初中生符號(hào)意識(shí)形成策略探微

☉江蘇省江陰市第一初級(jí)中學(xué)鐘珍玖 方漪

懷特海在《數(shù)學(xué)原理》一書(shū)中曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：由于大量的數(shù)學(xué)符號(hào)，往往數(shù)學(xué)被認(rèn)為是一門(mén)難懂而又神秘的科學(xué).不能認(rèn)為這些術(shù)語(yǔ)和符號(hào)的引入，增加了這些理論的難度.相反地，這些術(shù)語(yǔ)和符號(hào)的引入，往往是為了理論的易于表達(dá)和解決問(wèn)題.特別是在數(shù)學(xué)中，只要細(xì)加分析，即可發(fā)現(xiàn)符號(hào)化給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來(lái)極大的方便，甚至是必不可少的.由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須經(jīng)歷的一門(mén)語(yǔ)言，隨著2011版數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，很多老師對(duì)符號(hào)意識(shí)形成的教學(xué)也非常重視，考查符號(hào)意識(shí)的試題在中考中也經(jīng)常出現(xiàn)，本文對(duì)初中生符號(hào)意識(shí)的形成作一粗淺的探究，以期引起同行的重視.

一、研究符號(hào)意識(shí)形成的心理機(jī)制，促進(jìn)符號(hào)意識(shí)形成

從人的認(rèn)知過(guò)程來(lái)看，遵循從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程.小學(xué)數(shù)學(xué)由實(shí)物到數(shù)的抽象是一個(gè)飛躍，同樣從具體的數(shù)抽象到用字母來(lái)表示數(shù)，用抽象的符號(hào)來(lái)表達(dá)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，以及運(yùn)用符號(hào)邏輯推理又是一個(gè)質(zhì)的飛躍.所以從“數(shù)”的角度出發(fā)組織教學(xué)，以數(shù)為基礎(chǔ)滲透符號(hào)意識(shí)，是符號(hào)意識(shí)形成的基本途徑，特別是初中低年級(jí)的符號(hào)意識(shí)教學(xué)更應(yīng)如此.

案例1：蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“§3.3代數(shù)式的值”，教材安排如下.

用火柴棒按如圖1所示方式搭“小魚(yú)”.

問(wèn)題：搭20條“小魚(yú)”需用多少根火柴棒？搭100條“小魚(yú)”呢？

教學(xué)中，筆者沒(méi)有限制學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生自行解決這兩個(gè)問(wèn)題.

圖1

生1：搭1條“小魚(yú)”用了8根火柴棒；搭2條“小魚(yú)”，增加了6根火柴棒，即8+6=14；搭3條“小魚(yú)”，又增加了6根火柴棒，即8+2×6=20.那么搭20條“小魚(yú)”，增加了6×19根火柴棒，即8+6×19=122；搭100條“小魚(yú)”，需要火柴棒的根數(shù)為8+6×99=602.

生1雖然找到了圖形的變化規(guī)律，但并沒(méi)有把問(wèn)題一般化，沒(méi)能用含字母的代數(shù)式表示搭“小魚(yú)”時(shí)所需火柴棒的根數(shù).教師繼續(xù)追問(wèn)：有沒(méi)有辦法把這個(gè)問(wèn)題“一網(wǎng)打盡”，搭任意條“小魚(yú)”都可以求出所需火柴棒的根數(shù)呢？

生2：用x表示所搭“小魚(yú)”的條數(shù)，根據(jù)前述規(guī)律，所需火柴棒的根數(shù)為8+6（x-1），再把x=20、100代入上面的式子就可以解決問(wèn)題了.

生3：從圖形構(gòu)成來(lái)看，去掉組成魚(yú)的尾巴的2根火柴棒，第一個(gè)圖形中有6根火柴棒，第二個(gè)圖形中有6×2根火柴棒，第三個(gè)圖形中有6×3根火柴棒，…，那么第x個(gè)圖形中就有6x根火柴棒.

師（總結(jié)）：我們從特殊情形（搭1條、2條、3條“小魚(yú)”）出發(fā)，發(fā)現(xiàn)搭“小魚(yú)”的條數(shù)和所需火柴棒根數(shù)的規(guī)律，用具有一般意義的字母x表示“小魚(yú)”的條數(shù)，用含x的代數(shù)式就可以一般性地表示所需火柴棒的根數(shù).

教師的追問(wèn)和總結(jié)都是在引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)的變化，由搭1條小魚(yú)的8根火柴棒，到搭2條小魚(yú)的8+6根火柴棒，搭3條小魚(yú)的8+2×6根火柴棒，…，啟發(fā)學(xué)生把變化的“數(shù)”換成字母，為用抽象字母表示數(shù)埋下伏筆，學(xué)生具有認(rèn)知上的附著點(diǎn)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程.

