基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的勾股定理教學(xué)實(shí)踐
——蘇科版數(shù)學(xué)教材八上3.1勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校 萬(wàn)廣磊

一、教材分析

1.本課的地位與作用

勾股定理是反映自然界規(guī)律的一條重要結(jié)論，它是初等幾何中最精彩的，也是最著名和最有價(jià)值的定理之一，被譽(yù)為“幾何明珠”，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位，在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣泛的應(yīng)用.

本節(jié)課是《九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》（蘇科版2013年版）八年級(jí)上冊(cè)3.1“勾股定理”的第一課時(shí)，勾股定理的實(shí)質(zhì)是從邊的角度進(jìn)一步對(duì)直角三角形的特征進(jìn)行刻畫.此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識(shí)，如三角形的三邊不等關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角形全等的性質(zhì)與判定、直角三角形的斜邊上中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、軸對(duì)稱圖形等，初步感受到了公理化的思想.此外，在七年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生也學(xué)過(guò)利用圖形面積來(lái)探究數(shù)式運(yùn)算規(guī)律的方法，如單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、乘法公式、因式分解等知識(shí)和方法，初步感受了數(shù)形結(jié)合的思想.

本節(jié)課是在學(xué)生原有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究直角三角形的三邊之間的二維等量關(guān)系.通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的系列開展，學(xué)生自主探索和發(fā)現(xiàn)勾股定理，構(gòu)建知識(shí)鏈，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思維能力得到豐富和發(fā)展.此外，探求勾股定理的過(guò)程也蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想：把直角三角形“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊之間“數(shù)”的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；用“割”、“補(bǔ)”的方法探究三個(gè)正方形面積的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想；從特殊直角三角形到一般直角三角形，從直角三角形到銳角三角形和鈍角三角形，都體現(xiàn)了特殊到一般的思想和數(shù)學(xué)哲學(xué)的辯證思想.另外，從數(shù)學(xué)文化史的角度看，勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證也蘊(yùn)含著文化價(jià)值和理性精神.

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：能利用實(shí)驗(yàn)探究驗(yàn)證勾股定理，理解勾股定理并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

（2）過(guò)程與方法：通過(guò)系列化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、反思的全過(guò)程，發(fā)展合情推理、歸納和概括能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的意識(shí)，體驗(yàn)成功喜悅，了解勾股定理歷史，感受其文化價(jià)值，增強(qiáng)民族自豪感，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

董林偉主任在《初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐》一書中說(shuō)：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是學(xué)生被動(dòng)地接受課本上的或老師敘述的現(xiàn)成結(jié)論，而是學(xué)生從自己的‘?dāng)?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，出發(fā)，通過(guò)自己動(dòng)手、動(dòng)腦，用觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得經(jīng)驗(yàn)，逐步建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動(dòng)過(guò)程”.［1］

結(jié)合以上關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的論述，特制定教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)如下：

（1）教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證勾股定理，引導(dǎo)學(xué)生獲得研究問(wèn)題的方法經(jīng)驗(yàn)，并簡(jiǎn)單應(yīng)用勾股定理.

（2）教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)“割”、“補(bǔ)”的方法探索、驗(yàn)證勾股定理.

二、教法學(xué)法

孫朝仁所長(zhǎng)指出：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要遵循目標(biāo)性、整體性、多樣性和簡(jiǎn)約性等原則，還要融入微觀的經(jīng)驗(yàn)元素、直觀元素、普適元素及創(chuàng)造元素，方能釋放數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)在力量”.［2］

據(jù)此，教法設(shè)計(jì)和學(xué)法指導(dǎo)如下.

1.教法設(shè)計(jì)

采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，通過(guò)系列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，提供自主探究交流的空間，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有目的地探索和應(yīng)用勾股定理.

2.學(xué)法指導(dǎo)

網(wǎng)格紙和拼圖實(shí)驗(yàn)為學(xué)生設(shè)計(jì)計(jì)算面積的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，結(jié)合多媒體課件演示，引導(dǎo)學(xué)生探索勾股定理.

3.教學(xué)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙，課件（含幾何畫板文件）.

