情境創(chuàng)設(shè)再認(rèn)識：值得重視的“超經(jīng)驗(yàn)”
——李庾南老師“二元一次方程組”起始課賞析

☉江蘇省海安縣白甸鎮(zhèn)初級中學(xué) 朱映紅

我們知道，有些青年教師在參加賽課活動(dòng)中，總是希望有一個(gè)“料想不到，情理之中”的教學(xué)情境引入，從而在課堂情境的創(chuàng)設(shè)上開動(dòng)腦筋，有時(shí)不惜花大力氣制作適合教學(xué)地點(diǎn)的視頻、動(dòng)畫，或是當(dāng)前生活中的熱點(diǎn)問題或者反映當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)厝宋谋尘暗那榫车?我們對這樣的教學(xué)研討團(tuán)隊(duì)的努力表示尊敬的同時(shí)，往往又為他們的畫蛇添足而感慨，比如對于初中數(shù)學(xué)中很多新知的引入，完全不必時(shí)時(shí)、事事、處處引進(jìn)所謂的生活情境，有時(shí)可根據(jù)前后數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，很自然地設(shè)計(jì)課堂引入或者新知過渡的情境，這也許就是張奠宙教授近年來倡導(dǎo)的“超經(jīng)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)情境吧.本文擬結(jié)合全國著名特級教師李庾南老師執(zhí)教的“二元一次方程組”課例，對所謂“超經(jīng)驗(yàn)”的情境創(chuàng)設(shè)提出一些初步思考，提供研討.

一、“二元一次方程組”教學(xué)流程

（一）從學(xué)生已熟悉的算術(shù)模型（“兩數(shù)和”+“兩數(shù)差”）÷2＝大數(shù)，（“兩數(shù)和”-“兩數(shù)差”）÷2＝小數(shù)入手，建立“二元一次方程”和“二元一次方程組”兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析求解思想，探究求解方法.

問題1：已知兩數(shù)的和等于8，求這兩個(gè)數(shù).

（1）學(xué)生易設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x、y，由題意建立方程：x＋y＝8.

（2）分析方程x＋y＝8的特點(diǎn)，概括二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程.

（3）二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

如何求x＋y＝8的解？

在學(xué)生研究的基礎(chǔ)上總結(jié).

①求解方法.

把關(guān)于x、y的二元一次方程看作是關(guān)于y（或關(guān)于x）的一元一次方程，若把x（或y）看作已知數(shù)，先給定一個(gè)x（或y）的值，再求相應(yīng)的y（或x）的值，這一對x、y的值就是方程的一個(gè)解.

②二元一次方程的解的特點(diǎn).

二元一次方程的一個(gè)解是一對未知數(shù)的值；兩個(gè)未知數(shù)的值是相互制約的，所以記作：這兩個(gè)數(shù)雖相互制約但不唯一.一般地，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.

問題2：已知兩數(shù)的差是2，求這兩個(gè)數(shù).

學(xué)生易解：設(shè)這兩數(shù)中較大的數(shù)為x，較小的數(shù)為y，則x-y＝2.

問題3：已知兩數(shù)的和為8，兩數(shù)的差為2，求這兩個(gè)數(shù).

（1）學(xué)生易得方程組，建立“方程組”概念.

設(shè)這兩數(shù)中較大的數(shù)為x，較小的數(shù)為y.

把這樣的兩個(gè)含有相同未知數(shù)的二元一次方程合在一起就組成了一個(gè)二元一次方程組.

（2）什么是二元一次方程組的解.

二元一次方程組中的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.（應(yīng)由學(xué)生自主建構(gòu)）

在學(xué)生將算術(shù)中“和、差”問題的解題經(jīng)驗(yàn)自覺地遷移到解方程組的基礎(chǔ)上分析.

①±②的依據(jù)是等式的性質(zhì)，即“等式兩邊都加（減）相等的量，結(jié)果仍相等”，目的是“消去一個(gè)未知數(shù)y（或x）”，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的一元一次方程，先解出x（或y），然后求另一個(gè)未知數(shù)y（或x）.

方法1：①＋②，消去y，得x＝5.將x＝5代入方程①或②，得y＝3.

方法2：①-②，消去x，得y＝3.將y＝3代入方程①或②，得x＝5.

（4）概括二元一次方程組的求解思想和加減消元法.