數(shù)不僅是用字母表示數(shù)的心理基礎(chǔ)，也能幫助學(xué)生理解抽象字母的意義，教學(xué)中讓學(xué)生體會(huì)用字母表示數(shù)的必然性、必要性和簡(jiǎn)潔性，讓學(xué)生在特殊（數(shù)）和一般（字母）的關(guān)系中體會(huì)用字母表示數(shù)的自然性，反復(fù)體驗(yàn)從特殊（數(shù)）到一般（字母）的變化，為形成符號(hào)意識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的心理基礎(chǔ)和知識(shí)遷移基礎(chǔ).

二、運(yùn)用多種語(yǔ)言表征相互轉(zhuǎn)化，促進(jìn)符號(hào)意識(shí)形成

圖2

符號(hào)意識(shí)的形成載體就是符號(hào)語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言較文字語(yǔ)言具有精確、簡(jiǎn)潔、通用等優(yōu)點(diǎn)，但是同時(shí)也帶來(lái)另外一個(gè)問(wèn)題，就是符號(hào)語(yǔ)言的抽象性.從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，很多學(xué)生就是因?yàn)閹е橄蠓?hào)進(jìn)行思考的障礙，而被拒之在數(shù)學(xué)門(mén)外.讓學(xué)生學(xué)會(huì)在抽象層面上進(jìn)行思考，是初中生必須要經(jīng)歷的難關(guān).教學(xué)中應(yīng)該充分利用文字語(yǔ)言的易理解性和圖形語(yǔ)言的直觀性來(lái)幫助學(xué)生加深對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的理解，促進(jìn)符號(hào)意識(shí)的形成.

案例2：一輛客車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，一輛出租車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，設(shè)客車(chē)離甲地的距離為y1千米，出租車(chē)離甲地的距離為y2千米，兩車(chē)行駛的時(shí)間為x小時(shí)，y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示.（1）根據(jù)圖像，直接寫(xiě)出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若兩車(chē)之間的距離為S千米，請(qǐng)求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

分析和解：（1）y1=60x（0≤x≤10）；y2=600-100x（0≤x≤6）.

對(duì)于（2），有兩種方法解決.

方法1：由于圖像表示的行程問(wèn)題學(xué)生較難理解，實(shí)踐中，學(xué)生在完成此類(lèi)問(wèn)題時(shí)還是習(xí)慣使用文字語(yǔ)言，結(jié)合行程的線段圖，用實(shí)際意義法來(lái)解決，原因是自然語(yǔ)言更貼合學(xué)生實(shí)際，利于學(xué)生理解.

由圖像可知出租車(chē)的速度為100千米/小時(shí)，客車(chē)的速度為60千米/小時(shí).

當(dāng)0≤x≤3.75時(shí)（如圖3），S=600-出租車(chē)的路程-客車(chē)的路程，則S=600-100x-60x=600-160x；

圖3

當(dāng)3.75＜x≤6時(shí)（如圖4），S=出租車(chē)的路程+客車(chē)的路程-600，則S=100x+60x-600=160x-600；

圖4

當(dāng)6＜x≤10時(shí)（如圖5），S=客車(chē)的路程，則S=60x.

圖5

方法2：運(yùn)用（1）中求出的函數(shù)解析式，結(jié)合y1、y2、S的實(shí)際意義，運(yùn)用解析法，在符號(hào)的層面上進(jìn)行運(yùn)算，顯得簡(jiǎn)潔明快.

當(dāng)0≤x≤3.75時(shí)（如圖6），S=y2-y1=600-100x-60x= 600-160x；

當(dāng)3.75＜x≤6時(shí)（如圖7），S=y1-y2=60x-（600-100x）= 160x-600；

當(dāng)6＜x≤10時(shí)（如圖8），S=60x.

圖8

從以上兩種解法來(lái)看，用圖像和符號(hào)（變量）呈現(xiàn)的一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合文字語(yǔ)言和線段圖，學(xué)生就容易理解，而方法2顯然運(yùn)用了函數(shù)的思想，結(jié)合抽象變量的實(shí)際意義，運(yùn)用符號(hào)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了簡(jiǎn)潔和思維含量高的特點(diǎn).在實(shí)際的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)要掌握方法2不是一件容易的事情.運(yùn)用了兩種方法對(duì)比，用學(xué)生熟悉的文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言幫助學(xué)生理解符號(hào)語(yǔ)言，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)上理解兩種解法的內(nèi)在一致性，經(jīng)過(guò)幾次訓(xùn)練，學(xué)生還是能夠掌握的.

