數(shù)學(xué)欣賞：數(shù)學(xué)教學(xué)的新視角

☉江蘇省南京市寧海中學(xué)分校卜以樓

一、寫在前面的話

日前，筆者應(yīng)邀赴烏魯木齊與新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué)初二學(xué)生合作了一節(jié)“‘形內(nèi)外’與‘正負(fù)性’”的數(shù)學(xué)欣賞課.這節(jié)數(shù)學(xué)欣賞課說的是在圖形的位置關(guān)系變化引發(fā)數(shù)量關(guān)系變化下的一些更具有欣賞性的數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究與欣賞的相關(guān)問題.由于在數(shù)學(xué)欣賞這個教學(xué)園地里，與初中課堂教學(xué)相配套的教學(xué)資源目前不是太多，那么本文所涉獵的也只能是筆者開發(fā)“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”這一教學(xué)資源過程中的一些想法與做法，以引發(fā)同仁更多的實踐與思考，并寄期望有更多數(shù)學(xué)欣賞教學(xué)成果的涌現(xiàn).

二、“學(xué)習(xí)資源”的呈現(xiàn)

筆者為“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”這一數(shù)學(xué)欣賞課開發(fā)了下列學(xué)習(xí)、欣賞資源.

素材1：已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，若線段AB=a，BC=b（a＞b），求AC.

素材2：已知∠ABC=α，∠ABD=β（α＞β），求∠CBD.

素材3：已知直線AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，P點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)（不在直線AB、CD上），連接PE、PF.（1）如圖1，探究∠BEP、∠DFP、∠P間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，探究∠BEP、∠DFP、∠P間的數(shù)量的關(guān)系.

圖1

圖2

素材4：如圖，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直線AB經(jīng)過點(diǎn)C，DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分別為A、B.

（1）當(dāng)AB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，判斷線段AB與 AD、BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)AB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖4位置時，判斷線段AB與AD、BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖4

圖3

素材5：如圖，在△ABC中，

（1）如圖5，若∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，請你探究∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖6，若∠ABC、∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)O′，請你探究∠B O′C與∠A之間的數(shù)量關(guān)系.

圖5

圖6

素材6：如圖，把△ABC的紙片沿DE折疊.

（1）如圖7，若點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，請?zhí)骄俊螦′、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖8，若A點(diǎn)落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A′的位置，請?zhí)骄俊螦′、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系.

圖7

圖8

素材7：已知△ABC中，AB=AC.

（1）如圖9，若點(diǎn)D為BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，CM⊥AB于M，求證：CM=DE+DF；

（2）如圖10，若點(diǎn)D為BC的延長線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，探究CM、DE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖9

圖10

素材8：△ABC中，CD是∠ACB的平分線，CE是AB邊上的高，試探究∠DCE與∠A、∠B之間的關(guān)系.

三、教學(xué)過程的設(shè)計

1.切入話題

筆者以“同學(xué)們，我來自江蘇南京，今天非常高興與同學(xué)們一起探究并欣賞一類數(shù)學(xué)問題，讓同學(xué)們從另外一個視角來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué).首先，我們來欣賞幾張精美的圖片（播放圖片）.這些神奇、復(fù)雜、精美的圖案中包含的是簡單的數(shù)學(xué)原理（板書“神奇——簡單道理”），我們經(jīng)過精心探究的數(shù)學(xué)結(jié)論又何嘗不是這樣呢”切入話題.

2.揭示課題

出示素材2，待學(xué)生完成探究后，讓學(xué)生展示探究成果.

圖11

圖12

當(dāng)射線BD在∠ABC的外部，即“圖形外部”時（板書：形外），∠CBD=α+β；

當(dāng)射線BD在∠ABC的內(nèi)部，即“圖形內(nèi)部”時（板書：形內(nèi)），∠CBD=α-β.

