郭　萍

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院 基礎(chǔ)部, 山東 青島　266106)

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三因素方差分析的原理及應(yīng)用

郭萍

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院 基礎(chǔ)部, 山東 青島266106)

摘要:基于雙因素方差分析,推導(dǎo)出三因素方差分析的原理,給出了偏差平方和分解式及三因素方差分析表,并將推導(dǎo)的結(jié)果應(yīng)用在具體的數(shù)學(xué)建模案例中,同時(shí)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)了該案例的求解. 求解結(jié)果的一致性說(shuō)明了原理推導(dǎo)的正確性.

關(guān)鍵詞:三因素方差分析; 數(shù)學(xué)建模; MATLAB

當(dāng)今社會(huì)是一個(gè)信息高度發(fā)達(dá)、人們的社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)日益頻繁的社會(huì),大量的信息、數(shù)據(jù)需要人們處理. 如何從這些海量的信息中提取有用的信息,指導(dǎo)人們的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),越發(fā)顯得必要而迫切,從而為數(shù)理統(tǒng)計(jì)提供了日益廣闊的舞臺(tái)[1].

方差分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的內(nèi)容. 方差分析又稱“變異數(shù)分析”或“F檢驗(yàn)”,是由 R A Fisher 發(fā)明的,用于對(duì)兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)[2]. 三因素方差分析是檢驗(yàn)在三種因素影響下,三個(gè)以上總體的均值彼此是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法. 文獻(xiàn)[3]給出了單因素及雙因素方差分析的原理,但并未給出三因素方差分析的相關(guān)內(nèi)容. 本文詳細(xì)推導(dǎo)了無(wú)交互影響的三因素方差分析的原理及偏差平方和分解式,由此給出了三因素方差分析表,利用該分析表解決了一個(gè)具體的數(shù)學(xué)建模案例,并通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)了該案例的求解. 求解結(jié)果的一致性說(shuō)明了原理推導(dǎo)的正確性.

1無(wú)交互影響的三因素方差分析原理

1.1　模型建立

設(shè)有三個(gè)因素A,B,C,因素A取r個(gè)水平,分別記為A1,A2,…,Ar;因素B取s個(gè)水平,分別記為B1,B2,…,Bs;因素C取t個(gè)水平,分別記為C1,C2,…,Ct. 在水平組合(Ai,Bj,Ck)下樣本相互獨(dú)立,且

Xijk~N(μijk,σ2)

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,t).

記

其中,i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,t. 稱μ為一般平均,αi為因素A的第i個(gè)水平的效應(yīng),βj為因素B的第j個(gè)水平的效應(yīng),γk為因素C的第k個(gè)水平的效應(yīng). 顯然,αi,βj,γk滿足如下關(guān)系式:

若μijk=μ+αi+βj+γk,則數(shù)學(xué)模型為

1.2　假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)如下:

1.3　偏差平方和分解式

記

故

1.4　無(wú)交互影響的三因素方差分析表

無(wú)交互影響的三因素方差分析表如表1所示.

表1　無(wú)交互影響的三因素方差分析表

1.5　檢驗(yàn)規(guī)則

(1) 若FA>F1-α(r-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),則拒絕H01,表示在因素A的各水平下的效應(yīng)有顯著差異;

(2) 若FB>F1-α(s-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),則拒絕H02,表示在因素B的各水平下的效應(yīng)有顯著差異;

(3) 若FC>F1-α(t-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),則拒絕H03,表示在因素C的各水平下的效應(yīng)有顯著差異.

2三因素方差分析表的應(yīng)用

2.1　數(shù)學(xué)建模案例

某集團(tuán)為了研究商品銷售點(diǎn)所在的地理位置、銷售點(diǎn)處的廣告和銷售點(diǎn)的裝潢這三個(gè)因素對(duì)商品的影響程度,選了三個(gè)位置(如市中心黃金地段、非中心的地段、城鄉(xiāng)結(jié)合部)、兩種廣告形式、兩種裝潢檔次在四個(gè)城市進(jìn)行了搭配試驗(yàn). 表2是銷售量的數(shù)據(jù).試在顯著性水平0.05下,檢驗(yàn)不同地理位置、不同廣告、不同裝潢下的銷售量是否有顯著差異[4].

表2　銷售量的數(shù)據(jù)

2.2　數(shù)學(xué)建模案例的求解

解法1按照推導(dǎo)出的偏差平方和分解式,計(jì)算求得方差分析表,如表3所示.