三、把實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題符號(hào)化，促進(jìn)符號(hào)意識(shí)形成

圖9

符號(hào)意識(shí)形成的標(biāo)志就是：對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，能正確引入符號(hào)表示，并且運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算或者推理解決問(wèn)題；或者對(duì)于給定符號(hào)表示的關(guān)系和運(yùn)算能夠深刻理解，帶著數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思考，運(yùn)用符號(hào)所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

案例3：九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)片段.

如圖9，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a<0）的圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A.過(guò)A點(diǎn)的直線與y軸交于B，與二次函數(shù)的圖像交于另一點(diǎn)C，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，AC∶BC=3∶1.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F，其對(duì)稱(chēng)軸與直線AB及x軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.若△FCD與△AED相似，求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

教學(xué)過(guò)程：由于問(wèn)題本身有一定的難度，在學(xué)生事先已經(jīng)練習(xí)的情形下，教師讓學(xué)生說(shuō)出自己的解答方法.

生1：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G.

由CG⊥x軸，OB⊥OA，得CG∥OB，則△ACG∽△ABO.則，則AG=3，則點(diǎn)A（-4，0）.

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF于點(diǎn)H.

把A（-4，0）、O（0，0）代入y＝ax2＋bx＋c中，得：c= 0，16a-4b=0，所以拋物線的解析式為y＝ax2+4ax，可知C（-1，-3a），F(xiàn)（-2，-4a）.

由CG⊥x軸，DE⊥x軸，得CG∥DE，則△ADE∽△ACG.

又CH⊥EF，則CF=CD.

由△FCD與△AED相似，得∠AED=∠FCD=90°，則∠HDC=∠CFH=45°.則∠ADE=∠DAE=45°，則DE=AE.

則-2a=-2，則a=-1，則y＝-x2-4x.

師：這是一道中考中得分率較低的試題，問(wèn)題的難點(diǎn)在于試題含有豐富的數(shù)學(xué)思想，首先要具有消元的思想，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，用含a的代數(shù)式來(lái)表示b，只需要求待定系數(shù)a即可；其次是數(shù)形結(jié)合的思想，猜想或直觀感受到△ADE和△FCD是等腰直角三角形，用數(shù)來(lái)定形；再次是強(qiáng)烈的符號(hào)意識(shí)，在求線段的長(zhǎng)度時(shí)，都是帶有符號(hào)的運(yùn)算，整個(gè)運(yùn)算過(guò)程都要帶著符號(hào)來(lái)思考；最后是函數(shù)思想.解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)并求出CD=CF.

生2：受生1解法的啟發(fā)，第二問(wèn)還有其他的解法.過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF于點(diǎn)H.

把A（-4，0）、O（0，0）代入y＝ax2＋bx＋c中，得：c=0，16a-4b=0，所以拋物線的解析式為y＝ax2+4ax，可知C（-1， -3a），F(xiàn)（-2，-4a）.

設(shè)直線AB：y=mx+n，把A（-4，0）代入，得-4m+n=0，即n=4m，則y=mx+4m.把x=-1代入，得y=3m，則3m=-3a，則m=-a，則y=-ax-4a.當(dāng)x=-2時(shí)，y=-2a，則DE=-2a，以下解法同生1一致.

師：生2的解法具有一定的創(chuàng)新性，問(wèn)題中有待定字母，再引入直線的解析式，通過(guò)函數(shù)思想，在點(diǎn)C處分別利用直線和二次函數(shù)的解析式，求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，從而把直線中的兩個(gè)字母都用a來(lái)表示，這樣點(diǎn)D的坐標(biāo)就很容易表達(dá)，這樣解決深刻理解了函數(shù)的思想，運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，創(chuàng)新性強(qiáng)，值得借鑒.

這是一道對(duì)符號(hào)意識(shí)要求較高的中考試題，本題的得分率不高，經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)在于：做（2）時(shí)沒(méi)有想到把b用含a的代數(shù)式來(lái)表示，問(wèn)題中的線段的長(zhǎng)度都用含a的代數(shù)式表示，整個(gè)解題過(guò)程中缺乏符號(hào)意識(shí).縱觀本題的兩種解法，包括消元思想、函數(shù)思想都是帶著符號(hào)進(jìn)行思考，尤其是生2的解法，引入直線的解析式，又要引入兩個(gè)參數(shù)m、n，其解法對(duì)符號(hào)參與運(yùn)算要求之高令人望而生畏，所以說(shuō)提高學(xué)生的符號(hào)意識(shí)任重道遠(yuǎn).

符號(hào)意識(shí)的形成，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，要求教師在平時(shí)的教學(xué)中有強(qiáng)烈的意識(shí)，在代數(shù)式的運(yùn)算、方程、函數(shù)、不等式、幾何推理的教學(xué)中不斷滲透，讓符號(hào)真正成為數(shù)學(xué)交流的工具，使學(xué)生在理解符號(hào)語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，熟練使用數(shù)學(xué)符號(hào)解決問(wèn)題.

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