二元一次方程組的求解思想是“消元”——將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想.

消元方法1：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

在學(xué)生探究、交流的基礎(chǔ)上，概括代入消元法.

代入消元法：將二元一次方程組中的一個(gè)方程，變形為一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示的形式，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

（二）總結(jié)二元一次方程組的求解思想和方法，理解運(yùn)用加減法和代入法的條件.

（1）解二元一次方程組的基本思想是消元，轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

（2）消元的方法：加減法——方程組中必須有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等；代入法——必須將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示，再代入另一個(gè)方程.

（三）探究解題策略，感受“消元”過程.

如何用代入消元法將下列各方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程？

總結(jié)：選擇其中一個(gè)方程變形為用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，而后代入另一個(gè)方程，得一元一次方程.

如何用加減消元法將下列各方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程？

總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)方程不具備未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等關(guān)系時(shí)，則先將方程變形，使其具備該條件，從而通過兩個(gè)方程相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)，得一元一次方程.

（四）回顧反思、總結(jié)提升，建構(gòu)表示用消元法解二元一次方程組的過程的框圖.

（1）由二元一次方程組的解的意義：二元一次方程組中的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解，可以檢驗(yàn)一對未知數(shù)的值是否為方程組的解.即將一對未知數(shù)的值代入原方程組，看它們是否滿足兩個(gè)方程，由此判定它們是否為原方程組的解.也可已知方程組的解求方程組中的待定系數(shù).

（2）解方程組的基本思想是消元，使二元問題先轉(zhuǎn)化為一元問題，求出一個(gè)未知數(shù)后再求出另一個(gè)未知數(shù).方法有代入法和加減法.

①師生共同建構(gòu)表示用代入法解二元一次方程組的過程的框圖.

（五）課外作業(yè).

（1）閱讀教材（相關(guān)內(nèi)容）.

（2）分別用代入法和加減法解（三）中的兩組方程組.

二、關(guān)于“超經(jīng)驗(yàn)”數(shù)學(xué)情境的認(rèn)識

1.從學(xué)生小學(xué)算術(shù)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)“超經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)情境

本節(jié)課教者未用書本中的引例——籃球賽問題，而是用了更貼近學(xué)生的已有的算術(shù)模型——小學(xué)應(yīng)用題中的“兩數(shù)和差問題”，引入新知和新技能的研究，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)已建立的方程思想，將問題中的兩數(shù)歸結(jié)為兩個(gè)未知數(shù)，從而建立二元一次方程和二元一次方程組的概念，以及它們的解的性質(zhì).新知識這樣的生成過程，既自然又生動(dòng)，并具有生命力.教學(xué)從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，選擇學(xué)生熟悉的與新知緊密聯(lián)系的背景作為研究的切入口，既源于學(xué)生實(shí)際，又高于學(xué)生實(shí)際，學(xué)生既感親切又感新鮮，易調(diào)動(dòng)學(xué)生的激情和探究的積極性.

2.重視學(xué)生已有運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，并使之豐滿發(fā)展成為“消元”方法

我們知道，學(xué)生在小學(xué)就有了“（兩數(shù)和＋兩數(shù)差）除以2，得大數(shù)”“（兩數(shù)和-兩數(shù)差）除以2，得小數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，本課將其抽象為數(shù)學(xué)的“消元”思想和消元方法之一——加減消元法，既使新技能加減法的原理、步驟自然生成，又是學(xué)生原有學(xué)力的新提高、新發(fā)展.這樣也幫助學(xué)生明確了解二元一次方程組的基本思想是“消元”，且有了“加減法”的體驗(yàn)基礎(chǔ)，這又成為學(xué)生進(jìn)一步研究代入法的“創(chuàng)造性學(xué)力”的基礎(chǔ)——“基礎(chǔ)性學(xué)力”，加上教師的適時(shí)點(diǎn)撥和巧妙引導(dǎo)，問題易得到解決.另外，教材中引用了框圖展示代入法和加減法的解題步驟，以及各步驟的作用，這在課堂小結(jié)、課后作業(yè)設(shè)計(jì)中得到體現(xiàn)，利用這個(gè)框圖進(jìn)行解題后的回顧與反思，不僅強(qiáng)化了解二元一次方程組的思想方法和基本技能，更重要的是滲透了算法中程序化的思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，提高思考的深度.

1.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

4.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.Z