上述活動教師可板書為：

教師完成上述板書后，要求學(xué)生思考下列問題：從上述板書內(nèi)容橫向看，圖形的位置關(guān)系往往決定數(shù)量關(guān)系；從板書內(nèi)容縱向看，圖形的主要特征又往往表現(xiàn)在“形內(nèi)外”上（此時板書：形內(nèi)外），數(shù)量的主要特征又往往表現(xiàn)在“正負(fù)性”上（此時板書：正負(fù)性），這就是本節(jié)課我要與同學(xué)們學(xué)習(xí)并欣賞的內(nèi)容（此時在“形內(nèi)外”“正負(fù)性”之間寫上一個字“與”），從而揭示課題.

3.探究欣賞

（1）問題欣賞.

我們來觀賞圖11、圖12的“形結(jié)構(gòu)”，再來觀察其對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的“式結(jié)構(gòu)”，從視角美觀上看，你有什么感覺？

生：舒服，好看，美觀?。◣煱鍟好烙^）

現(xiàn)在就這個問題，老師將適當(dāng)增加難度，強(qiáng)化一些條件，將問題深化為“在其他條件不變的情況下，若∠ABC的平分線為BE，∠ABD的平分線為BF，求∠EBF.”你能圓滿解決這個問題嗎？

深化這個問題的目的是再次讓學(xué)生感受：當(dāng)射線BD在∠ABC的外部時（如圖13），∠EBF=α+β）；當(dāng)射BD在∠ABC的內(nèi)部時（如圖14），∠EBF=?α-β），再次感受“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的美觀，并指出這種美觀是我們欣賞數(shù)學(xué)的第一種境界之美！.

圖13

圖14

（2）聯(lián)想欣賞.

現(xiàn)在請同學(xué)發(fā)揮一下想象力，在學(xué)習(xí)過的線段當(dāng)中，有這樣類似的問題嗎？

設(shè)計這個活動的意圖是：讓學(xué)生通過模型的識別、知識的回憶、經(jīng)驗的聯(lián)想，勾勒出“已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，若線段AB=a，BC=b（a＞b），求AC”這樣一個與“問題欣賞”（素材2）形異實同的問題來，喚醒學(xué)生審美的意識，體驗聯(lián)想的學(xué)習(xí)力量.

在研究完這個問題后，教師可提出：“能否將線段這個問題像‘素材2’那樣進(jìn)一步深化呢？”追問這個問題的目的，還是讓學(xué)生來類比、聯(lián)想.既然對于角可以在其平分線上做文章，那么對于線段就可以在其中點(diǎn)上做立意.因此，就可以將線段這個問題深化為：“在其他條件不變的情況下，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，求EF的長度”這個與角“心相印”“情相通”的問題了.即當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時（如圖15），EF=（a+b）；當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時（如圖16），EF=（a-b）.這樣的活動，豈不美哉！

圖15

圖16

上述活動中，還要引導(dǎo)學(xué)生反思“素材1”與“素材2”的關(guān)聯(lián)性、數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻性、解決問題的一致性，體驗探究方法的“異曲同工”之美（師板書：異曲同工）.

（3）探究欣賞.

活動1：上述對角、線段的探究都體現(xiàn)了“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的異曲同工之美，它是事件的偶然巧合，還是數(shù)學(xué)的本質(zhì)暴露呢？我們有必要對這類問題進(jìn)行進(jìn)一步的探究.請看題（出示“素材3”的第一問，要求學(xué)生作答）.

素材3的第一問，絕大多數(shù)學(xué)生已做過，所以很快得到“∠P=∠BEP+∠DFP”這一結(jié)論.

接著，出示素材3的第二問，注意不要急著讓學(xué)生解答.

首先提出：面對這樣一個問題，有什么想法？讓學(xué)生感受到這樣一個問題好像就是基于上述探究的“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的另一個具體的問題.從幾何直觀和活動經(jīng)驗的角度看，在圖1中，點(diǎn)P在兩平行線的內(nèi)側(cè)（板書：內(nèi)側(cè)），既然有∠P=∠BEP+∠DFP，那么在圖2中，點(diǎn)P在兩平行線的外側(cè)（板書：外側(cè)），那么應(yīng)當(dāng)有∠P=∠BEP-∠DFP.

