珠串成線：單元復習課的教學取向
——以“線段和角”的復習課為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學 朱秋芳

最近一次七年級期末復習研討活動中，筆者開設了一節(jié)“線段和角”的復習課，得到參與研討的同行的好評.下面呈現(xiàn)該課的前后兩次設計，并給出各個教學活動的設計意圖，提供研討.

一、“線段和角”的兩種教學設計

第一種教學設計如下所示.

活動1：一顆“種子”.

如圖1：

圖1

請你用幾何語言描述這幅圖.

設計意圖：復習點與直線的位置關系，為下面的問題作準備.

活動2：種子在“孕育”.

（1）如圖2，在直線l上再取一點B，圖中有幾條線段？再取一點C呢？

圖2

（2）再取兩點D、E，共有幾條線段？你是怎么算的？哪幾條？

設計意圖：復習線段的計數(shù)方法，增強識圖能力，體現(xiàn)有序的思維方式，為問題的進一步展開作鋪墊.

活動3：發(fā)出“第一枝芽”.

若在直線l上有n個點，共有多少條線段？

設計意圖：發(fā)現(xiàn)并表示規(guī)律（有可能體現(xiàn)數(shù)形結合），揭示公式的意義.

圖3

活動4：發(fā)出“第二枝芽”.

（1）如圖4，C點為線段AE上任意一點，若AC＝8，CE＝6，B、D分別為AC、CE的中點，則BD＝____________.

圖4

若只把條件AC＝8、CE＝6去掉，改成AE＝14，其他條件不變，你能求BD嗎？

設計意圖：復習線段的中點、線段的和差關系，通過弱化條件，體現(xiàn)整體思想.

（2）如圖5，若B、C、D三個點是線段AE的四等分點，圖中所有線段的和為26，你能求AE嗎？

圖5

設計意圖：鞏固前面的識圖結果，在線段中點的基礎上深入認識四等分點，進一步復習線段的和差倍分；初步滲透方程思想在圖形中運算的作用.

（3）如圖6，若AE＝8.9，BD＝3，你能求圖中所有線段的長度之和嗎？試試看！

圖6

設計意圖：與前面問題相比，條件進一步弱化，體現(xiàn)整體思想，增強識圖能力.

活動5：種子的茁壯成長要你們來“澆灌”.

我們知道線段與角之間有許多相通之處，請結合你所學的有關角的知識，聯(lián)系線段，對兩者進行類比，試試你的創(chuàng)造力！

已知：如圖7，∠AOE是小于平角的角，射線OB、OC、OD是∠AOE內(nèi)部的射線.

圖7

（1）你們可以提出什么問題？試著將其解決.

（2）允許你們可以增加1—2個條件，兩位同學為一小組，討論你們還能提出什么問題，并解決它.

設計意圖：在前面對線段復習的基礎之上，通過這個環(huán)節(jié)，發(fā)展學生提出問題、解決問題的能力，體現(xiàn)類比思想.

活動6：小結與布置作業(yè).（略）

【打磨意見】可以發(fā)現(xiàn)，上面的課例也是精心預設、備課組打磨而成，在經(jīng)典題型、基本圖形及性質(zhì)上引導學生識別和積累，對于應付常規(guī)考試是積極的，然而從深刻“理解數(shù)學”（章建躍語）的角度看，初中幾何的學習與小學有很大差別，張奠宙教授說小學數(shù)學是實用主義、消費數(shù)學，而初中幾何才是真正意義上的數(shù)學、精神需要.所以需要調(diào)整復習課的教學取向，深入思考入門階段的幾何學習的重點是很關鍵的.初一幾何初步的重點何在呢？具體到線段、角的學習，主要是線段或角的表示方法.在第一個教學環(huán)節(jié)中，有線段圖形語言、符號語言、基本作圖等的引入等，然而重點卻放在計數(shù)線段上，這并不是教材上的重點內(nèi)容，只是屬于解題策略一類的話題，小學階段學生就已熟悉這種策略，只不過披上了初中幾何的外衣繼續(xù)研究這種策略.基于上述認識，我們覺得解題策略的教學不能占去整節(jié)課的一半，可以作為一種難點進行突破，主要精力還是應該先關注教材上對該內(nèi)容的訓練重點.于是打磨生成第二種教學設計.

第二種教學設計如下所示.

活動1：請你當“醫(yī)生”.

對于下列問題：若有解答過程，請診斷是否有“病”，有“病”請說出“病因”并改正；若沒有解答過程，請給予解答，并說出可能會“誘發(fā)”什么病.

（1）在直線l上有A、B、C三點，AB＝5，BC＝3，求AC.

解：如圖8所示.

圖8

由AC＝8，BC＝3，得AC＝AB＋BC＝8.

診斷結果：______；病因：______；正確答案：______.

（2）選擇題：已知AC＝8，BC＝3，則AC的長為（）.

A.8B.3C.8或3D.無法確定

答案：C

診斷結果：______；病因：______；正確答案：______.

（3）如圖9，線段AB＝5，BC＝3，CD＝2，求圖中所有線段的長度之和.

圖9

解：圖中所有線段的長度之和＝AB＋BC＋CD＝5＋3＋2＝10.

診斷結果：______；病因：______；正確答案：______.

