李習(xí)凡　朱勝強

[摘要]圓錐曲線對定點張直角弦的問題一般視為直線與圓錐曲線的交點問題，可通過聯(lián)立方程，化為一元方程后求解．向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁．運用向量工具也可以有效地揭示對定點張直角弦所具有的一般性質(zhì)．

[關(guān)鍵詞]圓錐曲線；對定點張直角弦；性質(zhì)；向量；探究

問題提出

“圓錐曲線對定點張直角弦的性質(zhì)”指的是對圓錐曲線上某定點張直角的弦所在直線必過定點或固定方向（為簡便起見．下文稱該性質(zhì)為“弦的性質(zhì)”）．

多年來．弦的性質(zhì)一直受到關(guān)注，許多研究者從不同角度對其進行了拓展研究．獲得了諸多有價值的結(jié)論．弦的性質(zhì)還不時被作為背景材料出現(xiàn)于一些解析幾何試題中，雖然性質(zhì)的條件與結(jié)論均簡潔明了．但推導(dǎo)過程相對復(fù)雜．由于它并非教材所明確的圓錐曲線的幾何性質(zhì)．因此在許多場合不宜作為推理的依據(jù)直接使用，需要給出結(jié)論產(chǎn)生的過程．

弦的性質(zhì)所涉及的問題可視為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題．對于解析幾何中的這類問題有常用的求解思路．

記圓錐曲線為C，A（s，t）是其上一定點，弦MN的端點分別為M（x1，y1），N（x2，y2），并有MA⊥NA．

先設(shè)直線MN的方程.M，N是直線MN與圓錐曲線C的兩個交點，它們的坐標(biāo)是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立所得方程組的解．由方程組消元可得關(guān)于x或y的一元二次方程．

幾何條MA⊥NA也可用M，N的坐標(biāo)表示，即用x1，x2或y1，y2表示．這也是上述一元二次方程有解應(yīng)滿足的條件．

依據(jù)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系．可得一元二次方程的系數(shù)應(yīng)滿足的條件，進而得到直線MN方程的系數(shù)所滿足的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上便可推導(dǎo)出所需結(jié)論（思路如圖1所示）．

這個思路充分體現(xiàn)了解析幾何的基本特征．也就是用代數(shù)法解決幾何問題，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，雖然這個思路十分明確．但運算過程比較煩瑣，簡潔是數(shù)學(xué)發(fā)展永遠追求的一個目標(biāo)，因此，當(dāng)面對熟悉、不斷重復(fù)且煩瑣的流程時，很自然會提出這樣—個問題：弦的性質(zhì)有其他簡潔的推導(dǎo)方法嗎？

基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“通過微型探究培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實踐研究”（B-b/2018/02/78），江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)課堂實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的問題驅(qū)動策略研究”（B-b/2015/02/261）．