其次，引導(dǎo)學(xué)生對這個問題進(jìn)行微觀探究.現(xiàn)在對問題（2）心中已有了一個美好的期盼（板書：美好），這個美好的期盼能否如愿（板書：在“美好”旁邊加上一個“？”），就得進(jìn)行證明.這樣就將欣賞活動轉(zhuǎn)換到理性證明中，讓學(xué)生在有思維的場景中去探究、去發(fā)現(xiàn)、去欣賞.當(dāng)學(xué)生探究得到的結(jié)果與上述的美好期盼一致時，教師要引導(dǎo)學(xué)生擦去板書中的“？”.

第三，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性提升.從本題的探究過程看，就是一個探究性問題的一般性探究方法的再現(xiàn)；從探究的結(jié)果看，它又是素材1、素材2、素材3探究問題的延續(xù)，它體現(xiàn)的是“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的“殊途同歸”之美（板書：在“美好”之前板書：“殊途同歸”）！并指出：這種美好是我們欣賞數(shù)學(xué)的第二種境界之美！

活動2：上述的探究活動總是在美好的愿景中前行的，數(shù)學(xué)中還有這樣美好的學(xué)習(xí)素材嗎？老師再向大家呈現(xiàn)一個探究問題（出示探究“素材4”）.

這是一個由于直線的位置變化而引發(fā)圖形變化的探究問題，面對這個問題，你打算怎么做？

提出這樣的問題，還是讓學(xué)生重溫“活動1”的經(jīng)驗，沿著“觀察—類比—猜想—探究—結(jié)論”這種研究問題的一般性思路進(jìn)行“素材4”的探究活動.當(dāng)素材4探究結(jié)束時，要引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：這種方法很管用、很美妙（板書：美妙），這種美妙是我們欣賞數(shù)學(xué)的第三種境界之美！在引導(dǎo)學(xué)生欣賞形成的數(shù)學(xué)結(jié)論時，要讓學(xué)生再次感覺到“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”“一脈相承”的意境之美（在“美妙”之前板書：一脈相承）！

需要注意的是：對于素材4，還要引導(dǎo)學(xué)生從另外一個層次進(jìn)行欣賞.

建立“一帶一路”爭端解決機(jī)制和機(jī)構(gòu)是中國在“一帶一路”倡議落地時期的重要舉措。長期以來，國際商事爭端解決較多依賴于調(diào)解和仲裁機(jī)制，隨著“一帶一路”倡議的全面落地，如何實現(xiàn)訴訟、調(diào)解、仲裁的有效銜接，這已成為“一帶一路”糾紛解決機(jī)制的重要課題。2018年6月29日，中國最高人民法院分別在深圳和西安設(shè)立了第一、第二國際商事法庭，7月1日頒布施行了《關(guān)于設(shè)立國際商事法庭若干問題的規(guī)定》，為形成“一站式”國際商事糾紛解決機(jī)制邁出了堅實的一步。國際商事法庭是中國全新的嘗試，是否有必要設(shè)置國際商事法庭？國際商事法庭如何與國內(nèi)商事審判制度協(xié)調(diào)？如何設(shè)計國際商事法庭？本文將就上述問題展開探討。

活動3：由于直線AB旋轉(zhuǎn)到△CDE內(nèi)部時，按題中條件所形成的線段AD、BE的大小是隨著直線AB的位置變化而變化的，因此素材4的價值還在于當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)到△CDE內(nèi)部時，直線AB所處位置不同而引發(fā)線段AB、AD、BE的位置也在發(fā)生變化，從而AB、AD、BE的數(shù)量關(guān)系必然也會發(fā)生變化.為此，在有條件的情況下，就這一探究素材還可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探究.

