歐江霞 李明峰 王永明 徐 燕

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079

基于穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘的點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合*

歐江霞1)李明峰1)王永明2)徐 燕1)

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079

針對(duì)經(jīng)驗(yàn)權(quán)值偏差及掃描數(shù)據(jù)異常點(diǎn)對(duì)傳統(tǒng)加權(quán)整體最小二乘點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合精度的影響，提出既可自適應(yīng)修正觀測(cè)向量權(quán)值及系數(shù)矩陣權(quán)值，又能剔除異常數(shù)據(jù)的穩(wěn)健加權(quán)整體最小二乘算法。將新算法應(yīng)用于擬合不同掃描距離獲取的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，算例表明，與常規(guī)方法相比，該算法的單位權(quán)中誤差較小，平面擬合精度較優(yōu)。

點(diǎn)云數(shù)據(jù);平面擬合;最小二乘;穩(wěn)健估計(jì);權(quán)值

在點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合過(guò)程中，若僅觀測(cè)向量含有隨機(jī)誤差，則可通過(guò)建立高斯-馬爾科夫模型，采用最小二乘(least squares，LS)法求取平面參數(shù)的最或然值。由于受觀測(cè)條件、儀器精度等各種因素的影響，參與平面參數(shù)解算的所有觀測(cè)值均含有一定的隨機(jī)誤差，此時(shí)可采用顧及觀測(cè)向量誤差與系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘(total least squares，TLS)方法［1－4］。若獲取的觀測(cè)向量精度不等，則可根據(jù)每個(gè)觀測(cè)向量的精度確定其相對(duì)權(quán)值，并引入加權(quán)總體最小二乘(weighted total least squares，WTLS)方法［5－7］進(jìn)行參數(shù)解算，提高參數(shù)的精確度。傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘模型中的權(quán)值根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定，缺乏嚴(yán)密性。對(duì)此，本文提出基于穩(wěn)健估計(jì)的加權(quán)總體最小二乘(robust weighted total least squares，RWTLS)點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合算法，即在模型參數(shù)的迭代解算過(guò)程中自適應(yīng)地修正觀測(cè)向量權(quán)值與系數(shù)矩陣權(quán)值，使各觀測(cè)向量的權(quán)值趨于合理，提高權(quán)值的可靠性，同時(shí)以3倍距離標(biāo)準(zhǔn)差為閾值，剔除異常數(shù)據(jù)，提高數(shù)據(jù)的可信度。將新算法應(yīng)用于三維激光掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合，驗(yàn)證了其適用性。

1 穩(wěn)健加權(quán)最小二乘平面擬合算法

1.1 加權(quán)最小二乘基本原理

點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合函數(shù)模型為:

式中，a、b、c為待求平面擬合參數(shù)。顧及觀測(cè)向量誤差與系數(shù)矩陣誤差的EIV(errors-in-variable)模型為:

式中，Z為含有隨機(jī)誤差ez的n×1維觀測(cè)向量，A是含有隨機(jī)誤差EA的n×m維系數(shù)矩陣，ξ為待估參數(shù):

隨機(jī)誤差ez與EA的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)如下:

式中，“?”為Kronecker積，vec()為矩陣?yán)弊儞Q，σ20為未知方差分量，QZ、QA為ez與eA的對(duì)稱、非奇異協(xié)因數(shù)陣，且有:

式中，PZ為觀測(cè)值權(quán)陣，PA為系數(shù)陣A的權(quán)陣，P0、PXY分別為系數(shù)陣A的行向量權(quán)陣及列向量矩陣。

加權(quán)總體最小二乘的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則為:

1.2 定權(quán)準(zhǔn)則

由于系數(shù)矩陣A第三列為常數(shù)，不需要修正，則A的列向量權(quán)陣為:

入射角越小時(shí)，點(diǎn)云數(shù)據(jù)的點(diǎn)位精度越高;反之，精度越低。因此，可將入射角余弦值cosθi作為每個(gè)點(diǎn)云數(shù)據(jù)相應(yīng)的權(quán)值［8－10］。若點(diǎn)云數(shù)據(jù)在x、y、z三個(gè)方向等精度獲取，則觀測(cè)值權(quán)陣PZ及系數(shù)陣A的行向量權(quán)陣PXY定義如下:

1.3 穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘參數(shù)解算

參照非線性最小二乘的牛頓-高斯迭代算法，式(2)可改寫(xiě)成如下形式:

式中，λ為n×1維拉格朗日乘數(shù)，通過(guò)對(duì)式(9)求導(dǎo)、求極值可計(jì)算出λ及ξ的值。結(jié)合文獻(xiàn)［5－6］中WTLS迭代算法與穩(wěn)健估計(jì)的選權(quán)迭代思想［11］，并顧及點(diǎn)云數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提出穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘算法。具體解算過(guò)程如下:

1)在利用總體最小二乘法求得平面參數(shù)估值的基礎(chǔ)上，計(jì)算各點(diǎn)的入射角余弦初始值cosθi(0)，并根據(jù)式(6)、(7)設(shè)定A的列向量權(quán)陣P0及A的行向量初始權(quán)陣PXY(0)、觀測(cè)值初始權(quán)陣PZ(0);

2)求取參數(shù) ξ =［a，b，c］T的迭代初始值:

式中，Q0為 P0的廣義逆［5，10］;

6)計(jì)算點(diǎn)至平面的距離di、距離標(biāo)準(zhǔn)差σ:

式中，n為總觀測(cè)數(shù)。若di＞3σ，則認(rèn)為該點(diǎn)為異常點(diǎn)，刪除;反之，保留;

8)計(jì)算單位權(quán)中誤差及平面擬合精度:

2 算例分析

利用徠卡C10三維激光掃描儀分別掃描距其20、30 m的標(biāo)準(zhǔn)反射板(反射率為90%)，獲得兩組點(diǎn)云數(shù)據(jù)(圖1)。

分別利用 LS、TLS、WTLS及 RWTLS法對(duì)兩個(gè)樣本點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行平面擬合。本文采用奇異值分解(SVD)求解 TLS 參數(shù)估值［1，3］;依據(jù)式(6)、(7)設(shè)定WTLS中A的列向量權(quán)陣P0及A的行向量權(quán)陣PXY、觀測(cè)值權(quán)陣PZ，并將其作為RWTLS中對(duì)應(yīng)權(quán)陣的初始值。各方法計(jì)算得到的平面參數(shù)及精度評(píng)定因子如表1、2所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)樣本的點(diǎn)云數(shù)據(jù)Fig.1 Point clouds in the experiments

表1中，各方法求得的擬合參數(shù)差異較小，其中，由于未顧及各觀測(cè)值的點(diǎn)位精度，TLS法的單位權(quán)中誤差及平面擬合精度最大，擬合效果最差;而WTLS以各點(diǎn)入射角為權(quán)值，建立加權(quán)解算模型，得到較合理的平面參數(shù)解;RWTLS在WTLS的基礎(chǔ)上，在解算過(guò)程中自適應(yīng)地修正觀測(cè)向量權(quán)值及系數(shù)矩陣權(quán)值，同時(shí)以3倍距離標(biāo)準(zhǔn)差為閾值，剔除掃描數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)，通過(guò)迭代計(jì)算，獲得最優(yōu)參數(shù)解，其精度相對(duì)LS法、TLS法及WTLS法分別提高了57%、62%、12%。

由表2可知，由于掃描距離較遠(yuǎn)，掃描數(shù)據(jù)受入射角及外界信號(hào)干擾等因素的影響也隨之增加，各方法求得的平面參數(shù)差異較大，總體擬合精度較低。其中，WTLS法的單位權(quán)中誤差及平面擬合精度最大，表明根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)設(shè)定的權(quán)值與實(shí)際權(quán)值存在較大偏差，且一旦賦予了錯(cuò)誤的權(quán)值進(jìn)行參數(shù)解算，所求參數(shù)解的可信度較低，擬合精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他各種方法。而RWTLS法在解算過(guò)程中根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)不斷修正權(quán)值，獲得了最精確的平面參數(shù)解及最好的擬合效果。

表1 20 m處點(diǎn)云數(shù)據(jù)擬合精度比較Tab.1 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 20 m

表2 30 m處點(diǎn)云數(shù)據(jù)擬合精度比較Tab.2 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 30 m

3 結(jié)語(yǔ)

顧及觀測(cè)向量誤差及系數(shù)矩陣誤差的WTLS點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合法，在基于合理權(quán)值的前提下，可獲得比LS法、TLS法更好的擬合效果;而當(dāng)權(quán)值存在偏差時(shí)，若不能得到修正，其擬合精度將大大降低。RWTLS法對(duì)所有誤差進(jìn)行了最小化約束，并根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，不斷修正觀測(cè)向量權(quán)值及系數(shù)矩陣權(quán)值，同時(shí)在擬合過(guò)程中設(shè)置閾值，剔除異常數(shù)據(jù)，最終獲得最為精確的平面參數(shù)解，體現(xiàn)了該方法在點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合中較好的適用性。

WTLS法及RWTLS法中權(quán)值的設(shè)置缺少統(tǒng)一的原則，往往通過(guò)經(jīng)驗(yàn)確定，RWTLS法雖在迭代過(guò)程中修正權(quán)值，但也增加了運(yùn)算次數(shù)。因此，如何獲取較精確合理的權(quán)陣初始值還需進(jìn)一步研究。

1 魯鐵定，陶本藻，周世健.基于整體最小二乘法的線性回歸建模和解法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2008，33(5):504 － 507.(Lu Tieding，Tao Benzao，Zhou Shijian.Modeling and algorithm of linear regression based on total least squares［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2008，33(5):504 －507)

2 魯鐵定，周世健.總體最小二乘的迭代解法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2010，35(11):1 351 －1 354.(Lu Tieding ，Zhou Shijian.An iterative algorithm for total least squares estimation［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2010，35(11):1 351 －1 354)

3 官云蘭，劉紹棠，周世健.基于整體最小二乘的穩(wěn)健點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2011(5):80－ 83.(Guan Yunlan，Liu Shaotang，Zhou Shijian.Robust plane fitting of point clouds based on TLS［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011(5):80 －83)

4 Burkhard S，Yaron A F.On the multivariate total leastsquares approach to empirical coordinate transformations［J］.Journal of Geodesy.2008，82(7):373 －383.

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PLANE FITTING OF POINT CLOUDS BASED ON ROBUST WEIGHTED TOTAL LEAST SQUARES

Ou Jiangxia1)，Li Mingfeng1)，Wang Yongming2)and Xu Yan1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

A method of conventional weighted total least squares was proposed based on the robust weighted total least squares for eliminating the influences of point clouds anomalous points in laser scanning data on fitting precision.The method can be used to correct adaptively the weight of observation vector and and coefficient matrix，and remove anomalous data.The result of fitting analysis with the point clouds from different distances shows that the fitting accuracy with the method is better than the conventional methods.

point clouds;plane fitting;least square;robust estimation;weight

P207

A

1671-5942(2014)03-0160-04

2013-11-04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41274009);江蘇省研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(CXLX13_422);南京市科技計(jì)劃項(xiàng)目(201101069);江蘇省測(cè)繪科研項(xiàng)目(JSCHKY201108)。

歐江霞，男，1989年生，碩士生，主要研究方向:大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法研究。E－mail:oujx0512@163.com。