（4）已知在平面內(nèi)，∠AOB＝35°，∠BOC＝20°，則∠AOC＝________.

說說當“醫(yī)生”的收獲.

設計意圖：以學生平時作業(yè)中出現(xiàn)的錯誤為資源，在自查自糾的過程中，喚醒知識點、喚醒建構知識網(wǎng)絡的意識，體現(xiàn)分類討論、類比思想，為進一步自主建構知識網(wǎng)絡提供“技術”上的幫助.

活動2：作線段的“藍圖”.

邊作圖邊思考.

（1）如圖10，已知線段a，點A在直線l上，在直線l上順次截取AB＝BC＝a.此時圖中有幾條線段？點B有何特點？

圖10

設計意圖：復習尺規(guī)作圖和線段的中點.

（2）再在直線l上順次截取線段CD＝DE＝b（b＜a），此時在直線l上共有幾條線段？哪幾條？

設計意圖：復習尺規(guī)作圖，增強識圖、作圖能力，強化前面“診斷”過程中的分類討論思想，養(yǎng)成有序的思維方式，養(yǎng)成積累基本圖形的意識，為問題的進一步展開作鋪墊.

活動3：在“藍圖”上加工.

在圖11中，若AC＝8，CE＝6，則BD＝________.

在圖11中，若AE＝14，其他條件不變，你能求BD嗎？你能發(fā)現(xiàn)BD與AE的數(shù)量關系嗎？能簡述理由嗎？

設計意圖：進一步復習線段和差關系，形成積累基本圖形的意識；通過弱化條件，體現(xiàn)整體思想；在研究線段和差關系、倍分關系時，要關注便于轉化的線段，增強識圖能力.

活動4：挑戰(zhàn)自己.

（1）如圖12，C、D是線段AB上兩點，CD＝2，M、N分別是AC、BD的中點，MN＝7，則AB＝______.

圖12

（2）如圖13，在直線l上順次截取AB＝BC＝CD＝DE.

圖13

問題一：請說出圖中哪個點是哪條線段的中點.

問題二：B、C、D三點是線段AE的四等分點，圖中所有線段的和為26，你能求AE嗎？

設計意圖：鞏固前面的識圖結果，在線段中點的基礎上深入認識四等分點，進一步復習線段的和差倍分；初步滲透方程思想在圖形中運算的作用.

活動5：“打通”知識通道，自我構建角的知識“框架”.

（1）你還記得多少關于角的知識點？利用線段與角之間有許多相通之處，發(fā)揮自己的潛能，自我構建有關“角”的知識框架！試試看！

設計意圖：通過類比，自我構建角的知識框架，發(fā)展學生的自我創(chuàng)造力.

（2）如圖14，射線OC是平角AOB內(nèi)部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，結合角的相關知識，你能提出什么問題？能解決它們嗎？

圖14

圖15

設計意圖：在前面對線段復習的基礎之上，通過這個環(huán)節(jié)，發(fā)展學生提出問題、解決問題的能力，體現(xiàn)類比思想，并借此復習互余、互補等相關角的概念.

（3）變化一下.

如圖15，若ON是平角WOE的平分線，OA是∠BOC內(nèi)任意一條射線，且OA⊥OB于O點，你能說出圖中互余的角、互補的角、相等的角有哪些嗎？若反向延長射線ON到OS，∠AOE＝25°24′，設ON為正北方向，OE為正東方向，你能說出射線OA、OB的方向嗎？

二、關于教學立意的整體思考

《中學數(shù)學》最近有多篇文章探討單元復習課的教學，特別是對復習課選題（例、習題）的精選都放在重要位置上.這自然是關鍵的.然而，對單元復習來說，思考整節(jié)復習的教學立意也許應該成為更為上位的考慮.具體來說，可從以下兩個方面來構思教學立意.

1.教學的整體立意需要建立在對單元知識的深刻理解上

由于單元復習是針對前一階段所授新知開展的復習工作，備課時教者首先要站在一個階段的高點，反觀前面所學知識的關聯(lián)性、重點與難點，學生在新的學習過程中出現(xiàn)了哪些困難等.在此基礎上，對復習課的相關素材就能基于這種深刻理解大膽取舍，而不是面面俱到，或者將復習課上成習題課、某種熱點題型的訓練課等.

2.教學的整體立意需要促進學生將零散知識串珠成線

引導學生“將學過的知識串珠成線，像葡萄一樣能拎起來”，這應該成為單元復習課的一種教學取向.數(shù)學知識具有關聯(lián)性、邏輯嚴謹性、前后一致性，很多數(shù)學內(nèi)容或解題都是“一步一步向上走”（米山國藏語）.基于上述觀點，將零散知識串珠成線，讓學生加深印象，追求對數(shù)學知識的深刻理解就成為我們在第二種教學設計中的自覺追求.

1.熊俊.導學案不能淪落為“習題單”——以“中位數(shù)和眾數(shù)”的導學案為例［J］.中學數(shù)學（下），2014（6）.

2.章建躍.從數(shù)學整體觀看“同底數(shù)冪的乘法”的教學［J］.中國數(shù)學教育，2013（7-8）.

3.嚴莉.對一份“習題單”式導學案的商榷——以“有理數(shù)乘法（第1課時）”為例［J］.中學數(shù)學（下），2014（11）.Z