāo)》明確規(guī)定，數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和空間觀念，形成幾何直觀能力，發(fā)展形象思維與抽象思維;在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展合情推理和演繹推理能力。這種巨大的反差讓我們時(shí)常深思，如何消除學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙呢？

一、過好興趣關(guān)，消除心理障礙

興趣是入門的先導(dǎo)，學(xué)生學(xué)習(xí)的最大動(dòng)力乃是對(duì)所學(xué)材料的興趣。這說明興趣教學(xué)起著至關(guān)重要的作用。

結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和幾何的學(xué)科特點(diǎn)，舉出一些學(xué)生由于學(xué)了幾何而帶動(dòng)數(shù)學(xué)成績(jī)整體提高的實(shí)例;在課堂教學(xué)中，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容從幾何的實(shí)用性、趣味性、幾何推理的嚴(yán)密性和邏輯性等激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。告訴學(xué)生，學(xué)習(xí)的目的就是訓(xùn)練人的邏輯思維能力，使人變得聰明，考慮問題周密，所以聰明人說“幾何幾何，越學(xué)越活”，蠢笨的人說“幾何幾何，腦袋想破”。誰(shuí)還想當(dāng)蠢笨的人呢？這樣，便可從思想上消除畏懼心理。

利用幾何直觀、多媒體資源，嘗試Z+Z課件平臺(tái)和幾何畫板工具把抽象的幾何知識(shí)，更形象直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等方法和直觀可信的畫面，使得課本上“死”的幾何知識(shí)能在屏幕上“活”起來，動(dòng)靜結(jié)合易于學(xué)生理解和接受，使學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

教材為學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐提供了素材，教師應(yīng)為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間。如在學(xué)習(xí)全等三角形的時(shí)候，可以讓學(xué)生剪一些全等的三角形，通過圖形變換的幾種方式拼成各種圖案，這能為三角形全等找對(duì)應(yīng)元素提供很大的幫助。又如在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱時(shí)，讓學(xué)生利用軸對(duì)稱的性質(zhì)剪窗花、設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案等，可使學(xué)生明確數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活，利用幾何知識(shí)還可以美化生活，深信學(xué)習(xí)幾何是必要的，也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、過好語(yǔ)言關(guān)，消除交流障礙

我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生害怕學(xué)習(xí)幾何的一個(gè)重要原因是幾何語(yǔ)言不過關(guān)，在學(xué)習(xí)中，不能有效地應(yīng)用幾何語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)、交流和思維。為此先得過好語(yǔ)言關(guān)，力求使語(yǔ)言準(zhǔn)確規(guī)范。

要讓學(xué)生弄清字母、幾何術(shù)語(yǔ)、定義、公理、定理等的意義和規(guī)范。如：一個(gè)小寫字母幾何里表示一條直線或線段，代數(shù)里卻可以表示任何一個(gè)數(shù);一個(gè)大寫字母代數(shù)里表示一個(gè)代數(shù)式，而在幾何里卻只能表示一個(gè)點(diǎn);兩個(gè)大寫字母表示線，三個(gè)大寫字母表示角和三角形（或者弧線、折線），四個(gè)大寫字母表示四邊形，多個(gè)大寫字母表示多邊形等等，要求學(xué)生動(dòng)口說和動(dòng)手寫的時(shí)候都要先“安上姓再附上名”，這就和我們?nèi)说拿忠粯印?/p>

