張秀梅

（江西省興國縣第四中學(xué) 江西興國 342418）

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型性應(yīng)用研究

張秀梅

（江西省興國縣第四中學(xué) 江西興國 342418）

導(dǎo)數(shù)作為近幾年的高考熱點(diǎn)，越來越受到教師和學(xué)生的重視。但是導(dǎo)數(shù)作為熱點(diǎn)重點(diǎn)的同時(shí)，它也是許多學(xué)生眼中的難點(diǎn)。因此，在高中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生要掌握其基本內(nèi)涵，理清函數(shù)關(guān)系。本文就在導(dǎo)數(shù)的涵義基礎(chǔ)上，對(duì)其典型性應(yīng)用進(jìn)行論述。

導(dǎo)數(shù) 高中數(shù)學(xué) 題目解答 不等式 函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)課程中，導(dǎo)數(shù)一直都充當(dāng)中非常重要的角色。它不僅有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)，而且能夠幫助學(xué)習(xí)者更好地掌握函數(shù)思想。特別是在近年的高考和模擬中，都把導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)熱點(diǎn)進(jìn)行考察。但是對(duì)于許多學(xué)生來說，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，那么如何將導(dǎo)數(shù)靈活地運(yùn)用于數(shù)學(xué)題目地解答中，成為導(dǎo)數(shù)教學(xué)的重中之重。［1］

一、導(dǎo)數(shù)涵義概述

早在17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)。經(jīng)過幾百年的發(fā)展，直到19世紀(jì)60年代以后，導(dǎo)數(shù)的定義才初具雛形并趨向成熟。那么什么是導(dǎo)數(shù)呢，導(dǎo)數(shù)其實(shí)是導(dǎo)函數(shù)的簡稱，具體是指：如果函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)y=f（x）對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為原函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記作y’，f’（x），dy/dx，df（x）/dx，簡稱導(dǎo)數(shù)。

二、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型性應(yīng)用

1.函數(shù)求最值

高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)求最值問題是考試的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，在沒有進(jìn)行導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)于函數(shù)最值得求解，也是有多種方法，比如配方法、換元法、不等式法、函數(shù)單調(diào)性法、平方法、數(shù)形結(jié)合法、線性規(guī)劃法等，但與上述方法相比，利用導(dǎo)數(shù)求解會(huì)更加簡潔明了。例如，函數(shù)f（x）=x3+3x+1在閉區(qū)間［-3，0］上的最大值、最小值分別是多少？這是一道非常基礎(chǔ)的最值問題，因此它的解題思路就是先求閉區(qū)間上的函數(shù)的極值，再與端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行大小比較，最終確定最值。因此，對(duì)于該題的解法如下：因?yàn)閒’（x）=3x2-3，所以令f’（x）=0，得到x=1（舍去）。又因?yàn)閒（-3）=-17，f（-1）=3，f（0）=1，由比較可得，f（x）的最大值為3，最小值為-17。對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，一般有三個(gè)步驟：首先是求函數(shù)在（a，b）內(nèi)的極值；其次是求函數(shù)在端點(diǎn)的函數(shù)值，即f（a）和f（b）。最后是比較上述極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，求得函數(shù)的最值。［2］

2.判斷函數(shù)的單調(diào)性

判斷函數(shù)的單調(diào)性，也可以叫做判斷函數(shù)的增減性，在教學(xué)上一般采用定義法。但是定義法常用來進(jìn)行一些簡單函數(shù)單調(diào)性的判斷，而對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)，如果利用定義法就會(huì)非常繁瑣。因此，可以嘗試用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的判斷。例如，函數(shù)f（x）=-x3+1在R上是否具有單調(diào)性？如果具有單調(diào)性，它在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？試證明。這是一道比較典型的函數(shù)單調(diào)性判斷題，它的證明如下：設(shè)x1、x2∈（-∞，+∞），x1＜x2，則。因?yàn)閤1＜x2，所以，所以f（x1）＞f（x2），函數(shù)f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）是減函數(shù)，由此可得函數(shù)f（x）在R上具有單調(diào)性。

3.解決切線問題

對(duì)于切線問題的解決，這主要是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。一般而言解決切線問題的基本步驟是設(shè)切點(diǎn)求出切線方程，然后根據(jù)題意代入條件，并利用代數(shù)求解，最后得出結(jié)論。例如，已知函數(shù)f（x）=x3-3x（x∈R）的圖像為曲線C，曲線C的切線L經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），求切線L的方程。該題的解法如下：設(shè)切點(diǎn)為（t，t3-3 t），切線L的斜率為k=3 t2-3，切線方程為y-（t3-3t）=（ 3 t2-3）（xt）。因?yàn)長過點(diǎn)A（2，2），所以2-（t3-3t）=（ 3 t2-3）（ 2-t），即t3-3 t2+4=0，解得t=2或t=-1。所以，當(dāng)t=2時(shí)，L：9x-y-16=0；當(dāng)t=-1時(shí)，L：y=2。綜上可得，切線L的方程為y=2或9x-y-16=0。

4.證明不等式

導(dǎo)數(shù)除了用于討論函數(shù)的各項(xiàng)性質(zhì)之外，它的另一項(xiàng)廣泛應(yīng)用就是證明不等式。特別是近年來的高考題中，把不等式的證明放在越來越重要的位置上。而利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，通常要構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性和最值來證明。例如：已知a＞ln2-1，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2-2ax+1。此題解法如下，證明：設(shè)f（x）=ex-x2-2ax+1，x＞0。則f’（x）=ex-2x+2a，設(shè)g（x）=f’（x），g’（x）= ex-2，當(dāng)0＜x＜ln2時(shí)，g’（x） ＜0；當(dāng)x＞ln2，g’（x）＞0。即g（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增。所以g（x）min=g（ln2）=eln2-2 ln2+2a=2（1-ln2+a）。因?yàn)閍＞ln2-1，所以g（x）min＞0，g（x）=f’（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增。因此當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞f（0）=0，即ex＞x2-2ax+1。

結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)中，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用除了求函數(shù)最值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、解決切線問題以及證明不等式之外，還可以解答三角函數(shù)的求導(dǎo)問題、向量求導(dǎo)、解析幾何中的應(yīng)用。由此可見，導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范圍可謂廣泛。但導(dǎo)數(shù)不僅僅是給學(xué)生創(chuàng)造新的解題方法，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，樹立辯證的數(shù)學(xué)觀念。

［1］馮國東.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用分析［J］.新課程研究（基礎(chǔ)教育），2008，05：26-27.

［2］丁明杰.淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.學(xué)周刊，2012，06：122.