鄧慶全

在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學習多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數(shù)還需再深入學習。

一、進一步深入理解函數(shù)概念

二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題。

類型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1）

這里不能把?（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設?（x+1）=x2-4x+1，求?（x）

這個問題理解為，已知對應法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6

（2） 變量代換：它的適應性強，對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1? ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而?（x）= x2-6x+6

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

在高中階階段學習單調(diào)性時，必須讓學生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（-∞，-b/2a]及[-b/2a，+∞） 上的單調(diào)性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數(shù)有關的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

（1）y=x2+2|x-1|-1（2）y=|x2-1|（3）= x2+2|x|-1

這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設?（x）=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出 y=g（t）的圖象

解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

當t>1時，g（t）=?（t）=t2-2t-1

當t<0時，g（t）=?（t+1）=t2-2

?????????? t2-2， （t<0）

g（t）=? -2，（0≤t≤1）

t2-2t-1， （t>1）

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

三、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學生的數(shù)學思維

類型Ⅴ：設二次函數(shù)?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1/a。

（Ⅰ）當X∈（0，x1）時，證明X<?（x）<x1。

（Ⅱ）設函數(shù)?（x）的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0<x/2。

解題思路：

本題要證明的是x<?（x），?（x）<x1和x0< x/2 ，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①?（x）=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點;②方程?（x）-x=0可變?yōu)閍x2+（b-1）x+1=0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a.b.c之間的關系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數(shù)關系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現(xiàn)以思路②為例解決這道題：

（Ⅰ）先證明x<?（x），令?（x）=?（x）-x，因為x1，x2是方程?（x）-x=0的根，?（x）=ax2+bx+c，所以能?（x）=a（x-x1）（x-x2）

因為0<x1<x2，所以，當x∈（0，x1）時， x-x1<0， x-x2<0得（x-x1）（x-x2）>0，又a>0，因此?（x） >0，即?（x）-x>0.至此，證得x<?（x）

根據(jù)韋達定理，有? x1x2=c/a??? ∵ 0

即x<?（x）<x1

（Ⅱ） ∵?（x）=ax2+bx+c=a（x+-b/2a）2+（c-b2/4a? ），（a>0）

函數(shù)?（x）的圖象的對稱軸為直線x=-b/2a，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b/2a，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=-（b-1）/a，∵x2-1/a<0，

∴x0=-b/2a=1/2（x1+x2-1/a）<x/2，即x0=x/2。

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。