三、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

圖1

圖2

圖3

圖4

（1）展示1955年希臘為紀(jì)念2500年前的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派而發(fā)行的郵票，如圖1所示.

思考：學(xué)生說(shuō)出圖中三角形的形狀，指出三個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系.

（2）展示2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的徽標(biāo)，如圖2所示，簡(jiǎn)單介紹會(huì)議背景.

思考：學(xué)生說(shuō)出圖中大正方形的面積計(jì)算方法.

設(shè)計(jì)意圖：情境創(chuàng)設(shè)尊重了教材的編寫意圖，郵票和會(huì)徽的展示說(shuō)明勾股定理所贏得的尊重，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.初步感受勾股定理的文化價(jià)值，為下一步數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)做鋪墊.

2.實(shí)驗(yàn)探究，合作交流

實(shí)驗(yàn)一：畫一畫.

把直角三角形ABC紙片放在如圖3所示的網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1 cm），分別以三邊為邊向外翻作正方形，觀察并思考，再填空：

（1）正方形P的面積為________cm2，正方形Q的面積為________cm2，正方形R的面積為________cm2.

（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中正方形P、Q、R的面積之間有什么關(guān)系嗎？從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

說(shuō)明：實(shí)驗(yàn)一以特殊的等腰直角三角形來(lái)鋪墊定理的發(fā)現(xiàn)，計(jì)算面積過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單.

實(shí)驗(yàn)二：想一想.

思考：其他一般直角三角形是否也有類似的性質(zhì)呢？我們來(lái)繼續(xù)觀察圖4.

（1）正方形P的面積為_______cm2，正方形Q的面積為________cm2，正方形R的面積為________cm2.

（2）你發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖和郵票中的圖有什么關(guān)系嗎？正方形P、Q、R的面積之間的關(guān)系是什么？

（3）你會(huì)用直角三角形的邊長(zhǎng)表示正方形P、Q、R的面積嗎？

（4）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？與同伴進(jìn)行交流.

說(shuō)明：實(shí)驗(yàn)二通過(guò)發(fā)現(xiàn)圖4和郵票中的圖之間的關(guān)系是面積不變，因此學(xué)生在網(wǎng)格圖中計(jì)算R的面積時(shí)有了目標(biāo)，因此要通過(guò)“割”與“補(bǔ)”的方法將R轉(zhuǎn)化為幾個(gè)圖形的和差，如圖5、圖6所示，切實(shí)加深對(duì)數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想的理解.

圖5

圖6

實(shí)驗(yàn)三：試一試.

（1）按照以下要求操作（請(qǐng)學(xué)生拿出實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙進(jìn)行操作）：

①在實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙中，畫出兩條直角邊分別為任意整數(shù)值的直角三角形，分別以三邊為邊向外翻作正方形.

②驗(yàn)證結(jié)論對(duì)直角三角形是否成立？

（2）學(xué)生用文字語(yǔ)言總結(jié)，并用幾何語(yǔ)言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn).

學(xué)生猜想（以回答出該問(wèn)題的同學(xué)命名）：在直角三角形中，以斜邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和（或直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）.

說(shuō)明：實(shí)驗(yàn)三從特殊的直角三角形到一般的直角三角形進(jìn)行探究，揭示了勾股定理的普遍性，都可以從面積角度和代數(shù)式角度進(jìn)行表述.

實(shí)驗(yàn)四：辨一辨.

（1）按照以下要求操作（讓學(xué)生拿出實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙進(jìn)行操作）：

①在實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙中，同桌的兩人各自畫出兩條邊分別為任意整數(shù)值的鈍角三角形和銳角三角形，分別以三邊為邊向外翻作正方形.

②驗(yàn)證結(jié)論對(duì)所畫三角形是否成立？相互交流.

③教師用兩只手打手勢(shì)的方法（模仿直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形）讓學(xué)生直觀地感受結(jié)論.

（2）學(xué)生用文字語(yǔ)言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn).

鈍角三角形兩條短邊的平方和小于最長(zhǎng)邊的平方，銳角三角形兩條短邊的平方和大于最長(zhǎng)邊的平方，因此只有直角三角形的兩條短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方.