注重三類語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。幾何語(yǔ)言指圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，這三種語(yǔ)言通常是并存的，將三者之間相互轉(zhuǎn)換，是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的基本功之一。要訓(xùn)練學(xué)生多說、多寫、多畫，逐步做到幾何語(yǔ)言準(zhǔn)確簡(jiǎn)練，繪制圖形正確清晰，符號(hào)語(yǔ)言使用規(guī)范，建立起三者的有機(jī)聯(lián)系，教師先當(dāng)好“翻譯”，逐步使學(xué)生自己成為“翻譯”。如角平分線（圖1）是其圖形語(yǔ)言，其符號(hào)語(yǔ)言應(yīng)該表述為“OC平分∠AOB或∠AOC=∠BOC=[12]∠AOB”;再如等腰梯形，（圖2）是其圖形語(yǔ)言，其符號(hào)語(yǔ)言應(yīng)為“梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD”。只有這樣，學(xué)生才能和數(shù)學(xué)文本順暢地進(jìn)行交流。

<F：＼TM＼中小學(xué)＼2015＼2期＼t2q-7.tif><F：＼TM＼中小學(xué)＼2015＼2期＼t2q-6.tif>

三、過好推理關(guān)，消除思維障礙

推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，圖形與幾何教學(xué)的重要任務(wù)之一是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，推理又是形成思維能力的基礎(chǔ)。課標(biāo)要求：“推理證明的教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)證明基本方法的掌握和證明過程的體驗(yàn)，證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理?！蓖评砟芰Φ男纬珊吞岣咝枰粋€(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的訓(xùn)練過程。

對(duì)于推理格式、步驟的訓(xùn)練，教師要當(dāng)好“領(lǐng)路人”。訓(xùn)練要有的放矢，輔導(dǎo)要及時(shí)耐心，點(diǎn)撥要精心啟發(fā)。訓(xùn)練步驟由一步、兩步到三步。如“因?yàn)橛写怪保杂兄苯恰?，“因?yàn)橛械谌龡l直線與兩平行直線相交，所以有角相等或互補(bǔ)”，“因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以有?duì)邊等對(duì)角等對(duì)角線平分”。開始是教師“建模版”，學(xué)生“套內(nèi)容”，模板“套”多了，對(duì)條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系清楚了，自然就熟練了。

對(duì)于有理有據(jù)地推理證明，教師要當(dāng)好“幫扶手”。讓學(xué)生經(jīng)歷“模仿→分析思路→選擇方法→推理證明”的過程，重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生找準(zhǔn)推理的切入點(diǎn)、推理過程的表述、檢查推理是否有理有據(jù)。為了訓(xùn)練推理的條理性，教師可以示范一些關(guān)聯(lián)詞，如：“因?yàn)椤浴?“又因?yàn)椤浴?。?duì)于復(fù)雜的推理過程，就要理清各個(gè)條件之間的層次關(guān)系（如因果關(guān)系、并列關(guān)系等），這樣的訓(xùn)練推理過程銜接自然，順理成章。

對(duì)于邏輯推理方法、解題思路分析的訓(xùn)練。教師的作用就是“穿針引線”。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生用分析法和綜合法來思考，設(shè)置系列問題串，引導(dǎo)學(xué)生用分析法由這些問題串“執(zhí)果索因”形成解題思路。然后放手讓學(xué)生用綜合法“由因?qū)Ч庇袟l理地寫出推理過程。這樣長(zhǎng)期堅(jiān)持，既可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，又可以養(yǎng)成學(xué)生思維的好習(xí)慣。

例：如圖3，AD平分∠BAC，∠BAC+∠ACD=180°，E在AD上，BE的延長(zhǎng)線交CD于F，連CE且∠1=∠2，求證：AB=AC.

<F：＼TM＼中小學(xué)＼2015＼2期＼t2q-8.tif>

教學(xué)時(shí)可設(shè)置下列問題串：

（1）AB與AC在哪兩個(gè)三角形里？怎樣才能證明它們相等？

（2）要證明△ACE≌△ABE，隱含條件是什么？還需知道幾個(gè)條件？

（3）還能找到邊等的條件嗎？有角等的條件嗎？∠2可能和那個(gè)角相等？

（4）∠1=∠2，還需要證明出誰(shuí)和∠1相等就可以了？

（5）如何證明∠1=∠B？條件是怎樣的？

學(xué)生經(jīng)過思考得出如下思路：

分析思路—→

[ ? ? ?AB=AC← ? ? ?ΔACE?ΔABE←∠2=∠B←∠1=∠2（已知）∠1=∠B←CDAB←∠BAC+∠ACD=180?（已知）∠CAB=∠DAC←AD平分∠BACAE=AE（公共邊）]

