王海霞，蔣里強(qiáng)，王桂花

（1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450044；2.防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部，河南 鄭州 450052）

0 引言

直到最近幾年，肺結(jié)核還是世界上許多地方引起死亡的主要原因.眾所周知，一個人隨時都會染上結(jié)核病.這就是說，通過偶然接觸一個染病者，或者是通過接觸一個結(jié)核病患者的其他家庭成員是都會染上的.據(jù)報道，每年大概有800萬人會染上結(jié)核病，而且這些人每人每年僅僅通過呼吸又可以傳染10～15 人.因此，研究結(jié)核病的控制與傳染具有重大意義.

本文提出并討論了兩個結(jié)核病傳染的數(shù)學(xué)模型：一個常微分方程模型；然后引入一個離散時滯來描述一個易感者從感染到真正成為一個結(jié)核患者的時間（即潛伏期），從而得到了一個帶有離散時滯的離散時滯模型.各種類型的時滯已被眾多學(xué)者引入到生物模型中（［1-6］）.本文通過分析時滯模型的超越特征方程，得到了染病平衡點穩(wěn)定的條件，它只和相關(guān)參數(shù)有關(guān)，而與時滯的具體大小無關(guān).

1 常微分方程模型

受文獻(xiàn)［7］中常微分方程模型的啟發(fā)，采用雙線性發(fā)生率，提出以下常微分方程模型：

式中：Λ代表人口輸入率；μ代表自然死亡率；d代表由結(jié)核病引起的死亡率.β1，β2是有效傳染率；γ代表治愈率.假設(shè)所有參數(shù)均非負(fù)并且不失一般性，并假設(shè)β1≥β2.

注意到，

因此總?cè)丝贜（N＝S+I+R）會隨著時間的變化而變化.在無病的情況下，總?cè)丝贜（t）收斂于平衡點.從式（2）可知，因此在可行域

中來討論模型（1），可以證明這正是關(guān)于（1）的正不變區(qū)域.記?Γ和分別代表區(qū)別Γ的邊界和內(nèi)部.定義其中ω＝μ+d+γ.R0代表在一個大小為的完全易感人群中一個結(jié)核病患者傳染易感者的平均數(shù)量，通常被稱為基本再生數(shù)（［8］）.

模型（1）平衡點滿足方程

在無病的（I＝0）情況下，解方程（4），得模型的唯一的無病平衡點疾病可能持續(xù)存在（I≠0）的情況下對應(yīng)于模型的地方病平衡點.考慮到平衡點（當(dāng)存在時）不能被顯式表示，本文將在模型參數(shù)滿足某些特定條件時討論它們的存在性.注意到方程（4）中第1和第3個方程，有又I≠0，將它們帶入方程（4）中第2個方程，即

通過一個復(fù)雜的計算，得到一個二次方程

假設(shè)R0≤1，顯然有C≥0，B＞0，從而Q（I）沒有正根.也就是說，模型沒有地方病平衡點.假設(shè)R0＞1，C＜0，此時Q（I）有兩個實根，一正一負(fù).因此模型有唯一的地方病平衡點

由上面的分析可以知道，如果R0≤1，則E0是Γ內(nèi)唯一的平衡點；如果R0＞1，則在˙Γ內(nèi)有唯一的地方病平衡點.其中而是二次方程Q（I）的正根.

首先考慮無病平衡點E0.模型（1）的雅可比矩陣為

從而模型（1）在E0處的雅可比矩陣為

定理1 如果R0＜1，則無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；如果R0＞1，則無病平衡點E0不穩(wěn)定.

相應(yīng)的特征方程為

也就是

由Routh-Hurwitz判別準(zhǔn)則可得到穩(wěn)定性條件A1＞0，A3＞0和B1＝A1A2-A3＞0.注意到，對所有參數(shù)均有A1＞0.

由上，就有

因此，當(dāng)R0＞1時，地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.綜上分析有以下定理：

定理2 如果R0＞1，則地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

2 時滯模型

在模型（1）中引入一個離散時滯，代表潛伏期，模型如下：

滿足初始條件S（θ）＝S0，I（θ）＝0，R（θ）＝R0，θ∈［-τ，0］.這里除了τ代表潛伏期的長度即天數(shù)外，其他參數(shù)均與模型（1）中的相同.同樣，又找到了一個無病平衡點和一個地方病平衡點，其中與第2部分中的一樣.既然當(dāng)τ＝0 且R0＞1 時無病平衡點E0是不穩(wěn)定的，引入時滯也不會改變其不穩(wěn)定性，因此當(dāng)R0＞1時，E0不穩(wěn)定，而R0＞1也正是地方病平衡點存在的條件.

