王琦

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；梯形；性質(zhì)；探究

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）18—0123—01

梯形是在學(xué)生了解了相交線、平行線、角、三角形、平行四邊形等相關(guān)知識的基礎(chǔ)上進行研究的一類特殊四邊形，它實際上是前面這些內(nèi)容的綜合和拓展.筆者對人教版八年級教材上設(shè)置的一類特殊梯形問題進行了一些探究，有一些心得，與各位同仁交流.

問題1：如圖1，AB//CD，BE、CE分別為∠ABC、∠BCD的平分線，點E在AD上，求證：BC=AB+CD.

問題2：如圖2，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB+CD=BC，E是AD的中點， 求證：BE⊥CE.

一、解析

兩個問題在求證結(jié)論或已知條件中均有式子BC=AB+CD，由此猜想它們之間是否有某種聯(lián)系？

問題1：如圖3，在線段BC上截取BF=AB，連接EF.由AB=BF，∠1=∠2，BE公用，知ΔABE≌ΔFBE（SAS），所以∠AEB=∠FEB，AB=BF，AE=EF①；由AB//CD知∠ABC+∠BCD=180°，又BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠2+∠3=90°，由此∠BEF+∠FEC=90°，那么∠AEB+∠DEC=90°.聯(lián)系∠AEB=∠FEB可得∠FEC=∠DEC.再由∠3=∠4，CE公用可知ΔFEC≌ΔDEC（ASA），所以FC=CD，EF=ED②.所以BF+FC=AB+CD，即BC=AB+CD.

問題2：如圖4，延長BE交CD延長線于點F，由AB//CD得∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，由E是AD的中點得AE=ED，因此ΔABE≌ΔDFE（AAS），所以AB=DF，BE=EF，所以CF=CD+DF=CD+AB.已知BC=AB+CD，故BC=CF，即ΔBCF是等腰三角形，由BE=EF得CE⊥BE（三線合一）.

二、歸納

1.解法比較.問題1采取“截長法”，綜合運用平行線的性質(zhì)，角平分線定義，等角的余角相等等知識點，通過兩次三角形全等證明了結(jié)論； 問題2采取了“補短法”，綜合運用垂線性質(zhì)，線段中點定義，通過三角形全等證明新構(gòu)造的三角形為等腰三角形，再根據(jù)三線合一性質(zhì)證明結(jié)論.

2.內(nèi)在聯(lián)系.問題1的題設(shè)是“在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上”，結(jié)論是“（1）BC=AB+CD；（2）E是AD的中點；（3）BE⊥CE”；問題2的題設(shè)是“在梯形ABCD中，AB//CD，BC=AB+CD，E是AD的中點（點E在AD上）”，結(jié)論是“（1）BE平分∠ABC，CE平分∠BCD；（2）BE⊥CE”.很顯然，有下列關(guān)系存在：在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上? BC=AB+CD 且E是AD的中點，可見，它們是一對互逆命題.由以上討論知道，它們都是真命題.現(xiàn)概括如下：

定理1：如果梯形同一腰上兩個內(nèi)角的平分線交點在另一腰上，那么此梯形一腰長等于兩底之和，兩內(nèi)角的平分線的交點是另一腰的中點.

定理2：如果梯形一腰長等于兩底之和，那么該腰端點與另一腰中點的連線必平分同一腰上的兩個內(nèi)角.

三、拓展

1.面積公式和中位線長.S梯形=腰長×高=中位線×高，其中位線長=腰長.

2.面積恒定與上下底長的可變性.對一般梯形而言，高不變時，如果上下底長度至少有一個量變化，則其面積會隨之變化；對滿足定理1、2的特殊梯形，當(dāng)高不變時，如果把“另一腰”繞它的中點E順時針（逆時針）方向旋轉(zhuǎn)，它的面積恒定不變.

編輯：謝穎麗endprint