說(shuō)明：實(shí)驗(yàn)四讓學(xué)生知道，勾股定理是直角三角形特有的三邊關(guān)系定理，其他三角形所不具有.

設(shè)計(jì)意圖：在四次實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生意識(shí)到了研究的方法是從特殊的直角三角形到一般的直角三角形，從直角三角形到斜三角形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有直角三角形才有勾股定理，進(jìn)一步完善對(duì)勾股定理的表述，加深理解.

3.驗(yàn)證定理，解釋內(nèi)涵

（1）實(shí)驗(yàn)五：拼一拼.

①每人用4張全等的直角三角形紙片（兩條直角邊不相等）拼一拼，看看能否得到一個(gè)以c為一邊的正方形？

②用你拼好的圖形證明剛才的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)?jiān)敿?xì)表達(dá)（預(yù)測(cè)會(huì)出現(xiàn)圖7、圖8兩個(gè)圖形）.

圖7

圖8

說(shuō)明：當(dāng)學(xué)生拼出以上兩個(gè)圖形后，指導(dǎo)學(xué)生如何抓住拼圖的面積等量關(guān)系構(gòu)建等式發(fā)現(xiàn)結(jié)論.學(xué)生自主選擇證明其中一個(gè).介紹趙爽弦圖（圖9）、北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)（圖2）和總統(tǒng)證法（美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德的證明方法，如圖10），都與“割”、“補(bǔ)”的方法有關(guān).

圖9

圖10

圖11

（2）歸納定理.

勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

幾何語(yǔ)言：如圖11，在△ABC中，因?yàn)椤螩=90°，所以a2+b2=c2.

說(shuō)明：勾股定理的本質(zhì)是揭示了直角三角形三邊的平方之間的等量關(guān)系.

（3）引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出勾股定理的變式和簡(jiǎn)便計(jì)算方法.由a2+b2=c2，可得a2=c2-b2=（c+b）（c-b），b2=c2-a2=（c+a）（c-a）.

（4）數(shù)學(xué)欣賞，動(dòng)感體驗(yàn).

①展示幾何畫板軟件繪制的勾股樹，如圖12、圖13所示.

圖12

圖13

圖14

圖15

②用幾何畫板演示勾股樹，提問(wèn)：如圖13，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)是7 cm，則四個(gè)正方形A、B、C、D的面積之和是_______cm2，所有的正方形的面積之和是______cm2.試找出其中的規(guī)律.

說(shuō)明：動(dòng)態(tài)幾何的引入更加直觀地感受到勾股定理的魅力，探究幾個(gè)正方形面積之和時(shí)運(yùn)用到整體和轉(zhuǎn)化思想，規(guī)律的探究突出從特殊到一般的思想.

（4）介紹勾股定理.

①勾股定理（公元前4000多年前）.

中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，后人還把直角三角形較短直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，如圖14所示.

②商高定理（公元前1120年前后）.

公元前1120年前后，周朝數(shù)學(xué)家商高提出：將一根直尺折成一個(gè)直角，即有“勾三、股四、弦五”，記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.

③陳子定理（公元前700年前后）.

陳子和榮方討論用勾股定理來(lái)測(cè)量太陽(yáng)的高度，如圖15所示，推廣到一般的直角三角形.

④畢達(dá)哥拉斯定理（Pythagoras定理，公元前600年前后）.

兩千多年前，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此國(guó)外通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理和百牛定理.

⑤在地球以外是否存在生命這個(gè)問(wèn)題上，我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾認(rèn)為，如果外星人也擁有文明的話，我們可以用“勾股定理”的圖形作為人類探尋“外星人”并與“外星人”聯(lián)系的“語(yǔ)言”.

設(shè)計(jì)意圖：概念教學(xué)不僅讓學(xué)生明白知識(shí)“是什么”，更重要的是“為什么”.［3］定理的教學(xué)也是如此.通過(guò)拼圖實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手驗(yàn)證和歸納勾股定理，并用幾何語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).勾股樹則體現(xiàn)了勾股定理與信息技術(shù)相結(jié)合的奇異美，勾股定理的歷史介紹凸顯了它的文化價(jià)值.