以矩陣的形式表示系統(tǒng)（8），即

這里C1和C2是3 階矩陣，

人們知道，當(dāng)相應(yīng)特征方程（9）的所有特征根均具有負(fù)實部時，平衡點是漸近穩(wěn)定的［9］.然而，與常微分方程模型的特征方程（6）相比，方程（9）更難以處理.首先，它是一個超越方程，有無窮多個特征根；其次，由于它是超越方程，經(jīng)典的Routh-Hurwitz判別準(zhǔn)則對它將不再適用；再者，盡管也有一些常規(guī)的方法［4］可以用來確定超越特征方程的特征根何時均具有負(fù)實部，但用這樣一個常規(guī)的方法來處理這個特定的超越方程也是相當(dāng)復(fù)雜的［10］.

為此，本文將分析性地研究超越特征方程（9）的根的分布.回想一下常微分方程模型（1），當(dāng)R0＞1時地方病平衡點是穩(wěn)定的.本文的出發(fā)點是假設(shè)常微分方程（1）的地方病平衡點是穩(wěn)定的，然后當(dāng)導(dǎo)出保證時滯方程（7）仍然穩(wěn)定時，其中參數(shù)滿足的條件.為此，考慮τ＝0時的方程（9），也就是方程（6），并且方程（6）的所有特征根均具有負(fù)實部.由Rouché′s 定理［11］以及關(guān)于τ的連續(xù)性，超越方程（9）具有正實部的特征根當(dāng)且僅當(dāng)它具有純虛根.將確定如果方程（9）具有純虛根，從中將會找到其所有特征根均具有負(fù)實部的條件.

記方程（9）的特征根λ＝η（τ）+iξ（τ）（ξ＞0），其中η（τ）和ξ（τ）依賴于時滯τ.既然常微分方程模型的平衡點ˉE是穩(wěn)定的，因此當(dāng)τ＝0 時η（0）＜0.由連續(xù)性知，當(dāng)τ＞0 且足夠小時，仍然有η（0）＜0 并且仍是穩(wěn)定的.如果對某些τ0＞0使η（τ0）＝0，這時λ＝iξ（τ0）便是方程（9）的純虛根.換言之，如果這樣的ξ（τ0）不存在，也就是說如果對所有時滯，特征方程（9）都沒有純虛根，那么地方病平衡點始終是穩(wěn)定的.本文將證明對特征方程（9）來說確實是這樣的.

顯然，如果iξ（ξ＞0）是方程（9）的一個根，當(dāng)且僅當(dāng)

分離其實部和虛部，有

將方程兩邊平方再相加，得

注意到，

事實上，注意到對所有參數(shù)都有

因此b＞0，a＞0，并且a2-3b＜a2.也就是說所以v1和v2均不是正的，因此方程（12）沒有正根.又h（0）＝c＞0，從而方程（11）沒有正根.

上面的斷言意味著不存在這樣的ξ使得iξ是特征方程（9）的特征根.所以，特征方程（9）的所有特征根的實部對所有時滯τ≥0 都是負(fù)的.綜上分析，有如下定理：

定理3 如果R0＞1，則時滯模型（7）的地方病平衡點是絕對穩(wěn)定的.這就是說，對所有的τ≥0，對所有時滯都是漸近穩(wěn)定的.

正如人們所知，定理3 表示如果參數(shù)滿足R0＞1，也就是說只要存在，時滯模型（7）的地方病平衡點對所有時滯都是近穩(wěn)定的，也即與時滯無關(guān).

3 結(jié)束語

提出并討論了兩個肺結(jié)核傳染病的數(shù)學(xué)模型：一個常微分方程模型，一個帶有時滯的模型.盡管其中的常微分方程模型與肺結(jié)核的實際傳染情況有所偏差（修改了四維模型是為了給后面討論時滯模型提供方便），通過穩(wěn)定性的討論，得到了一個閾值R0，也就是基本再生數(shù)；然后在模型中引入了一個離散時滯，它描述了從感染到進(jìn)一步成為結(jié)核患者的時間，即潛伏期.通過分析超越特征方程，得到了地方病平衡點穩(wěn)定的條件，它只和相關(guān)參數(shù)有關(guān)，而與時滯的具體大小無關(guān).

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