表3　方差分析表

由于FA≈13.915 8>F0.95(2,7)=4.74,FB≈15.596 6>F0.95(1,7)=5.59,FC≈12.323 2>F0.95(1,7)=5.59,因此,在顯著性水平α=0.05下,因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對(duì)該商品的銷售量有顯著影響. 為了使該商品的銷售情況更好,地理位置、廣告、裝潢都需要進(jìn)行合理的選擇.

解法2MATLAB實(shí)現(xiàn).

統(tǒng)計(jì)工具箱中用anovan作多因素方差分析. 無(wú)交互影響的三因素方差分析命令為[p,t]=anovan(x,group). 返回值p是三個(gè)概率. 當(dāng)p>α?xí)r接受H0,說(shuō)明因素有顯著影響;當(dāng)p<α?xí)r拒絕H0,說(shuō)明因素?zé)o顯著影響. t是方差分析表.

編寫程序如下:

clc,clear

x=[955 927 905 855 880 860 870 830 875 870 870 821];

group={[′A1′;′A1′;′A1′;′A1′;′A2′;′A2′;′A2′;′A2′;′A3′;′A3′;′A3′;′A3′;];

[′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;];

[′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;]};

[p,t]=anovan(x,group)

求得p的值分別為0.003 6,0.005 5,0.009 9,方差分析表如表4所示.

表4　MATLAB實(shí)現(xiàn)的方差分析表

第一個(gè)p值是在因素A(即地理位置)的影響下得到的,第二個(gè)p值是在因素B(即廣告)的影響下得到的,第三個(gè)p值是在因素C(即裝潢)的影響下得到的. 由于三個(gè)p值均小于0.05,故拒絕原假設(shè),說(shuō)明因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對(duì)該商品的銷售量有顯著影響.

MATLAB實(shí)現(xiàn)的結(jié)果與利用偏差平方和分解式得到的結(jié)果是一致的,說(shuō)明偏差平方和分解式及無(wú)交互影響的三因素方差分析表的推導(dǎo)都是正確的.

3結(jié)語(yǔ)

近年來(lái), 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及, 借助于計(jì)算機(jī)及MATLAB[5]軟件完成統(tǒng)計(jì)計(jì)算、分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果、作出統(tǒng)計(jì)推斷已經(jīng)成為必然趨勢(shì). 但是沒(méi)有理論支撐的應(yīng)用, 就如空中樓閣.

對(duì)無(wú)交互影響的三因素方差分析原理及偏差平方和分解式的推導(dǎo), 對(duì)數(shù)據(jù)較少的實(shí)際問(wèn)題, 不僅可以通過(guò)動(dòng)手計(jì)算, 分析問(wèn)題的結(jié)果; 而且有了理論的支撐, 可以更好地理解MATLAB軟件中程序的意義, 同時(shí)對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出更透徹的分析.

參考文獻(xiàn):

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(Yi Kunnan,Cheng Xunjie. A Frequently Mistaken Concept in “Hypothesis Test”: A Dispute Triggered by China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling[J]. Journal of Chongqing University of Technology: Natural Science, 2013,27(4):106-109.)

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(Wei Zongshu,et al. The Course of Probability Theory and Mathematical Statistics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001:372-391.)

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(Si Shoukui. Algorithm and Program of Mathematical Modeling[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2007:225.)

[5] 季麗麗,馬驥. 基于MATLAB轉(zhuǎn)子繞線機(jī)控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)器的仿真研究[J]. 沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2012,24(1):25-27.

【責(zé)任編輯: 李艷】

(Ji Lili,Ma Ji. Simulating Research of Rotor Winding Machine Control System Regulator based on MATLAB[J]. Journal of Shenyang University: Natural Science, 2012,24(1):25-27.)

Principle and Application of Three Factors Analysis of Variance

GuoPing

(Qindao College,Qingdao University of Technology, Qingdao 266106, China)

Abstract:The principle of three factors analysis of variance is derived based on two factors analysis of variance. The factorization of the sum of squared deviations and the table of the three factors analysis of variance are presented; the result is applied in a specific mathematical modeling case, while using MATLAB to solve this case. The consistency of the results illustrates the correctness of the derivation of the principle.

Key words:three factor analysis of variance; mathematical modeling; MATLAB

收稿日期:2014-08-26

中圖分類號(hào):O 29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

作者簡(jiǎn)介:郭萍(1981-),女,山西陽(yáng)泉人,青島理工大學(xué)琴島學(xué)院講師.

文章編號(hào):2095-5456(2015)01-0040-04