一是探究AD、BE長度的分化點(diǎn)，從而確定AB、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系.這個環(huán)節(jié)的實施可以作如下兩種預(yù)設(shè)方案.一種是當(dāng)學(xué)生基礎(chǔ)比較好時，學(xué)生已探究出其分界點(diǎn)是過點(diǎn)C作DE的垂線CM（垂足為點(diǎn)M），得到“當(dāng)直線AB在△CEM內(nèi)部時，由于線段AD＞BE，所以AB= AD-BE；當(dāng)直線AB在△CEM外部時，由于線段AD＜BE，所以AB=BE-AD”這一漂亮結(jié)論時，可發(fā)揮一下幾何畫板的價值，通過幾何畫板演示上述結(jié)論的形成過程，讓學(xué)生的抽象思維與幾何畫板的形象思維一致起來，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信.如果學(xué)生基礎(chǔ)不是太好，探究分界點(diǎn)有困難時，可將上述過程調(diào)換一下，即先用幾何畫板演示，再讓學(xué)生畫圖探究.不管是哪一種方案，都能得到這一漂亮的結(jié)論.這一結(jié)論的本質(zhì)是“二級分類”導(dǎo)致數(shù)量關(guān)系的變化.第一級分類看直線AB與△CDE的位置關(guān)系，即看直線AB在△CDE的形內(nèi)還是形外，第二級分類是看直線AB與△CEM的位置關(guān)系，即看直線AB在△CEM的形內(nèi)還是形外（如圖17、18）.而這些也正是“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”一脈相承之美的再現(xiàn).

圖17

圖18

二是以此反觀素材1、素材2，讓其在二級分類中欣賞“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”.即可以對素材1中的條件進(jìn)行弱化，去掉a＞b這個條件，將素材2中的條件進(jìn)行弱化，去掉α＞β，這樣就可以在二級分類這個大的開放環(huán)境中來欣賞“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的美妙！

（4）自由欣賞.

在問題欣賞、聯(lián)想欣賞、探究欣賞這三個環(huán)節(jié)中，學(xué)生欣賞到了“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的“異曲同工”中的“美觀”、“殊途同歸”中的“美好”、“一脈相承”中的“美妙”，學(xué)生已對“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的欣賞有了一個大致的認(rèn)識.此時讓學(xué)生根據(jù)自身的能力，自主地選擇“素材5、6、7、8”中的一個或幾個，自主地探究、自由地欣賞，將數(shù)學(xué)欣賞內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.小結(jié)欣賞

教師在課堂小結(jié)中可提出下列問題：本節(jié)課通過問題欣賞、聯(lián)想欣賞、探究欣賞、自主欣賞四個教學(xué)環(huán)節(jié)，讓同學(xué)們從另一個視角學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)，是不是很有趣？那么這節(jié)課你最大的收獲是什么呢？

5.布置作業(yè)

本課的作業(yè)要求，一是請同學(xué)把老師提供的八個學(xué)習(xí)素材中沒有探究完的問題繼續(xù)研究完；二是請同學(xué)們收集一下“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的其他問題；三是請同學(xué)們寫一篇關(guān)于“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的數(shù)學(xué)作文.

要注意的是對這次作業(yè)要做一個跟蹤性的評價，將學(xué)生收集到的問題與數(shù)學(xué)作文做一個集中展示，以延續(xù)這次欣賞活動.

6.板書設(shè)計

這節(jié)課的板書可按教學(xué)過程設(shè)計中板書的順序進(jìn)行“雕塑式“板書，以“總（神奇）——分（美觀；美好；美妙）——總（和諧）”的結(jié)構(gòu)形式，來凸顯知識形成的過程、探究推理的過程、欣賞提升的過程.

主板書如下（文本框內(nèi)文字的下標(biāo)為板書的順序號）：

四、數(shù)學(xué)欣賞的思考

數(shù)學(xué)欣賞是一門學(xué)問，需要專門研究.目前與“數(shù)學(xué)欣賞”相關(guān)的信息大都是說數(shù)學(xué)是美的.但是有些被數(shù)學(xué)家以為美的東西，并不是人人都能欣賞的.欣賞這些美需要數(shù)學(xué)意境的營造、數(shù)學(xué)方法的提煉和數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，筆者將從素材的開發(fā)、欣賞的視角和思維的內(nèi)化等方面談三點(diǎn)教學(xué)思考.