4.運(yùn)用新知，體驗(yàn)成功

例1如圖16，字母B所代表的正方形的面積是（）.

A.12B.13C.144D.194

變式：正方形B的邊長(zhǎng)等于多少？如何計(jì)算？

例2如圖17，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若b=12，c=13，求a.

變式1：如圖18，若D為AB的中點(diǎn)，試求CD的長(zhǎng)與△CDA的面積.

變式2：若CE⊥AB于點(diǎn)E，求CE的長(zhǎng).

圖17

圖16

圖18

例3觀察國(guó)外數(shù)學(xué)愛好者設(shè)計(jì)的“流水版”勾股定理，如圖19，試說(shuō)明：為什么兩個(gè)水箱中的水最后可以正好裝滿下面的水箱？

圖19

說(shuō)明：學(xué)生可能會(huì)解釋為兩個(gè)小的長(zhǎng)方體水箱的體積之和等于大的長(zhǎng)方體水箱的體積，若直角邊分別為a、b，斜邊為c，得到a3+b3=c3.因?yàn)槿齻€(gè)水箱的厚度h相同，所以得到a2h+b2h=c2h，實(shí)際上是a2+b2=c2.如果都是正方體，可得a3+b3=c3.這里還可以進(jìn)一步介紹費(fèi)馬大定理：當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于x、y、z的方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)和變式訓(xùn)練，強(qiáng)化所學(xué)知識(shí)，通過(guò)變式提問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生綜合所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.網(wǎng)絡(luò)圖片中的數(shù)學(xué)知識(shí)，也是驗(yàn)證了勾股定理在生活中最直觀的體現(xiàn)，費(fèi)馬大定理是巧妙的拓展.

5.獨(dú)立練習(xí)，鞏固新知

例4已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）.

A.25B.14C.7D.7或25

例5如圖20，△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC于D，BC=6，則AD=______.

例6如圖21，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中點(diǎn)，若BC=6，CD=5，則AC=______，△ACD的面積=_____.

圖20

圖21

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)的設(shè)計(jì)體現(xiàn)出分層教學(xué)的要求，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.設(shè)置問(wèn)題以數(shù)學(xué)思想為主線，綜合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解題.

6.交流收獲，總結(jié)展示

（1）學(xué)生交流本課收獲.

問(wèn)題1：你是如何發(fā)現(xiàn)和探索勾股定理的？

問(wèn)題2：勾股定理需滿足什么條件？能解決哪些簡(jiǎn)單的問(wèn)題？

問(wèn)題3：你本節(jié)課學(xué)到了什么？

（2）教師評(píng)價(jià)學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作中表現(xiàn)，并展示學(xué)生的作品.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在三個(gè)問(wèn)題的引領(lǐng)下回顧并歸納知識(shí)技能、思想方法、情感體驗(yàn).教師通過(guò)評(píng)比和展示激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.

7.布置作業(yè)，鞏固訓(xùn)練

（1）作業(yè)本相關(guān)作業(yè)，課本第80頁(yè)第1，2，3題.

（2）實(shí)驗(yàn)六：剪紙證明勾股定理.

若將圖22中的①②③④⑤剪下，用他們可以拼成一個(gè)與正方形ABDE大小一樣的正方形嗎？試一試！

圖22

設(shè)計(jì)意圖：把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)延伸到課外，讓學(xué)生保持持久的探究意識(shí)和學(xué)習(xí)熱情.

8.課堂結(jié)語(yǔ)，滲透理性

閱讀龐加萊（法國(guó)理論科學(xué)家和科學(xué)哲學(xué)家，領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家）名言：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來(lái)，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀.”

設(shè)計(jì)意圖：提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也要知道數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展過(guò)程，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有根的，并在一代代人的研究下得以全新的發(fā)展和飛躍.

1.董林偉.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

2.孫朝仁.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)應(yīng)滲透的四個(gè)元素［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（9）.

3.董毓興，李靜.突破概念生成瓶頸的教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（9）.H