找準生長點，思辨特殊與一般
——李庾南老師“直角三角形全等”課例賞析

☉江蘇省如東縣曹埠鎮(zhèn)初級中學 吳燕飛

我們知道，“HL”是直角三角形全等的一種特殊判定方法.教學中通常創(chuàng)設(shè)剪拼、重合的方法來驗證得出全等依據(jù)，也有的通過尺規(guī)作圖的方法獲得兩個直角三角形，再剪拼驗證它們是否能重合.這樣的教學情境固然能幫助學生學習直角三角形全等的判定方法（HL），然而筆者最近關(guān)注到全國著名特級教師李庾南老師一節(jié)“直角三角形全等”的課例，卻是從一般三角形全等方法入手，引導學生探索直角三角形全等的條件，不但讓學生探索出新的判定方法，同時在這個過程中，學生還很好地思辨了特殊與一般之間的關(guān)系.下面記錄該課的教學流程，并進一步賞析專家型教師的實踐智慧，提供研討.

一、“直角三角形全等的條件”教學流程

1.開課階段：回顧三角形全等的條件

師生共同回顧梳理判定三角形全等的方法：SSS、SAS（討論SSA為什么不可以）、ASA、AAS（由ASA為依據(jù)證明）.

一邊回顧，一邊梳理成下面的知識結(jié)構(gòu)圖：

2.研究判定直角三角形全等的方法

一般三角形所具有的性質(zhì)，直角三角形都具備，因此可以用判定一般三角形全等的方法來判定兩個直角三角形全等.直角三角形中有一個角是直角，而直角都相等，因此判定兩個直角三角形全等時，除直角外，只需找到另兩個條件即可.

（1）除直角對應(yīng)相等外，還需要哪兩個元素對應(yīng)相等？為什么？（小組內(nèi)交流）

①兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（夾角為直角）—— SAS；

②斜邊和一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（有一個角是直角）——AAS；

③一條直角邊和一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（有一個角是直角）——ASA或AAS.

結(jié)論：一般三角形的判定方法適用于直角三角形全等的判定.

（2）探究：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（其中一邊對的直角）——SSA.

用畫圖的方法探究：畫Rt△ABC，使∠C=90°，AB= 3cm，BC=2cm.

畫法：如圖1，畫∠MCN=90°；在射線NC上取CB=2cm；

以B為圓心、3cm長為半徑畫弧，交射線CM于點A；

連接AB.則△ABC為所畫的Rt△ABC.

引導比較：若∠C≠90°，以B為圓心、2.5cm為半徑畫弧，交MA于點C1和C2，此時AB=AB，∠A=∠A，BC1=BC2，但△ABC1與△ABC2顯然不全等，所以“SSA”不能判定一般三角形全等，當∠A是直角時，可判定兩個三角形全等.

結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.符號表示：如圖2，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，則Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（HL）.

圖1

圖2

圖3

3.練習交流

題1：如圖3，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，求證：AB＝AD.

分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)需證△ABC≌△ADC.

證明：由AB⊥BC，AD⊥DC，得∠B＝∠D＝90°（垂直定義）.

在△ABC和△ADC中，則△ABC≌△ADC（AAS）.

則AB＝AD.

拓展研究：

（1）還可得到哪些結(jié)論？為什么？

（2）若將已知條件∠1＝∠2與AB＝AD互換，如何證明？

變式1：如圖4，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.

證明：由AB⊥BC，AD⊥DC，得∠B＝∠D＝90°（垂直定義）.

圖4

圖5

則∠1＝∠2.

變式2：如圖5，AB⊥BC，A′D′⊥D′C′，AB＝A′D′，且點A、A′、C、C′共線，則∠1＝∠2嗎？

【預設(shè)解答】此時增加什么條件即可證得∠1＝∠2？（運用“HL”可增加AA′＝CC′或AC＝A′C′；運用“SAS”可增加BC＝C′D′；運用“AAS”可增加∠ACB＝∠A′C′D′）

4.課堂小結(jié)

（1）直角三角形全等的判定方法：

①運用一般三角形的判定方法：“SAS”“ASA”“AAS”；

②特殊方法：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

（2）研究方法.

通過畫圖、實驗（疊合），也可通過按一定條件能確定一個三角形（即只能畫出唯一的一個三角形）得出結(jié)論.

（3）注意點：對于一般三角形，沒有“SSA”判定方法.

二、課例賞析

1.精選新知生長點，引導學生思辨特殊與一般的關(guān)系

我們知道不同教材上引入直角三角形全等條件的方式是不一樣的，當前比較流行的是通過一個剪拼操作、驗證歸納的方式得出，然而李老師卻是從復習梳理一般三角形全等的條件出發(fā)，并從中找到一個知識的生長點，引導學生對比直角三角形與一般三角形全等的條件之間的相同點，這一方面強調(diào)了直角三角形只是一種特殊的三角形，前面所學的全等三角形的判定方法完全適用于直角三角形，另一方面，通過這種對比、驗證和梳理的方法，也促進學生思辨了特殊與一般之間的關(guān)系，從一定意義上說，追求了直角三角形全等的教學深度.

2.注重“超經(jīng)驗”的情境創(chuàng)設(shè)，追求“邏輯連貫、前后一致”的幾何教學

近年來，華東師大張奠宙教授倡導“超經(jīng)驗”的數(shù)學研究，即與能找到生活情境的數(shù)學知識相比，有些數(shù)學知識難找到恰當?shù)纳瞵F(xiàn)實來引入，這時基于數(shù)學知識邏輯連貫、前后一致的方式，像上文開課階段基于一般三角形全等條件的復習回顧，也達到了對新數(shù)學知識的自然引入，筆者理解，這也就是一種積極的“超經(jīng)驗”的數(shù)學研究.

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數(shù)學通報，2013（6）.

4.李庾南，陳育彬.中學數(shù)學新課程教學設(shè)計30例——學力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數(shù)學教育，2014（5）.Z