1.欣賞素材的開發(fā)是設(shè)計數(shù)學(xué)欣賞的根本

初中數(shù)學(xué)課堂欣賞數(shù)學(xué)之美，目前主要還是停留在“低端”層次上，說來說去，就是黃金分割、平面密鋪、蜂房結(jié)構(gòu)等，僅僅訴說直觀之美.其實數(shù)學(xué)美的魅力是誘人的，數(shù)學(xué)美的力量是巨大的，數(shù)學(xué)美的思想是神奇的.如果教師把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程開發(fā)成使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)作為人類智慧的結(jié)晶所洋溢出的精神美的過程，讓數(shù)學(xué)之美與人文意境的溝通并融，這才是數(shù)學(xué)的“高端”之美.這種“高大上”的教學(xué)素材，課本中沒有現(xiàn)成的設(shè)計，教輔中也鮮有涉獵，公開教學(xué)中也不為多見.為此，開發(fā)出具有數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特之美而又符合學(xué)生現(xiàn)有的審美心智的學(xué)習(xí)素材是當(dāng)前數(shù)學(xué)欣賞的根本之所在，這需要教師對數(shù)學(xué)的獨(dú)到理解，也需要教師教學(xué)智慧的迸發(fā)，更需要教師教學(xué)經(jīng)驗的積淀.

由于數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的結(jié)構(gòu)性，某一知識的單薄性就決定了不可能就某一個知識點(diǎn)開發(fā)出豐富的數(shù)學(xué)欣賞的素材來，所以數(shù)學(xué)之美，一般只可能在學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的過程中逐步滲透.而關(guān)于以數(shù)學(xué)欣賞為主題的數(shù)學(xué)欣賞課的教學(xué)素材，要基于學(xué)生已學(xué)習(xí)過的知識、已研究過的方法和已具備的活動經(jīng)驗進(jìn)行專題開發(fā).正如斯坦尼斯勞·貞尼茲克說：這很難說得清楚，需要非常深的理解之后，數(shù)學(xué)之美的感覺才會出來.本課例就是基于數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧之美，來建構(gòu)數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的協(xié)調(diào)之美.這里強(qiáng)調(diào)是學(xué)生已學(xué)習(xí)過的素材，主要是把平時零散的學(xué)習(xí)內(nèi)容、平淡的認(rèn)知關(guān)聯(lián)相對集中起來，放大某一數(shù)學(xué)本質(zhì)，以凸顯數(shù)學(xué)的某種價值，有意識地讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，欣賞數(shù)學(xué)之價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

我們還可以將數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密、數(shù)學(xué)定義的精準(zhǔn)、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)等加以整合和開發(fā)，以揭示數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)美、內(nèi)在美.例如，通過畫圖可知三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個結(jié)論可以給我們一個很美觀的感覺；通過幾何證明三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，又可以讓我們感受到數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)是一門“滴水不漏”神奇的自然學(xué)科.由此說開去，不僅三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形的三條高線、三條角平分線也都相交于一點(diǎn)，這又豈不是給我們一種數(shù)學(xué)很美妙的感覺嗎？如果從欣賞的角度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，豈不是件快樂的事情嗎？從這點(diǎn)上說，數(shù)學(xué)就是一門很美的學(xué)科，它既有優(yōu)美的內(nèi)容建構(gòu)，又有美妙的思想流淌.只要我們用一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛，就可以開發(fā)出數(shù)學(xué)美的教學(xué)資源來，就可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)王國中盡情地享受數(shù)學(xué)帶給他們精神上的滿足、快樂與欣慰.

2.欣賞視角的選擇是開展數(shù)學(xué)欣賞的關(guān)鍵

把學(xué)習(xí)過的教學(xué)素材按照研究的主題集中在一起讓學(xué)生重新欣賞，一定要選擇好欣賞的角度.如果不能準(zhǔn)確地將教學(xué)素材引入到一個新的視角，不但起不到引領(lǐng)學(xué)生欣賞的效果，而且還可能將教學(xué)引入到“炒冷飯”的境地.就本課的“學(xué)材”而言，如果把它上成解題課，讓學(xué)生把做過的題再重新做一遍，解題的方法再機(jī)械地過一遍，又會產(chǎn)生什么效果？如果選擇“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”相統(tǒng)一的這個視角來看待、來研究所提供的“素材”，不僅能讓學(xué)生回憶起解題的方法，而且還能喚醒學(xué)生審美的意識，促進(jìn)生命之成長，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之價值，欣賞數(shù)學(xué)之和諧，鑄就數(shù)學(xué)之輝煌.