←—推理過程

有了這樣的思路，學(xué)生自己寫出證明過程就輕而易舉了。

引導(dǎo)學(xué)生探索證明同一命題的不同思路和方法，進(jìn)行比較和討論激發(fā)學(xué)生對(duì)幾何證明的興趣，訓(xùn)練他們思維的廣闊性和靈活性。教師要學(xué)會(huì)“放風(fēng)箏”。通過一題多解、一題多變、變式訓(xùn)練和開放性聯(lián)系等方式培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，豐富解決問題的方法和策略。

例：如圖4：已知[?]ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).連接AF、CE。

（下轉(zhuǎn)第32頁(yè)）

（上接第29頁(yè)）

求證：四邊形AFCE是菱形.

<F：＼TM＼中小學(xué)＼2015＼2期＼t2q-9.tif>

對(duì)于此例，我首先提出了以下問題：

（1）你能用哪些方法推理？

學(xué)生經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的思考后得出了以下思路：

（1）證△AOE≌△COF→AE=CF，AE∥CF→[?]AECF，EF⊥AC→菱形AECF

（2）證△AOE≌△COF，再證△AOF≌△COE→AE=CF，AF=CE→[?]→AECF，AE=EC→菱形AECF

（3）證△AOE≌△COF→AE=CF，AE=EC，AF=CF→AE=CE=CF=AF→菱形AEC

（4）證△AOE≌△COF→OE=OF，AO=CO→[?]AECF，EF⊥AC→菱形AECF

接著提出問題：（2）看看哪些方法較簡(jiǎn)單？

結(jié)論顯而易見，這樣的過程既讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決了問題，又讓學(xué)生進(jìn)行了思維類比，提升了學(xué)生的思維水平。

四、過好反思關(guān)，消除應(yīng)用障礙

堅(jiān)持讓學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)過程，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，消除應(yīng)用障礙可以為學(xué)生后繼的學(xué)習(xí)奠定較好的基礎(chǔ)。如在學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)和判定以后，我們做了下列小結(jié)：平行四邊形我們研究的內(nèi)容是：邊、角、對(duì)角線三方面的特征;研究的步驟是“下定義→探性質(zhì)→研判定”;研究的方法是“通過觀察、猜想、證明，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，從對(duì)性質(zhì)定理的逆命題討論中研究判定定理”。所以在學(xué)習(xí)特殊平行四邊形時(shí)可以用類比的思想方法來研究特殊平行四邊形性質(zhì)和判定。這樣，學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中就有了方向、目標(biāo)和方法。

對(duì)于比較抽象的內(nèi)容，把它編成歌訣、順口溜來輔助記憶。學(xué)習(xí)討論中點(diǎn)四邊形時(shí)探討發(fā)現(xiàn)，利用三角形的中位線定理，把中點(diǎn)四邊形的邊轉(zhuǎn)化為以原四邊形的對(duì)角線為第三邊的三角形中位線，中點(diǎn)四邊形的形狀只與原四邊形的兩條對(duì)角線的關(guān)系有關(guān)。所以我們一起把中點(diǎn)四邊形規(guī)律總結(jié)成如下歌訣：不看角不看邊，只看原來的對(duì)角線;相等是菱形，垂直是矩形，其他都為平行四邊形，這些歌訣和順口溜，數(shù)形結(jié)合、形象直觀、生動(dòng)有趣、易于記憶，也積累了學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，還可以養(yǎng)成學(xué)生自己總結(jié)規(guī)律的好習(xí)慣。

（責(zé)任編輯：張華偉）