本課例用欣賞文學(xué)之美的方法來引領(lǐng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)之美，從文學(xué)中常常表現(xiàn)出來的和諧性、簡單性和概括性，引領(lǐng)學(xué)生將研究文學(xué)的視角遷移到數(shù)學(xué)之美這個神奇的王國中，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與文學(xué)有著某種類比的相似性，特別在審美標(biāo)準(zhǔn)上更有一些共同性.課例開發(fā)出的“學(xué)材”，首先用圖片這個引子引出數(shù)學(xué)是神奇的，但越是神奇的東西，包含的道理往往越簡單.接著通過題組，用分析文學(xué)的手段，將學(xué)生的視角引入到“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”這個數(shù)學(xué)本質(zhì)中來，從美觀、美好、美妙三個遞進(jìn)的審美層次來認(rèn)識數(shù)學(xué)之美，在這三個層次中，從解題方法挖掘出具有詩意的異曲同工、殊途同歸、一脈相承與美觀、美好、美妙三個審美層次相匹配，使欣賞的核心渾然天成.最后視角又回歸到數(shù)學(xué)的和諧性中來，揭示“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”辯證和諧是數(shù)與形相得益彰的和諧之美.上述活動配以雕塑式精美的板書，有力地驗證了英國美學(xué)家夏夫茲博里的“凡是既美且真，也就是在結(jié)果上是愉快和善的”至理名言.

要注意的是：在數(shù)學(xué)欣賞時，所有的欣賞活動要在凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下欣賞數(shù)學(xué)，若離開數(shù)學(xué)本質(zhì)去欣賞數(shù)學(xué)，那只能是“種了別人的地，荒了自家的田”.

3.欣賞思維的內(nèi)化是評價數(shù)學(xué)欣賞的標(biāo)志

“數(shù)學(xué)欣賞”這門課帶給學(xué)生的美遠(yuǎn)不止直觀的形式美，正如人的美不單在外表，更在內(nèi)在的美一樣，數(shù)學(xué)深刻的本質(zhì)，在于它內(nèi)在奇妙結(jié)構(gòu)的完美的和諧統(tǒng)一性.讓學(xué)生在這樣一個層次上去欣賞數(shù)學(xué)之美，需要學(xué)生思維內(nèi)化來作支撐.

數(shù)學(xué)美感通過學(xué)生在一定審美經(jīng)驗上的感知體現(xiàn)出來，又反作用于學(xué)生，并受學(xué)生個性品質(zhì)的影響而又各不相同.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師如果經(jīng)常有意識地引導(dǎo)積極思維、內(nèi)化思維、欣賞數(shù)學(xué)美，就一定會在攀登數(shù)學(xué)高峰的過程中領(lǐng)略到無限的旖旎風(fēng)光.例如，在學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題的過程中，教師將現(xiàn)實生活中的實例抽象為方程這樣的數(shù)學(xué)知識，以后又將之用于解決其他問題.在不斷總結(jié)、優(yōu)化的過程中，學(xué)生看到數(shù)學(xué)規(guī)律忽而萬法歸宗，忽而又舉一反百，撲朔迷離，奧妙無窮，才能達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)的目的.

五、寫在后面的話

筆者在與新疆兵團(tuán)二中初二學(xué)生共同探究“素材2”時，發(fā)現(xiàn)預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)活動與學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、知識結(jié)構(gòu)與活動經(jīng)驗的把握有一定的偏差，于是及時調(diào)整了教學(xué)要求與難度，放棄了對學(xué)習(xí)“素材1”“素材2”的“深化探究”，以使得整個活動不影響對“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”和諧的整體欣賞，這樣既保證了課堂的整體性，又不失揭示問題的本質(zhì)性，保證了探究活動的觀賞性.

1.張奠宙，竺仕芬.數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗與數(shù)學(xué)欣賞［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（6）.

2.卜以樓.形內(nèi)外與正負(fù)性［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（初中），2010（10）.

3.卜以樓.讓數(shù)學(xué)教育的文化價值在教學(xué)中鮮活地流淌［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2011（6）.Z